《利用函数思想复习数列》

数列的复习

两个基本的数列：

等差数列｛an｝n∈Ｎ*定义：an+1-an=d常数，通项公式：an=a1+(n-1)d前n项和：两个方程中含a1、an、

Sn、n、d五个元素，已知任意三个，可求另两个。等比数列{an}n∈Ｎ*定义：通项公式：an=a1qn-1前n项和：两个方程中含a1、an、

Sn、n、q五个元素，已知任意三个，可求另两个。数列是否可以看成函数呢？数列可看作定义域为自然数集Ｎ*或它的子集｛1，2，3，…，m｝的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。通项就是对应关系。正如有些函数可以用解析式表示一样，有些数列的第n项an可用n来表示，即数列的通项公式。等差数列的通项公式是n的什么函数？an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)n∈Ｎ*

d≠0时，an是n的一次函数；若d>0，则an增；若d<0，则an减。d=0时，an是常函数。图象均为一条直线上的一些点。一个数列的通项是n的一次函数，这个数列是等差数列吗？

设an=kn+b,(k≠0，k、b常数)

则an+1-an=k(n+1)+b-(kn+b)=k

∴{an}是等差数列。等差数列的前n项和Sn是n的什么函数？

d≠0时，Sn是n的二次函数；d=0时，Sn=a1n。若一个数列的前n项和为n的二次函数，这个数列是等差数列吗？

设数列{bn}的前n项和为n的二次函数，即Sn=an2+bn+c（a、b、c为常数，且a≠0）则b1=S1=a+b+c

n≥2时，bn=Sn-Sn-1

=(an2+bn+c)-[a(n-1)2+b(n-1)+c]=2an-a+b

此为n的一次函数，故从第二项起是等差数列，

又n=1时，2an-a+b=a+b，

∴c=0时，{bn}是等差数列；c≠0时，{bn}不是等差数列。例1．已知数列{an}，an=2n-16，

求Sn的最小值。解：∵{an}是以2为公差、-14为首项的等差数列，

(n∈N*）∴n=7或8时，Sn最小，为-56解2：∵an=2n-16，∴an单调增，

又a1=-14<0，a8=0

∴n=7或8时，Sn最小，为例2．若{an}是等差数列，首项a1>0，S2008>0，S2009<0，求使前n项和Sn为正的最大n的值。解：由已知可得：d<0，a2008>0，a2009<0，∴S2008最大Sn的图象是过原点、开口向下的抛物线上的点，设抛物线的对称轴方程为x=m，则2008≤m<2008.52m∈[4016，4017)∴最大的n为4006m2mOnSn例3．数列{an}，

∴当1≤n<9(n∈N*）时，an+1>an，即a1<a2<a3<…<a9

当n=9时，an+1=an，即a9=a10

当n>9时（n∈N*）时，an+1<an，即a10>a11>…

∴数列的最大项为

解：an+1-an求{an}中的最大项。例4．两个不是常数列的等差数列{an}和等比数列{bn}，a1=b1=1，那么它们最多有多少个对应项的值相等？

例4．两个不是常数列的等差数列{an}和等比数列{bn}，a1=b1=1，那么它们最多有多少个对应项的值相等？解：设an=1+(n-1)d(d≠0),bn=qn-1(q≠0,q≠1)an=bn,1+(n-1)d=qn-1即讨论此关于n（n∈N*）的方程解的个数。

令y1=1+(n-1)d(d≠0）①y2=qn-1(q≠1，q≠0）②

函数①的图象是直线上自变量取自然数的点；函数②的图象（q>0,q≠1）是指数函数的图象右移一个单位且自变量取自然数的点。①、②的图象都过点（1，1）y1=1+(n-1)d(d≠0）①

y2=qn-1(q≠1，q≠0）②（1）q>0，（q≠1）

若d>0,y1单调增。则当q>1时，它们之间才可能再有交点，且最多一个；yo1x若d<0，y1单调减，yo1x则当0<q<1时，它们之间才可能再有交点，且最多一个。y1=1+(n-1)d(d≠0）①

y2=qn-1(q≠1，q≠0）②（2）q<0y2=qn-1对应的点分别在y=|q|n–1和y=-|q|n–1两条图象上。

只有当|q|>1时它们才可能再有交点，且最多一个；只有|q|>1或0<|q|<1时,它们才可能再有交点，且最多两个。综上，两数列中对应项相等的项数不超过三个。yo1