第六章统计+知识点总结梳理 高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

2/22019新教材北师大版数学必修第一册第六章知识点清单目录第六章统计§1获取数据的途径§2抽样的基本方法§3用样本估计总体分布§4用样本估计总体的数字特征2/2第六章统计§1获取数据的途径§2抽样的基本方法一、获取数据的途径1.直接获取：通过社会调查或观察、试验等途径获取数据.直接获取的数据称为直接数据或一手数据.2.间接获取：借助各种媒介，包括报纸杂志、统计报表和年鉴、广播、电视或互联网等获取数据.间接获取的数据称为间接数据或二手数据.二、普查和抽查方式定义特点普查为了掌握调查对象的整体情况，对全体调查对象进行研究的一种调查方式所取得的资料系统、全面抽样调查(简称抽查)从全体调查对象中，按照一定的方法抽取一部分对象作为代表进行调查分析，并以此推断全体调查对象的状况的调查方式优点：迅速、及时，节约人力、物力和财力；缺点：结果具有不确定性三、总体和样本总体调查对象的全体个体总体中的每一个被考察的对象样本在进行抽样调查时，从总体中抽取的部分抽样在进行抽样调查时，从总体中抽取样本的过程样本(容)量样本中个体的数目总体的分布总体中各类数据的百分比四、随机抽样1.随机抽样：在抽样调查中，每个个体被抽到的可能性均相同的抽样方法，称为随机抽样.随机抽样有多种不同的方法，其中比较典型的是简单随机抽样和分层随机抽样.2.简单随机抽样(1)定义：一般地，从N(N为正整数)个不同个体构成的总体中，逐个不放回地抽取n(1≤n<N)个个体组成样本，并且每次抽取时总体内的每个个体被抽到的可能性相等，这样的抽样方法通常叫作简单随机抽样.(2)抽签法和随机数法①抽签法的具体步骤：(i)给总体中的每个个体编号；(ii)抽签.②随机数法中常利用转盘或摸球、随机数表、科学计算器或计算机等工具产生随机数.其中利用随机数表产生随机数是一个常用的方法，具体步骤如下：(i)给总体中的每个个体编号；(ii)在随机数表中随机抽取某行某列作为抽样的起点，并规定读取方法；(iii)依次从随机数表中抽取样本号码，凡是抽到编号范围内的号码，就是样本的号码，并剔除相同的号码，直至抽满为止.3.分层随机抽样：将总体按其属性特征分成互不交叉的若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的个体，这种抽样方法通常叫作分层随机抽样.五、抽签法与随机数法的合理选择抽签法和随机数法的特点及比较抽签法的特点当总体中的个体数较少时，抽签法简单易行；当总体中的个体数较多时，制作号签的成本(时间、物力、人力)会增加，将号签搅拌均匀会变得困难随机数法的特点可以利用随机试验(摸球、转盘等)生成随机数，也可以利用随机数表、计算机等生成随机数，利用信息技术生成随机数方便快捷，效率高，可以节省成本比较抽签法和随机数法的共同点：一是个体之间差异不明显，二是样本量不大；抽签法和随机数法的不同点：总体中的个体数较少用抽签法，总体中的个体数较多用随机数法六、对分层随机抽样概念的理解1.分层随机抽样的特点(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；(2)分层随机抽样中，按抽样比例确定每层抽取个体的数量；(3)分层随机抽样也是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是样本量(n)(4)分层随机抽样能充分利用已掌握的信息，使样本具有良好的代表性.2.分层随机抽样的一般步骤七、抽样方法的选取与综合应用1.简单随机抽样与分层随机抽样的区别与联系简单随机抽样分层随机抽样共同点抽样过程中，每个个体被抽到的可能性相等相互联系在各层抽样时采用简单随机抽样各自特点从总体中逐个抽取将总体分成几层，分层抽取适用范围总体中的个体数较少总体由差异明显的几部分组成2.合理选择抽样方法的一般步骤§3用样本估计总体分布一、频数与频率1.频数指每个对象出现的次数，如果总体容量比较小，频数可以较客观地反映总体分布.2.频率表示频数与总数的比值，反映了相对总数而言的相对强度，其所携带的总体信息远超过频数.当总体容量较大时，频率更能客观地反映总体分布.3.在统计中，经常要用样本数据的频率去估计总体中相应的频率，即对总体分布进行估计.二、频率分布直方图1.在频率分布直方图中，每个小矩形的底边长是该组的组距，每个小矩形的高是该组的频率与组距的比，从而每个小矩形的面积等于该组的频率，即每个小矩形的面积=组距×频率组2.画频率分布直方图的步骤(1)计算极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差.(2)确定组距与组数：为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”，组数应力求合适.当数据在120个以内时，通常按照数据的多少分成5组~12组.极差、组距、组数之间有如下关系：①若极差组距为整数，则②若极差组距不为整数，则[极差(3)分组：通常对组内数据所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间.(4)列表：统计各组数据的频数，计算频率，完成频率分布表.(5)画频率分布直方图：根据频率分布表，画出频率分布直方图.三、频率拆线图1.通常，在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间.从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图.2.一般地，样本容量越大，用样本的频率分布去估计总体的分布就越精确.随着样本容量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线.四、用样本分布估计总体分布1.用样本分布估计总体分布的一般方法利用样本在某一范围内的频率可近似地估计总体在该范围内的频率.因此，首先样本抽取要合理科学，其次频率分布表(或频率分布直方图)要正确绘制，或者要准确找出题目所给频率分布表(或频率分布直方图)中的相关信息，最后由样本的分布估计出总体的分布情况.2.绘制频率分布直方图的注意点(1)各组频率的和等于1.(2)在xOy坐标平面内画频率分布直方图时，x=样本数据，y=频率组距，这样每一组的频率可以用该组的组距为底边长、频率组距为高的小矩形的面积来表示，其中矩形的高=(3)同样一组数据，组距不同，横轴、纵轴单位不同，得到的频率分布直方图的形状也会不同.§4用样本估计总体的数字特征4.1样本的数字特征一、样本的数字特征1.平均数是指一组数据的平均值.2.一般地，中位数是将一组数据按从小到大的顺序排列后，“中间”的那个数据.3.众数是指一组数据中出现次数最多的数据.4.极差和方差都刻画数据的离散程度.极差是数据中最大值和最小值的差.方差刻画的是数据偏离平均数的离散程度.5.定义方差的算术平方根s=s2=(x1−x)2+(x2−x)2+…+(二、方差和标准差1.标准差(方差)的作用(1)标准差(方差)较大，数据的离散程度较大；标准差(方差)较小，数据的离散程度较小.(2)在实际应用中，常常把平均数与标准差(方差)结合起来进行决策.在平均数相等的情况下，比较标准差(方差)以确定稳定性.2.若x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，标准差为s，则以下数据的平均数、方差和标准差有如下规律：数据平均数方差标准差x1，x2，…，xnxs2sx1+b，x2+b，…，xn+b(b为常数)x+bs2sax1，ax2，…，axn(a为常数)axa2s2|a|sax1+b，ax2+b，…，axn+b(a，b为常数)ax+ba2s2|a|s三、用样本的数字特征估计总体的数字特征1.一般情况下，如果样本容量恰当，抽样的方法比较合理，那么样本的数字特征能够反映总体的数字特征.在允许一定误差存在的前提下，可以用样本的数字特征去估计总体的数字特征.2.平均数、中位数、众数与频率分布直方图的关系：(1)在样本数据的频率分布直方图中，众数就是最高的小矩形中某个(些)点的横坐标.(2)由于在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此在频率分布直方图中，中位数左侧和右侧的小矩形的面积和应该相等，据此可以估计中位数的值.(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，是频率分布直方图的平衡点.用频率分布直方图估计平均数时，平均数的估计值等于频率分布直方图中各个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标(组中值)之积的和.3.利用频率分布直方图求得的众数、中位数和平均数均为近似值，往往与由实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计众数、中位数和平均数.4.2分层随机抽样的均值与方差

4.3百分位数一、分层随机抽样的平均数与方差1.分层随机抽样的平均数一般地，将样本a1，a2，…，am和样本b1，b2，…，bn合并成一个新样本，则这个新样本的平均数为a1+a2+…+am+b于是，当已知上述两层构成的新样本中每层的平均数分别为 和 时，可得这个新样本的平均数为w1x1+w2x2，其中w1=mm+n，w2=nm+n，w更一般地，设样本中不同层的平均数和相应权重分别为x1，x2，…，xn和w1，w2，…，wn，则这个样本的平均数为w1x1+w2x2+…+w2.分层随机抽样的方差设样本中不同层的平均数分别为x1，x2，…，xn，方差分别为s12，s22，…，sn2，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2=i=1n二、百分位数1.百分位数的定义一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0，1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.2.四分位数25%，50%，75%分位数是三个常用的百分位数.把总体数据按照从小到大排列后，这三个百分位数把总体数据分成了4个部分，在这4个部分取值的可能性都是14.因此这三个百分位数也其他常用的百分位数有1%，5%，10%，90%，95%，99%.总体的p分位数通常是未知的，人们用样本的p分位数来估计它，样本容量越大，估计越准确.3.求百分位数的步骤计算一组n个数据的p分位数的一般步骤如下：第一步，按照从小到大排列原始数据；第二步，计算i=np；第三步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.三、分层随机抽样的平均数与方差的理解与应用1.平均数相同，方差小说明成绩比较稳定.平均数大且方差小说明成绩比较优秀而且稳定.2.