高中数学学业水平考试知识点汇总

高中数学学业水平考试知识点汇总【必修一】一、集合与函数概念并集：由集合A和集合B的元素合并在一起组成的集合，如果遇到重复的只取一次。记作：A∪B。交集：由集合A和集合B的公共元素所组成的集合，如果遇到重复的只取一次。记作：A∩B。补集：就是作差。1、集合集合{a1,a2,...,an}的子集个数共有2^n个；真子集有2^(n-1)个；非空子集有2^(n-1)个；非空的真子集有2^(n-2)个。2、指数函数和对数函数指数函数y=ax和对数函数y=loga(x)互为反函数（a>0，a≠1），它们的图像关于y=x对称。3、函数的定义域和单调性（1）函数的定义域：①分母不为0；②开偶次方被开方数≥0；③指数的真数属于R、对数的真数>0。（2）函数的单调性：如果对于定义域I的某个区间D的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<（>）f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增（减）函数，函数的单调性是在定义域的某个区间上的性质，是函数的局部性质。4、奇函数和偶函数奇函数：是f(x)=-f(-x)，函数图像关于原点对称（若x=0在其定义域，则f(0)=0）。偶函数：是f(x)=f(-x)，函数图像关于y轴对称。5、指数幂的含义及其运算性质（1）函数y=a^x(a>0且a≠1)叫做指数函数。（2）指数函数y=ax(a>0,a≠1)当0<a<1为减函数，当a>1为增函数。（3）指数函数的图像和性质：a>10<a<1图像图像（1）定义域：R（2）值域：(0,+∞)（3）过定点(0,1)（4）在R上是增函数在R上是减函数（5）x>0,a>1;x<0,0<a<1x>0,0<a<1;x<0,a>16、对数函数的含义及其运算性质（1）函数y=loga(x)(a>0,a≠1)叫对数函数。（2）对数函数y=loga(x)(a>0,a≠1)当0<a<1为减函数，当a>1为增函数。（3）对数的运算性质：①负数和零没有对数；②1的对数等于0：loga1=0；③底数相同的对数等于1：loga(a)=1；④对数的乘方等于被取对数数的乘积：loga(MN)=logaM+logaN；⑤对数的除法等于被取对数数的商的对数：loga(M/N)=logaM-logaN。数学基础知识对数函数对数函数是指以正实数a（a≠1）为底的函数y=logax。其中，a称为底数，x称为真数，y称为对数。对数函数的定义域为(0,+∞)，值域为R。对数函数有以下性质：1.恒等式：a^logax=x。2.对数互化式：a^logax=x^loga。3.指数与对数互化式：a^logax=x^loga。4.对数函数在(0,+∞)上是增函数，在(0,1)上是减函数。5.当a>1时，x>y>0，则logax>logay；当0<x<y<1时，logax<logay。幂函数幂函数是指形如y=x^α（α为实数）的函数。当α=1时，幂函数就是一次函数，当α=2时，幂函数就是二次函数，当α=3时，幂函数就是三次函数。幂函数的图象与α的取值有关。方程的根与函数的零点如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)×f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0。这个c就是方程f(x)=0的根。直线平面简单的几何体1.长方体的对角线长l2=a2+b2+c2；正方体的对角线长l=√3a。2.球的体积公式：v=4/3πR^3；球的表面积公式：S=4πR^2。3.圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式：圆柱侧面积：S=2πrL；圆锥侧面积：S=πrL；圆台侧面积：S=πrL+πRl；圆柱体积：V=Sh（S为底面积，h为柱体高）；圆锥体积：V=1/3Sh（S为底面积，h为柱体高）；圆台体积：V=1/3(πr^2+πR^2+πrR)h。4.点、线、面的位置关系及相关公理及定理：（1）四公理三推论：公理1：若一条直线上有两个点在一个平面，则该直线上所有的点都在这个平面。公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。推论一：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。（2）空间线线、线面、面面的位置关系：空间两条直线的位置关系：相交直线——有且仅有一个公共点；平行直线——在同一平面，没有公共点；垂直直线——在同一平面，且互相垂直。空间一条直线和一个平面的位置关系：相交——有且仅有一个公共点；平行——没有公共点。空间两个平面的位置关系：相交——有一条公共直线；平行——没有公共直线；重合——所有点都重合。异面直线是指不在同一平面内且没有公共点的直线。与之相对的是共面直线，包括相交直线和平行直线。直线与平面的位置关系有三种：直线在平面上（有无数个公共点）、直线与平面相交（有且仅有一个公共点）以及直线与平面平行（没有公共点）。可以用符号表示为a、aA、a//。两个平面的位置关系也有两种：平行（没有公共点）和相交（有一条公共直线）。判定直线与平面平行的定理是：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与该平面平行。符号表示为ba//，图形表示为a//b。判定两个平面平行的定理是：如果一个平面的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示为abP//，图形表示为a//，b//。性质定理方面，如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，则交线与该直线平行。符号表示为a//，aa//b，图形表示为ab。如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。符号表示为//,a,ba//b。判定直线与平面垂直的定理是：如果一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于该平面。符号表示为a,b,abP,la,lbl。判定两个平面垂直的定理是：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。符号表示为l,l。直线与平面垂直的性质是：如果两条直线都垂直于一个平面，则它们平行。符号表示为a，a//b，b。平面与平面垂直的性质是：如果两个平面互相垂直，则在其中一个平面上垂直于交线的直线垂直于另一个平面。符号表示为l,m,lml。异面直线所成角的取值围是（0，90]，直线与平面所成角的取值围是[0，90]，二面角的取值围是(0，180)，两个向量所成角的取值围是[0，180]。二、直线和圆的方程1、斜率：斜率k等于角度α的正切，k的取值范围为负无穷到正无穷。对于直线上的两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，斜率为：k=(y2-y1)/(x2-x1)(当且仅当P1和P2不在同一位置时成立)2、直线的五种方程：（1）点斜式：y-y1=k(x-x1)（直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k）（2）斜截式：y=kx+b（b为直线l在y轴上的截距）（3）两点式：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)（直线l过点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)）（4）截距式：x/a+y/b=1（a、b分别为直线的横、纵截距，a、b不等于0）（5）一般式：Ax+By+C=0（其中A、B不同时为0）3、两条直线的平行、重合和垂直：(1)若l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2①l1//l2⇔k1=k2且b1≠b2②l1与l2重合时⇔k1=k2且b1=b2③l1⊥l2⇔k1k2=-1(2)若l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，且A1、A2、B1、B2都不为零，①l1//l2⇔A1B2-A2B1=0②l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=04、两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]5、两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的中点坐标公式：M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)6、点P(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离公式：d=|Ax+By+C|/√(A²+B²)7、平行直线Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0的距离公式：d=|C2-C1|/√(A²+B²)8、圆的方程：标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，圆心坐标为(a,b)，半径为r；一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（配方：(x+D/2)²+(y+E/2)²=(D²+E²-4F)/4）1.当D2+E2-4F>0时，表示以(-D,-E)为圆心，半径为√(D2+E2-4F)的圆。2.点P(x,y)与圆(x-a)+(y-b)=r的位置关系有三种：当d>(a-x)2+(b-y)2时，点P在圆外；当d=r时，点P在圆上；当d<r时，点P在圆内。3.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)+(y-b)=r的位置关系有三种：当d>r时，相离；当d=r时，相切；当d<r时，相交。其中d=(Aa+Bb+C)/√(A2+B2)。4.弦长公式：若直线y=kx+b与二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则所截得弦长为AB=√[(x2-x1)2+(y2-y1)2]。5.空间直角坐标系中，两点P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)之间的距离为√[(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2]。6.常用抽样方法有三种：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。7.统计图表包括条形图、折线图、饼图、茎叶图。8.频率分布直方图的制作步骤：求极差、确定组距和组数、分组、列频率分布表、画频率分布直方图。小矩形的高度等于频率除以组距。9.频率分布直方图中，频率等于小矩形面积。计算公式为频率=频数/组距。样本容量是指在统计学中，研究对象的总体中随机抽取的样本的大小。频数等于样本容量乘以频率，而频率则是小矩形面积除以组距。各组频数之和等于样本容量，各组频率之和等于1。茎叶图是一种用来展示数据分布的图形，其中茎代表高位，叶代表低位。折线图则是通过连接频率分布直方图中小长方形上端中点来展示数据分布的图形。平均数、中位数和众数是用来刻画一组数据集中趋势的统计量。众数是一组数据中出现次数最多的数据，而中位数是将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列后，处于中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）。极差、极准差和方差则是用来刻画一组数据离散程度的统计量。极差一定程度上表明数据的分散程度，而方差和标准差则越大表示离散程度越大，越小表示离散程度越小，聚集于平均数的程度越高。在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，方长方形的高与频数成正比。各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。随机事件是指在一定条件下所出现的某种结果。事件间的关系包括互斥事件、对立事件、包含和对立不一定互斥。概率的加法公式包括互斥事件时的公式和对立事件时的公式。古典概型则是指在有限的样本空间中，每个事件发生的概率相等的情况下，计算事件概率的方法。古典概型是指试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，且每个基本事件出现的可能性相等。概率计算公式为P(A)=事件A包含的基本事件个数/实验中基本事件的总数，即P(A)=m/n。几何概率模型是指每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，有无限多个基本事件且每个基本事件出现的可能性相等。概率计算公式为P(A)=事件A构成的区域的长度（面积或体积）/实验的全部结果构成的区域的长度（面积或体积）。在三角函数中，弧度制中180°=π弧度，1弧度≈57°18'。弧长公式为l=|α|r（l为α所对的弧长，r为半径，正负号的确定：逆时针为正，顺时针为负）。三角函数的定义为sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x，cotα=x/y。特殊角的三角函数值可以通过表格获得。同角三角函数基本关系式包括sinα+cosα=1，tanα=sinα/cosα，cotα=cosα/sinα。诱导公式一为sin(α+2kπ)=sinα，诱导公式二为sin(π+α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(α+2kπ)=tanα，tan(π+α)=-tanα，tan(-α)=-tanα，cos(α+2kπ)=cosα，cos(π+α)=-sinα。诱导公式四为cot(α+2kπ)=-cotα，诱导公式五为cot(π+α)=-tanα，诱导公式六为cot(-α)=-cotα。2.改写每段话。1.此段为公式，无需改写。2.此段为公式，无需改写。3.两角和与差的正弦、余弦、正切：正弦：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ余弦：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ正切：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)4.辅助角公式：asin(x)+bcos(x)=sqrt(a^2+b^2)*sin(x+φ)其中，φ=arctan(b/a)5.二倍角公式：正弦：sin(2α)=2sinαcosα余弦：cos(2α)=cos^2α-sin^2α=2cos^2α-1正切：tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)6.降次公式：sin^2α+cos^2α=11-cos^2α=sin^2α1+tan^2α=sec^2α1+cot^2α=csc^2α7.在y=sinα,y=cosα,y=tanα,y=cotα四个三角函数中，只有y=cosα是偶函数，其它三个是奇函数。8.在三角函数中求最值、最小正周期、单调性、对称轴、对称中心点都要将原函数化成标准型。标准型如下：y=Asin(ωx+φ)+by=Acos(ωx+φ)+by=Atan(ωx+φ)+by=Acot(ωx+φ)+b9.此段为表格，无需改写。10.三角函数的图象与性质：函数图象定义域值域奇偶性周期性y=sin(x)[-∞,∞][-1,1]奇函数2πy=cos(x)[-∞,∞][-1,1]偶函数2πy=tan(x)(-π/2,π/2)(-∞,∞)奇函数πy=cot(x)(0,π)(-∞,∞)奇函数π1.平面向量是一种具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，线段长度表示向量大小，箭头方向表示向量方向，记作AB。2.向量AB的大小称为向量的模或长度。3.长度为0的向量称为零向量，长度为1的向量称为单位向量。4.与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作-a。方向相同且模相等的向量称为相等向量。5.实数与向量的积有结合律、第一分配律和第二分配律。6.向量的数量积有交换律、数乘结合律和分配律。7.如果e1、e2是同一平面的两个不共线向量，那么对于这一平面的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2。不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面所有向量的一组基底。8.坐标运算包括向量的加减法和数量积，以及平面两点间的距离公式和向量的夹角公式。9.重要结论包括两个向量平行的判定条件和向量共线的判定条件。(2)两个非零向量垂直的判定条件为$a\perpb\Leftrightarrowx_1x_2+y_1y_2=0$。(3)点$P$在有向线段$P_1P_2$上的定比分点坐标公式为：设$P(x,y),P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$，且$P_1P=\lambdaPP_2$，则中点坐标公式为$x=\dfrac{x_1+\lambdax_2}{1+\lambda},y=\dfrac{y_1+\lambday_2}{1+\lambda}$，定比分点坐标公式为$x=\dfrac{x_1+\lambdax_2}{1+\lambda},y=\dfrac{y_1+\lambday_2}{1+\lambda}$。【必修五】：一、解三角形：（1）三角形的面积公式为$S_{\triangle}=\dfrac{1}{2}ab\sinC$。（2）正弦定理：$\dfrac{a}{\sinA}=\dfrac{b}{\sinB}=\dfrac{c}{\sinC}=2R$，其中$R$为外接圆半径。余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA,b^2=a^2+c^2-2ac\cosB,c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=(a+b)^2-2ab(1+\cosC)$。（4）求角：$\cosA=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\cosB=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac},\cosC=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$。二、数列（1）数列的前$n$项和为$S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$，数列前$n$项和与通项的关系为$a_n=S_n-S_{n-1}$。（2）等差数列：定义：等差数列从第$2$项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数($a_n-a_{n-1}=d$)。通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$（其中首项是$a_1$，公差是$d$）。前$n$项和：$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$。等差中项：设$A$是$a$与$b$的等差中项，则$2A=a+b$。三个数成等差时常设为$a-d,a,a+d$。（3）等比数列：定义：等比数列从第$2$项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数($\dfrac{a_n}{a_{n-1}}=q$)。通项公式：$a_n=a_1q^{n-1}$（其中首项是$a_1$，公比是$q$）。前$n$项和：$S=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。1.一元二次不等式的解法对于一元二次不等式$ax^2+bx+c>0$（或$<0$，其中$a\neq0$，$\Delta=b^2-4ac>0$），解集的步骤如下：1.化简式子，使二次项系数为正数。2.求对应方程的根，判断根的位置关系。3.根据根的位置关系，画出对应函数的图像。4.根据图像，确定不等式的解集。规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边。2.重要不等式（1）$a,b\in\mathbb{R}$，则$a+b\geq2ab$（当且仅当$a=b$时取等号）。$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$，即$a+b\geq2\sqrt{ab}$，所以$a+b\geq2ab$。（2）$a,b\in\mathbb{R}$，则$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$（当且仅当$a=b$时取等号）。由均值不等式得$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$。3.不等式的其它解法对于指数、对数不等式，可以使用同底法，同时注意对数的底数大小关系。4.线性规划问题（1）二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法。选取一个特殊点（如原点），代入不等式中判断其正负，即可确定直线上方或下方的平面区域。法二：根据不等式的形式，观察系数的正负和不等式的开口方向，判断直线上方或下方的平面区域。（2）二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。（3）利用线性规划求目标函数$z=Ax+By$（$A,B$为常数）的最值：法一：角点法。将目标函数在公共区域的边界角点处求值，得到一组对应的$z$值，最大的那个数为目标函数$z$的最大值，最小的那个数为目标函数$z$的最小值。法二：画——移——定——求。“p且q”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；“非p”形式复合命题的真假判断方法：与p相反.5、命题公式命题公式是由命题变量、逻辑联结词和括号组成的复合命题.6、命题公式的等值若两个命题公式在所有情况下的真假性完全相同，则它们是等值的.7、命题公式的蕴含若存在一个命题公式p，使得pq是一个恒真式，则称p蕴含q，记作pq.8、命题公式的等价若pq且qp，则称p与q等价，记作pq.9、命题公式的合取与析取命题公式p1，p2，…，pn的合取是指p1p2…pn，记作pi；命题公式p