2023届高考数学专项练习洛必达法则含解析

2023届高考数学专项练习

恩图§0导

“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立、或恒成立命题

0OO

时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值,若出现77型或一型可以考虑使用洛必达法则。

U8

法则1若函数/(⑼和g(⑼满足下列条件：

(1)lirn/(%)=0及limg(/)=O；

xTax-^a

(2)在点Q的某去心邻域内,/(x)与gQ)可导且g'(%)WO；

(3)lim于；c.=4那么lim工我=lim于；我=由.

ig・弓ig•或ig•我

法则2若函数/(%)和g(c)满足下列条件：

(1)lim/(c)=8及limg{x)=oo；

x-^ax->a

(2)在点a的某去心邻域内,f(x)与g(x)可导且"(力)WO；

(3)lim于;©=4,那么lim/或=lim于;*=A

'x-a9・x・x—a仇x,x->a9”

类型一:用洛必达法则处理E型函数

【例1】已知函数/(%)=x(e'—1)—a—,当6二0时，f(£)>(),求0的取值范围.

【方法总结】用洛必达法则处理:；型函数的步骤：L可以分离变量；2.出现“心”型式子；3.运用洛必

达法则求值

【针对训练】若vrre[1,+8),不等式卜1名4?71(1-」恒成立,求实数m,的取值范围.

3/

类型二:用洛必达法则处理券型函数

【例2】已知函数/(1)=3+l)lnrr—aQ—1),若当x€(1,+℃)时,/(尤)>0,求a的取值范围.

I：方法总结】用洛必达法则处理:型函数的步骤：1.可以分离变量；2.出现“展”型式子；3.运用洛

必达法则求值

[针对训练】设函数/(0=e，-1一1一a/,若当/>0时/Q)>(),求a的取值范围

1.已知函数/(o:)=alna；+b：E(a,beR)在c=十处取得极值,且曲线y=/(重)在点(1,7(1))处的切线与

直线x—y+1=0垂直.

(1)求实数a,b的值；

(2)若V工C[1,+8),不等式/(⑼恒成立，求实数m的取值范围.

2.已知函数,f(c)=rr(eH—1)—acL

⑴若/⑸在t=T时有极值,求函数.f(z)的解析式;

(2)当Z>0时，/(7)20,求a的取值范围.

3.已知函数/Q)=/詈+：,曲线y=/(T)在点(1J(1))处的切线方程为，+29一3=0。

(1)求。、b的值；

(2)如果当工>0,且立#1时，/(/)>普*+&,求人的取值范围。

X-LX

4.已知函数/3)=T34-ax2+bx+/,当a=-1时，若V/G(—8,0),都有/(%)<5恒成立，求b的取

值范围.

5.若不等式sini>2-3，对于iE（0,与）恒成立，求a的取值范围.

6.设函数/（乃=1—e一.设当c>0时,/Q）&号丁，求0,的取值范围.

axI-x

7.设函数/(①)=e，-l-c—a炉，若当时/Q)>o,求a的取值范围.

8.己知函数/(工)=mx—sinx,g(x)—axcosx—2sinx(a>0).

(1)若函数U=/3)是(-oo.+oo)上的单调递增函数,求实数m的最小值；

(2)若馆=1,且对任意工€[(),]],都有不等式成立,求实数a的取值范围.

9.设函数/(0=,如果对任何人二0,都有/(⑼Wax,求a的取值范围.

/ICOS£C

©

“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立、或恒成立命题

08

时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值,若出现77型或一型可以考虑使用洛必达法则。

U8

法则1若函数/(⑹和g(0满足下列条件：

(1)lirn/(%)=0及limg(/)=0；

x-^ax-^a

(2)在点Q的某去心邻域内,/(x)与gQ)可导且g'(a)W0；

(3)lim于；=4那么lim工我=limX'=A.

x—ag,x.i

法则2若函数/(%)和g(x)满足下列条件：

(1)lim/(c)=8及limg{x)=oo；

x-^ax-^a

(2)在点a的某去心邻域内,f⑺与g(x)可导且"(力)WO；

(3)lim于;c.=4,那么lim/或=lim于;*=A

①一。g・”・Xiag,x,x->ag・x・

SOI®

类型一:用洛必达法则处理¥型函数

【例1】已知函数/3)=x(e7—1)—ax2，当a,0时,f(x)>0,求a的取值范围.

【解析】当时,73)>0,即Me。-1)>ax2.

①当力=0时，aG";

②当力>0时，2@-1)>32等价于也即a4与L

记g(⑼=♦L,xE(0,+°o),则g'(x)=—~2+1.

JbJJ

记h(x)=(:i：—l)e,:+1,%G(0,+8),则h'[x)=xe''>0,因此九(力)=(x—l)e*+1在(0,+8)上单调

递增，且”2)>从0)=0,所以g'(M="

从而g(%)=—在(0,+oo)上单调递增，所以a&lim—~

OChtO(D

由洛必达法则有：limg(x)=lirn------=lim-y-=I,

即当力-0时,g(x)一1,所以g(x)>1,即有a&1.

综上所述，当时，/Q)>0成立.

【方法总结】用洛必达法则处理心型函数的步骤：L可以分离变量；2.出现“营”型式子；3.运用洛必

达法则求值

【针对训练】若V/C［l,+8),不等式—恒成立，求实数M的取值范围•

【解析】当劣=1时，恒成立；

当力>1时，m>耳咒恒成立,

x^—1

222

令g)=却，则"㈤(Ina:+1)(X-1)-2x-xlnxx-x\nx-\nx-l

(x2-l)2(/-j，

1X2—2x2lnx—1

令m(x)=x2—x2\nx—Inrc—1,则7nf(x)=2x—2x\nx—x

xx

令?=X2—2x~\nx—1,则n\x)=2x—4.x\nx—2x=-4xlnT<0;

得沱(宏)=x2—2x21nx—1在(1,+8)是减函数，故九(1)<n(l)=0,进而m\x)<0

(或m!{x)=x-2x\nx—J,mn{x}=-21nx—1+十<0,得TTT/(力)=x—2x1m;—］在(l,+8)是

减函数，进而n?/(x)<0).

可得：znQ)<m(l)=0,故//(,•)<0,所以ZiQ)=?n；在(1,+8)是减函数，而m要大于等于九(1)

X--1

=二'"I：在(1,+8)上的最大值，但当®=1时，y=h(G没有意义，变量分离失效，我们可以由洛必

x—1

达法得到答案,=linJ空,=4，故答案为7心看.

工句X"—1工-12X/2

类型二:用洛必达法则处理三型函数

OO

【例2】已知函数/(2)=(x+1)Inx—a(x—1),若当2E(1,+8)时，/(#)>0,求a的取值范围.

【解析】当cE(1,+8)时，/(力)>0U*QV~^-----；---.令"(/)=-------：--,

X-IX-L

(工？1+lnz)3—1)—(x+l)lnxx---2\nx

则H'(x)=a;____

(x-1)23T)2

令K(c)=:r--21nc,则K'(sc)=2—孥土上>0,

xx

于是K(z)在(1,+8)上单调递增，所以K(z)>K(1)=0,于是以，(⑼>0,

从而”3)在(1,+8)上单调递增.

z1++lnx

..A,,.X,X„,]丁R1.3+l)lnc((x+l)lns)¥9

由洛必达法则，可付lim-—：---=lim-—yr--=lim--「-=2,

a;f+bl计1+(x-iy「1+1

于是a<2,所以a的取值范围是(-8,2］.

［方法总结］用洛必达法则处理子型函数的步骤：1.可以分离变量；2.出现“子”型式子；3.运用洛

必达法则求值

【针对训练】设函数/(1)=C”-1—力一。",若当/>0时/(力)>0,求a的取值范围

【解析】当年=0时，/(力)=0,对任意实数Q,均在/(2)>()；

当n>0时，/(%))0等价于a《'-J—1

x

x

A/\_e-x-1/.t，/\_xex-2ex+a;+2

令g(c)=-------(c>。)，则agQ)=----3------，

X5X

令/?,(2)=%?「一26'+/+2(2>0),则/，'(/)=xeT—e1+1,h!\x)=xeL>0,

知"(c)在(0,+co)上为增函数，"Q)>"(0)=0;

知九(力)在(0,+°°)上为增函数，九(2)>h(0)=0;，g'3)>0,g(i)在(0,+8)上为增函数。

由洛必达法则知,lime-~~-=lim合=lim--=(,

ntrxD-〃L(T//

故综上，知a的取值范围为(-8,1~)o

1.已知函数/(/)=aln.r+bx(aybE/?)在力=/•处取得极值，且曲线"=f(⑴)在点(1,/(1))处的切线与

直线T—y+1=0垂直.

(1)求实数的值；

(2)若V力G[1,+8),不等式/(%)&(馆一2)c—詈恒成立,求实数的取值范围.

【解析】⑴•・•/(])=a\nx+bx,f\x)=十+b;

函数/(⑦)=a\nx+bx(a,b£R)在力=处取得极值，=2a+b=0;

又,/曲线n=于⑸在点(1,/(1))处的切线与直线2：—"+1=0垂直".八1)=a+b=-1;

解得：a=1,6=-2;

(2)不等式/(①)W(m,—2)%—等恒成立可化为In/Wma—箸，即ln/Wm,(c—1);

1

当％=1时，恒成立；当名>1时，呼；恒成立,

X--1

人1/、clnc而11,/\(Ini+1)(力2—1)—27,/Incx2—x2\nx—\nx—1

令"⑶=R'则,'⑻=----------FP---=-FP—

令m(x)=X2—x2\nx—Ina7-1,贝】]=2x—2xlnx—x—•—='——

令〃(力)=⑦2—2x~\nx—1,则nf(x)=2x—4x\nx—2x=-Ax\nx<0;

得72(力)=x2—2x2\nx—1在(l,+8)是减函数，故九Q)<n(1)=0,进而mr(xj<0

(或—x—2x\nx—mn[x}——21n;r—1+」7V0,

得m/(i)=/—2旬116一；在(1,+8)是减函数，进而m/Q)VO).

x

可得：m(%)Vm⑴=0,故九'(①)VO,所以ZiQ)=在(1,+8)是减函数，

x~—l

而小要大于等于九3)=3口在(1,+8)上的最大值，但当二=1时，y=九(%)没有意义，

x-1

变量分离失效,我们可以由洛必达法得到答案，lim小q=lim吗+1=-y,故答案为m*.

X—1x-»lZXZ/

2.已知函数/(4)=①(e，-1)—a炉.

(1)若/(①)在力=一1时有极值,求函数/(])的解析式；

⑵当c>0时,/㈤>0,求a的取值范围.

【解析】(1)因为/Q)=①(e'—1)—寤了2,所以产(碱=eT-1+xer-2ax

由/(z)在/=一1处取极值,得/'(-1)=0,求得。]，所以/(%)=土9工-1)--yx2.

(2)当时,/(c)>0,即x(e^—1)ax2.

①当比=0时，

②当x>()时，rc(er—I)>。一等价于6工一l>arc，也即.

记g(x)=e~1,xS(O)+oo),贝i]g'3)=—~~?+1.

记%(%)=(x—1)6*°+1,X€(0,4-oo),则九'(⑦)=xev>0,

h.(x\

因此h(e)=(x—l)er4-1在(0,4-oo)上单调递增，且九(力)>/i(0)=0,所以"(％)=—>0;

白工一11—1

从而g(x)=----在(0,4-oo)上单调递增，所以a&lim-----.

x工-»()x

由洛必达法则有：lirng(x)=limI二L==1,

即当人一0时，g(x)->1,所以g(c)>1,即有a&l.

综上所述，当a&1,0时，/(c)>0成立.

3.已知函数/(立)=©詈+2，曲线y=f(x)在点(1J(1))处的切线方程为x+2y-3=0o

(1)求a、b的值；

(2)如果当/>0,且/#1时，/3)>普~+[,求上的取值范围。

【解析】⑴略

(2)由题设可得，当0,4#1时，+l恒成立。

1—X-

22

A/、2x\nx一，八八…，/\-(^+l)lnrc—rr+1

令。(⑼=/_2+1(%>。，/#1),则。(，)=2------_-----，

1x(XxJ

再令拉(力)=(/+l)lnx-x2+l(x>0,x.1),则h![x)=2x\x\x+——x,h!\x)=21n/+1—

ix

易知/z"Q)=2\nx+1——上在(0,+8)上为增函数，且九"(1)=0;

故当(0,1)时，(力)V0,当xhn(x)>0(1,+-"(/)>0)时,h"(x)>0;

・•.”(])在(0,1)上为减函数，在(1,4-00)上为增函数；故"(N)>//(1)=0,

：・g)在(0,+8)上为增函数，・.・九(1)=0,

当£(0,1)时，h(x)V(),当xh[x}>0(1,+九(i)>0)时，拉(1)>0,

：.当4C(0,1)时，g\x)VO,当>0(1,+g'(N)>0)时，g'(c)>0,

，g(c)在(0,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数，

由洛必达法则知limgQ)=21im-^^v+1=21im1+，口亚+1=2X(—+1=0,

x->lL11一x-»l-ZX\27

・・・力&0,即k的取值范围为(-8,()]

322

4.已知函数/㈤=x+ax+bx+Q,当a=—1时，若V力E(—8,0),都有f(x)<c"恒成立，求b的取

值范围.

【解析】当力V0时，.——・一+麻+1恒成立，等价于br'-1恒成立

x

人/xex—x3+x2—l,/x(x—1)(e^—2x2—x-l)击人：\工1

令g(c)=一则mlg(c)=一一——,再令九(i)=e—29i~一/一1,

TX"

由h'[x)=e/-4/—1得=e”一4,.・・当0Vo时，h"(x)=e—4<0,

hr(x)=er—4.T—1在(—8,0)单调递减，，V⑦C(—8,0),h![x)>/?/(0)即h\x)>0,

h(x)=c7—2x2—x—1在(一8,0)单调递增，:.Vx€(—8,0),h{x)</i(0)即h{x)<0,

.u((力一l)(e”-2"一①一1)

..VwXE(—oo,(J)n[x)=----------------5-------------->0,

X

・・.g(G=6一%尸―1在(-8,0)单调递增，

・汨1•e°—炉+/一1(ex—x3+x2—iyc“一3d+2力.

.,.由:各必达法则可得hm——=lim--p--=lim--=1,

x-0Xx->0xA0i

.-.VTe(-CO.0),g(x)<1,要使b=恒成立，只需b>1,

..•匕的取值范围是[L+8)

5.若不等式sin/>2•-或？对于2G((),.)恒成立，求a的取值范围.

【解析】当久6(0,寺1时，原不等式等价于a>殳二平型.

f、x-sinx耳1q/x3sina;—xcosx-2x

圮/(%)=-----，则f(x)=-------------1------------.

X5X

记g(x)=Bsinre—xcosx—2x,贝|g，(x)=2cos%+xsinx—2.

因为gH(x)=xcosx—sin/=cosx(x—tanx),

g'〃3)=-xsinx<0,所以g〃Q)在(04)上单调递减，且g"3)V0,

所以O'Q)在(0,-y)上单调递减，且g'㈤V0.因此。㈤在(0])上单调递减，

且g(c)VO,故r3)=等V(),因此,f3)="尚且在(0,£)上单调递减.

—COS%i・smxCOSX1

由洛必达法则有\hnf(x)=lim——苧空=lim=lim——=vlim

HT)3①2工TOUXX-»066,

即当：c-()时,gQ)-"I•，即有/(土)<卷

故aA1时，不等式sine>c—aar"对于xG(0,^I■力恒成立.

6.设函数/(，)=1-e『设当/A()时,f®&g；],求a的取值范围.

【解析】由题设名>0,此时/(立)>0.

①当aVO时，若一工，则I[<0,/(⑶&；[不成立;

aax+[az+1

②当a>0时，当/>0时，/㈤即1—

CvvlzIX(J/JbIJL

若t=0,则a€7?;

若二>0,则「e-'&岛:等价于1^^一,即

xax+1xe:,;-X

记如=写言则g'(M酰一22}—21+1=(邮皂⑼2©一2+ef.

(xex—x)2

记h(x)=er—x2-2+e~'x,则h\x)=ex—2x-h,f(x)=e"+e~x—2>0.

因此，力㈤=el-2x-e一工在(0,十⑹上单调递增，且〃(())=(),所以〃(力>0,

即h(x)在(0,+oo)上单调递增，且九(0)=(),所以九(%)>0.

因此(/(1)=一(一—^-h(x)>0,所以g(i)在(0,+8)上单调递增.

{xe—x)~

由洛必达法则有limgQ)=lim-"g---=lim然,--=li中系三吟7=J■，即当力一。时,

D±T)xe—xe+xe—12e+xe2

9(工)1焉，即有0(力>4，所以04』.综上所述，0的取值范围是(一8尚.

7.设函数/(n)=e"一1一%—a/2,若当£>0时/(ar)>0,求a的取值范围.

【解析】当①=0时,/(0=0,对任意实数以,均在/3)*o；

当,>0时,/(4)>()等价于a《巨

X'

=rz

令g(c)~-----(x>0),则g\x)=----------2e+6+2，令.⑺=xe；—2e+a:+2(a;>0),

xx

则h!{x)=xex—ex+1,h"(x)=xex>Q,

知h'⑺在(0,+8)上为增函数，"(n)>〃(())=0;知/[(/)在(0,+8)上为增函数，h(x)>h(0)=

0;?.gf(x)>0,g(x)在(0,+oo)上为增函数。

由洛必达法则知，1irrr^----一-=lim(一=lim旨=4"，故a<(

z->o‘力-0+/①*TO-222

综上，知a的取值范围为(一8,彳)。

8,已知函数/(<c)=mx—smxig{x)=axcosx—2sina:(a>0).

(1)若函数”=/3)是(―8,+8)上的单调递增函数,求实数馆的最小值；