二项式系数的性质第一课时

二项式系数的性质第一课时第1页，课件共22页，创作于2023年2月复习1、什么叫二项式定理？通项公式？2、什么叫二项式系数？项的系数？它们之间有什么不同？第2页，课件共22页，创作于2023年2月《详解九章算法》中记载的表杨辉第3页，课件共22页，创作于2023年2月杨辉三角《详解九章算法》中记载的表

这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似右面的表：第4页，课件共22页，创作于2023年2月第5页，课件共22页，创作于2023年2月这个表称为杨辉三角。在《详解九章算法》一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（BlaisePascal,1623年—1662年）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。杨辉三角第6页，课件共22页，创作于2023年2月表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和事实上，设表中任一不为1的数为Cn+1r，那么它肩上的两个数分别为Cnr-1及Cnr，由组合数的性质2知道Cn+1r=Cnr-1+Cnr二项式系数表的规律第7页，课件共22页，创作于2023年2月杨辉三角点击图片可以演示“杨辉三角”课件第8页，课件共22页，创作于2023年2月（二）、规律1、每行两端都是1Cn0=Cnn=12、从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和

Cn+1m=Cnm+Cnm-1第9页，课件共22页，创作于2023年2月二项式系数的性质（2）增减性与最大值

因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数

取得最大值；

当n为奇数时，中间两项的二项式系数、相等，且同时取得最大值。第10页，课件共22页，创作于2023年2月11121133114641151010511615201561与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等性质1：对称性性质2：增减性与最大值当n是偶数时，中间的一项取得最大值；先增后减当n是奇数时，中间的两项和相等，且同时取得最大值。第11页，课件共22页，创作于2023年2月（3）各二项式系数的和

二项式系数的性质在二项式定理中，令，则：

这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于，上式还可以写成：这是组合总数公式．

第12页，课件共22页，创作于2023年2月2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大的项是().1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是().A课堂练习:A.第6项B.第7项

C.第6项和第7项D.第5项和第7项CA.第15项B.第16项C.第17项D.第18项此种类型的题目应该先找准r的值，然后再确定第几项。注：第13页，课件共22页，创作于2023年2月例1证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.已知(2x+1)10=a0x10+a1x9+a2x8+……+a9x+a10,(1)求a0+a1+a2+……+a9+a10的值(2)求a0+a2+a4+……+a10的值例题选讲变式练习：第14页，课件共22页，创作于2023年2月4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x的一次项．例2

已知的展开式中，第第15页，课件共22页，创作于2023年2月解：依题意,n为偶数，且例３已知展开式中只有第10项系数最大，求第五项。

例题选讲若将“只有第10项”改为“第10项”呢？引申：第16页，课件共22页，创作于2023年2月练习一、选择填空：1.(1﹣x)13

的展开式中系数最小的项是（）(A)第六项(B)第七项（C）第八项(D)第九项2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为（）(A)20(B)219

（C）220(D)220

－1CD4或5-2-10941093第17页，课件共22页，创作于2023年2月解：（1）

中间项有两项：（2）T3，T7

，T12

，T13

的系数分别为：例三、已知二项式(a+b)15（1）求二项展开式中的中间项；（2）比较T3，T7

，T12

，T13各项系数的大小，并说明理由。第18页，课件共22页，创作于2023年2月例5：求(1-2x)5(1+3x)4展开式中按x的升幂排列的前3项。例6：在(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)n+2的展开式中，求含x2的项的系数。例4：求(1+x+x2)

(1-x)10展开式中x4的系数。例7：已知(1+x2)n展开式中第9项，第10项、第11项的二项系数成等差数列，求n。部分复习参考题:第19页，课件共22页，创作于2023年2月例四、已知a,b∈N，m,n∈Z

，且2m+n=0，如果二项式(axm+bxn)12

的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求a:b

的取值范围。

解：令m(12–r)+nr=0，将n=﹣2m

代入，解得r=4故T5为常数项，且系数最大。第20页，课件共22页，创作于2023年2月

二项展开式中的二项式系数,都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。内容小结第21页，课件共22页，创作于2023年2月作业：见教材小结（1）二项式系数的