2023届高考数学模拟试题分类汇编数列 无答案

2023届优质模拟试题分类汇编(新高考卷)

教列

一.基本原理

1.数列求通项

类型1.等差数列：相邻两项递推形式：a“_%=d,(d为常数，一且〃wN+)或者相邻三项递推

形式：41+。川=2%(〃22且〃€"+).这种递推形式下，直接用等差数列的通项公式：即可解决！

类型2.等比数列：相邻两项递推：废=«,1(4*0,且4户0,〃22且〃€"+)或」上=4.

或者相邻三项递推：&且〃>2).

注2：在等比数列应用中，有一类比较特殊的递推类型，即生+,“=4,j%,Vm,〃eN+,我们可以对其赋

值得到一个等比数列.

类型3.4-《1=/(〃)累加型

类型4.2=/(")(〃GN+且〃22)累乘型.

类型5.%=ca„_,+d型(待定系数法)

一般形式：a,=c%T+d(c,d为常数，c#O,cWl,dwO),可以构造一个等比数列，只要在每一项同加

上一个常数即可，且常数x=>L,an+x=c(an_l+x),令2=4+x,则〃为等比数列，求出。“，

c-1

再还原到a„,an=(q+4-)•厂—工-.

c-1c-1

类型6.an+l=qa“+m-b"型

类型7.。用=pa.+/(〃)(「71)型.

方法1.数学归纳法.

方法2.%=pa,+f(〃)n%=3+噌，令a=2，则么小一”=堂，用累加法即可解决!

ppppP

类型8.qm仙"0)型

P《：+q

类型9.已知S“与乙关系，求勺.

解题步骤：

第1步：当〃=1代入S“求出6；

第2步：当〃22,由S“写出S.T；

第3步：an=S,-S,i(n>2)；

第4步：将〃=1代入。"中进行验证，如果通过通项求出的为跟实际的4相等,a„为整个数列的通项,

a

若不相等，则数列写成分段形式，an=\'("=D

匕，(«>2)

类型9：已知前〃项积求a“.

类型10.特征方程法(强基层次)：an+2=aan+l+ba„型.

求解方程：无-8=0,根据方程根的情况，可分为：

(1)若特征方程有两个相等的根，则%=(A〃+勿篙

(2)若特征方程有两个不等的根，则/=Ax'；+Bx：

2.数列求和

类型1.倒序相加法

类型2.公式法求和：用等差(等比)数列求和公式.

类型3.裂项相消求和

1.分母是等差数列相邻两项乘积，贝IJ：—1―=-(-——-),贝)：

/4用danall+l

111I/ll、

------------1--------------F.........H-----------------=—(--------------------).

aaaa

\2%。3nn+]“"1。〃+1

2.有理化后求和：an=厂\——==品-V/i-1.

J"+A/〃-1

3.指对式裂相求和:

(2"+1>(2'用+1)-2"+1-2e+1

(a—1)屋_11

指数型:

(a"+b)(an+'+h)~an+b~a"+l+b

对数型：log“曝=log„a„+1-log„an

类型4：错位相减法

型如｛(kn+b)q"](q丰1)的数列求和，其基本解题步骤如下：

Stepl：由题可得：an-bn=

Step2；故T“=afy+....+a也①，q-Tn=atb2+....+anbn+l②

Step3：由①一②得：(l-q)7；=姐一%%+的(0：1

q-i

Step4：化简：Tn-.

类型5.分组求和

适用对象：主要适用于通项是由两部分不同的形式构成的数列，其次还适用于一些几项放在一起可以化简

的数列.

例如：｛/+〃｝型，可分别单独求出｛凡｝,｛a｝的前〃项和再求和.

类型6.并项求和

在处理一些非等差，等比数列时，我们可以通过项的关系(相邻两项等)，将其看成一个小组来计算，例

如(-1)"伏〃+加型，分奇偶后相邻两项之差就是一个公差，即常数列求和.

3.数列放缩

类型1.利用单调性放缩

类型2.先求和再放缩

类型3.先放缩通项再求和

这一类是数列放缩问题的常考类型，相较于类型2而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因

而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点.此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项

放缩为可裂项的结构，然后裂项求和；第二，将通项放缩为等比结构(等差比结构)然后错位相减求和，

总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩.当然，下面的这些常见的裂项公式与放

缩公式需要注意.

1.常见的裂项公式：

例如：一!1—<4I<—51—或者/?'/1/2/等

〃(〃+l)n(〃-1)〃yjn+l+yjnyln+yln-\

2.一个重要的指数恒等式：

n次方差公式a"-b"=(a-+a"-2b+a'^b2++ab"-2+bn'').

这样的话，可得：a"-b">(a-b)an-',就放缩出一个等比数列.

mni+c

3.糖水不等式：设〃>m>0,c>0,则竺〈竺上.

nn+c

类型4.基于递推结构的放缩

1.用=#=型：取倒数加配方法.

1+日

2.二次递推型：«n+l=pa；+qan+r.

a„+,=pa；+qan+r=>all+］-qan=pa；+r=>—-----—=〃.士r,然后裂项即可完成放缩，以2015

4+1ananan+l

浙江卷为例.

4.数列中的计数问题的基本形式如下：

记数列［a„］落在区间（0,g（Q］的个数为4,讨论数列（d｝的性质.

这种问题的关键就是利用数列自变量〃的计数功能，通过不等式0<a“<g伏）=>〃，由于〃为正整数，

从而实现对自变量〃的计数，当然，这里面需要一丝丝取整背景，需要读者注意.

进一步：目前的题目的计算背景主要分布在去解下面三个不等式：

①.q1"<kn+b<q",+'

②.tm<qn<t,n+'

③.tk+b<q"<t（k+i）+b

5.欧拉函数及应用

1.定义：欧拉函数。（加）是一个定义在正整数集上的函数，0（加）的值等于L2,，加-1中与机互素的数的

个数.

2.计算公式：

（1）若〃为素数，则9（P）=P-1

（2）若P为素数，且〃="=夕（〃）="•"二=（p—l）pi,形成了一个等比数列.

P

证明：即证0（p"）=p"-pJ.由。（。）的定义知以p"）等于从p"减去1，…,pa中与p"不互质的数的个

数；亦即等于从减去1，…，〃"中与P不互质的数的个数.由于〃是质数，故MP"）等于从P"减去

1，…，P"中被P整除的数的个数.由于1，…，pa中被P整除的数的个数是—=pJ,故

P

")=P。-P-

(3)已知正整数〃的素因数分解式〃/琛-，)，其中素数

P\<P2<.证明：。(〃)=〃(1---)(1---)(1---).

PlPlP.S

二.试题汇编

"+1

-----,5=2&+1,&WN)

例1.(2023届武汉9月调研)记数列｛4｝的前〃项和为S„,已知S“=2

2(〃=2k,丘N")

12

(1)求数列｛〃,,｝的通项公式；

(2)求数列［」一］的前“项和

例2.(福建省部分地市2023届高三第一次质量检测)已知正项数列｛%｝的前n项和为S“，且

4s.=4-1)(4+3乂〃61<).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)将数列｛4｝和数列｛2"｝中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列也｝,求低｝的前50

项和.

例3(福建省泉州市2023届高三毕业班质量检测一)已知数列｛q｝各项均为正数，且

4=2,4+：-2"加=aj+2a“.

(1)求｛a,J的通项公式

(2)设勿求4+4+可++%.

例4（广东省深圳市2023届高三第一次调研）记S“，为数列&｝的前"项和，已知5,=与+"2+1，〃N*.

（D求4+V，并证明&+%”｝是等差数列；

（2）求S“.

例5（广州市2023届高三一模）已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，且S6=4S3，%,=2%+1（〃GN"）.

（1）求数列｛叫的通项公式；

（2）设求数列也｝的前”项和副

例6（湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研）记数列仅“｝的前”项和为S“，对任意正整数〃，有

2S“=nan,且%=3.

（1）求数列伍〃｝的通项公式；

m

（2）对所有正整数m,若ak<2<ak+i,则在4和4T两项中插入2m,由此得到一个新数列｛bn｝,

求｛4｝的前40项和.

例7.（江苏省南通市2023届高三下学期第一次调研测试）已知数列｛%｝是公差不为0的等差数列，其前〃

项和为S“，且满足,.

在①岳㈤,邑成等比数列，②q=2%+2,③$8=S,+E-2这三个条件中任选两个，补充在下面问题中,

并完成解答.

(1)求｛%｝的通项公式；

1111

(2)求---+----+----++-----.

%生。2a3%%勺可讨

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.

例8(山东省济南市23届高三上学期期末数学试题)定义:在数列｛%｝中,若存在正整数般使得V〃eN*,都

有4“=4,,则称数列&｝为“k型数列”.已知数列｛%｝满足。向=-一

(1)证明:数列｛4｝为“3型数列”；

(2)若4=1,数列也｝的通项公式为2=2〃-1,求数列｛〃/,｝的前15项和九.

例9(山东省济南市2022-2023学年高三下学期开学考试)各项均为正数的数列｛4｝,其前〃项和记为S„,

且满足对V"eN+,都有2S“=a；+a..

(1)求数列｛4｝的通项公式；

.11117

⑵设4=至+至+后+…+不证明：？；<“

例10(温州市2023届高三一模)已知数列｛%｝是等差数列，q=1,且%,生，%-1成等比数列.给定丘N*,

记集合｛M%4%42*GN*｝的元素个数为4.

(1)求4,4的值；

(2)求最小自然数”的值，使得4+”+…+”,>2022.

例11(长沙市2023届高三上学期新高考适应性考试)已知数列｛〃〃｝为等差数列，数列｛々｝为等比数列，

2

满足々=24=2,b2=T,%+4=11.

(1)求数列｛%｝,我｝的通项公式；

(2)求数列m0｝的前w项和s,,.

例12.(2023•福建福州•统考二模)欧拉函数。(〃)(〃64)的函数值等于所有不超过正整数〃，且与"互质

的正整数的个数，例如：9(1)=1,0(4)=2.

(1)求夕甲)，«9(3')；

(2)令4=ge(3"),求数列1等％1的前”项和.

例13.(2023•广东汕头•统考一模)已知7.为正项数列｛%｝的前〃项的乘积，且4=3,丁.

(1)求数列｛为｝的通项公式；

(2)设d=