2023届新高考数学真题解析几何讲义第17讲 定值问题

2023届新高考数学真题解析几何专题讲义第17讲定值问题

方法综述

解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某

些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确，定的值，求定值问题常见

的解题模板有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

类型一与面积有关的定值问题

【例1】已知椭圆C:二+1过点/(2,0),8(0,1)两点.

a~b

(I)求椭圆。的方程及离心率；

(11)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线尸N与y轴交于点直线尸8与x轴交于点N,求证：四边

形/3NM的面积为定值.

解：(1)由题意得，a=2,6=1.所以椭圆。的方程为二+/=i.

4

又‘=A/(72-b2=所以离心率e=-=—.

a2

(2)设尸(%,%)(%<0,%<0),则X；+4*=4,又4(2,0),8(0,1)，二直线PA的方程为y=』-(x-2).

xn-2

令安。，得犷言‘；•即卜f+碧.

直线PB的方程为》=为二1+1.令y=0,得从而|/N|=2-x1,=2+

X。y0-1^-]

；|叫渺叫=：(2+士）（1+鼻）

所以四边形/8M0的面积S=

1

y0-%-2

=苍+4y<；+4%y04x°8K+4=2x°y。-2x。-4%+4=从而四边形的面积为定值.

2aM-%-+2)xoyo-x0-2y0+2

【方法小结】

解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量

无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的

代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.

【例2】已知椭圆E:三+口=1,点4,8,C都在椭圆上，O为坐标原点，。为48中点，且函=2而.

43

1

(1)若点C的坐标为(13))，求直线45的方程；

(2)求证：A48c面积为定值.

——13

解：(1)设力(占,%),8小,%),-：CO=2OD,将4,8代入椭圆方程中

"k2

I

+M

-

l3一

露

可4化简可得&+&)(再-%)+(必+必)(乂-%)-o

一N2

?%'43

+--

4I31

yry-_3（再+超）__3,i__工

2，直线〃8的方程为x+2y+2=0；

西-々4（乂+%）4k0D2

(2)证明：设C(w,〃)，，。(-丝,-巳)，

22

①当直线N8的斜率不存在时，〃=0,由题意可得C(2,0),31,3/或C(-2,0),/f3(l3,

19

此时SMBC=］仓电3=5；

31

②当直线48的斜率存在时，n'0,由（1）k^~--=,

ABB

4k0c4〃

3rn3m2+4n23〃z3

AB:y+--^（x+y）,即直线Z8:y=—x----------二——x——

4〃8〃4n2n

口r.¥3〃a+4ny+6=0/口，。

即3mx+4ny+6=0,由I））得3x2+3mx+3-4犷=0

|3x2+4y2=12

%+y-=1-竽

9：Cd=2OD,—^6n2+9m2,

2

。到AB的.距离d=/°二4.=3&a«=3仓*；的川+苛69

d9m?+16/72业+16〃」2

•••S^c为定值.

【方法归纳】

1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些

代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，,而始终是一个确定的值.常见定值问题的处

理方法：

(1)确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示

(2)将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，再进行化简，看能否得到一个常数.

2.定值问题的处理技巧:

2

（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的

处理提供一个方向.

（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢

（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算.

【变式训练1】

已知点48的坐标分别为「6,0）,（百,0）,直线/P,8P相交于点尸，且它们的斜率之积为

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点尸的轨迹为C,点M,N是轨迹C上不同于4,8的两点，且满足AP〃OM，BP〃ON,求证：AA/ON的

面积为定值.

解：（1）设点尸的坐标为（x,y）,由题意得，kAPkBP—'「—'「——（x贡-73）

x+V3x-V33

化简得，点尸的轨迹方程为蚤+[=l（x贡百）.

（2）证明：由题意知，是椭圆C上不同于48的两点，S.AP//OM,BP//ON,则直线4P,BP的斜

率必存在且不为0.

2

因为4P〃。河,8尸〃。N,所以七“kmkAPkH,,-§（x贡73）.

设直线MY的方程为x=tny+t,的坐标分别为Af/W%,%），

4mt

把x=叼+M弋入椭圆方程占+/二13+2m2

得（3+2nr）y2+4mty+It1-6=0

322t2-6

3+2m2

又k派="=_________绳_________-2*6.2*6-o

即2/=2川+3.

22

°、XjX2/歹必+mt{y}+%）+/3r_6M?3t-6m3

8m

又SAWN=；卜||乂-%|=J"'2：+：72.$惭=当-=当，即的面积为定值

【变式训练2】在平面直角坐标系my中，已知点/（士,乂）,8（%,必）是椭圆E:工+必=]上的非坐标轴上的点,

4

且4k0A次QB+1=°（k0A,k0B分别为直线。4。3的斜率）.

（1）证明：x；+X）力+/均为定值;

（2）判断AO/3的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

解：（1）证明：依题意，玉,々,乂,%均不为0,

则由米瘀+1=0,得"曲+1=0,化简得力=-以，

中24乂

因为点A,B在椭圆上，所以x；+4y；=4,①，¥+4员=4,②

把力=-以代入②，整理得（X：+4寸）¥=16".

4M

3

结合①得考=4必2,同理可得X；=4^2，从而X：+x；=4月+x；=4,为定值,

2

才+W=才+,=1，为定值.

(2)S皿B=4OB=；旧+"旧货71cos2AOB

二:旧+必2祀+货小:竺)—+y；)(x；+戈广(xm+必%)2=；|国力—x2yt\.

2V\x\必)(王2十与)乙

由⑴知¥=化，占2=4£,易知必=-1,凹=£或%=,*=-£，

Sxo1t=；卜必-七必|=1gx：+2代=xj+44K二1,因此A0/8的面积为定值1.

类型二：与斜率有关的定值问题

与斜率有关的定值问题包括直线的斜率为定值，或两直线的斜率之积为定值，或两直线的斜率之比为定值,

或两直线的斜率之和为定值等.

【例1】如图，椭圆［+4=1的离心率是无，点(/3在椭圆上，设点4团分别是椭圆的右顶点和上顶点,

a'b~22

过点4，片引椭圆C的两条弦4瓦57.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线与耳尸的斜率是互为相反数.

①直线斯的斜率是否为定值？若是求出该定值，若不是，说明理由;

②设年®、\B.EF的面积分别为E和邑，求E+$2的取值范围.

I_c_8

i4二22

解：（1）fa2,解得j-，，椭圆的方程为二+/=i.

0+_L=i例=14-

,34b2

(2)①设点E(%,%)，尸(乙,必)，直线4E:y=%(x-2),直线与F:y=-云+1

犷=k{x~2)

联立方程组Ex?,，消去V得(4/+1)/-16/》+16r-4=0

匕+「=1

2

16k-4=8H-2

2x,2*e•必=以占-2）=

4k2+1'*-4k+14储+1软2+1'442+1

4

y=-kx+\

联立方程组8k

、，消去y得：(4/+i)V-8h二0,x2

24k2+1

IT+y=1

1-4A2.上8k1-4k2

y=-kx-^1=—；——，..点F(），故它口=；

222

4A+14公+1'止+1X]一工22

1

y=-x+t

22

②设直线£/Ly=入联立方程组，消去y得：x+2Zx+2『-2=0,

-2

1

△=(-2Z)2-4(2?-2)=8-4*>0,-V2<t<历,x,+2

-2z,x,x2=2t-29

•••|明=引=-4/.

设d\,d1分别为点4,4到直线EF的距离，则4=J1=&=1J।=>C

S\+S广g(4+d2)\EF\^(\t+1|+1?-,

当1</<血时，&+S?=2/V2-t2=2V2?-Z4I(0,1)；

2

当-11时，S,+52=272-tI[2,272]；

2

当-亚〈/<-l时，S1+s2=-2rV2-t242ti(0,1)；

综上可知：E+S2的取值范围是（0,20].

22L

【例2】已知椭圆C:=r+Jv=T（a>b>0）的长轴长为4,焦距为2VL

a~b~

（I）求椭圆。的方程；

（II）过动点M（0,加）（加〉0）的直线交x轴与点N,

交C于点4尸（尸在第一象限），且M是线段PN

的中点.过点尸作x轴的垂线交C于另一点0,

延长线。M交C于点反

（i）设直线PM,0M的斜率分别为4,X,证明身为定值.

k

（ii）求直线的斜率的最小值.

解：（1）设椭圆的半焦距为c,由题意知2〃=4.2c=2V2,：.a=2,b=>la2-c2=也

.••椭圆c的方程为片+片=1.

42

（2）（i）设尸（工0，%）（%>。，%>0），由〃（0,加），可得尸（工0,2加）,。（％,-2掰）

5

...直线尸W的斜率左=由=㈣，直线0〃的斜率左仁-2m-m=-—

X。X。x0x0

此时能二?为定值-3.

一3，

(ii)设Z(X],切入例%，乃)，直线产力的方程为〉二kx+m,直线。4的方程为丁=-3kx+m,

y-kx+m

2

2。可得』2m~4

x2y2_整理得(2公+1)/+4加&+2m-4=0.由/玉=

(2k2+l)x

I!—+—=10

I42

2"尸2)+”2(7712-2)-64(阳2-2)+

必二处十加二同理:

2(18/+])x。'%一(18/+1)为''

(2k+l)x0

2(wi2-2)2(w2-2)_-32k2(m2-2)

2-

(18/2+Ox。(2k+l)x0(18&2+1)(2/+1)/

一6零2a〃L2")一〃，=二的空+=-2),.阴+_L)

1

(18/+1居(2k+l)x0(18F+1)(2/+1)/x2-x,4k4k

由加〉0,x0>0,可知%>0,6k+-32娓,当且仅当％=逅时取等号.此时土一=逅

k6V4-8w26

即〃?=恒，符合题意.所以直线Z8的斜率的最小值为逅.

72

【方法归纳】本题利用a,Ac,e的关系，确定椭圆(圆锥曲线)方程是基础，通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲

线)方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到参数的解析式或方程是关键，易错点是复杂式子

的变形能力不足，导致错漏百出.

【例3】如图，椭圆E：0+^-=l(a>b>0)经过点4(0,-1),且离心率为先.

ab2

(I)求椭圆E的方程；

(II)经过点(1,1),且斜率为左的直线与椭圆E交于不同两点尸,。(均异于点/),证明：直线“尸与/。的

斜率之和为2.

解：(I)由题意知£=变力=1,又/=/+/,...”=④，.•.椭圆的方程为反+2

a22

(II)由题设知直线P。的方程为y=Mx-1)+1(82),代入]+/=i,得

(1+2k2)x2-4k(k-l)x+2k(k-2)=0,由已知A>0,设尸(冷凹),。(9,三)，王马1°，

6

A

.，.x,+x2=：，9田2=2誓婷，直线4P与Q的斜率之和为

..y,+1y?+1kx、+2-kkx)+2-k~.xz11、

kAP+kAQ=—+—二-------—--------二条+(2-%)(一+—)

%1x2X)x2Xjx2

=2k+(2-k)%।&=2k+(2-左严6-D=2k-2(k-1)=2.即直线/尸与40的斜率之和为2.

x}x22k(k-2)

【方法归纳】定值问题的处理常见的方法：(1)通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般

性的证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形形式，证明该式是恒定的，如果以客观题形

式出现，特殊方法往往比较快速奏效；(2)进行一般计算推理求出其结果.

【例4】如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆耳=l(a>b>0)的右顶点和

ab

-------3.

上顶点分别为48,M为线段，8的中点，且。0必8=

2

(1)求椭圆的离心率；

(2)若。=2,四边形4CD内接于椭圆，且/8〃£)C.记直线

的斜率分别为匕,内，求证：占次为定值.

解：(1)由题意，45,0),8(0,6),由M为线段N8的中点得

：.OM=(p1),~AB=(-a,6).

因为曲必至=-3〃，所以b)=-4+Q=-空，整理得/=4/，即。=26.

222222

因为/=/+。2,所以3a2=4，，即2c.所以椭圆的离心率e=£=且.

a2

丫21

(2)证明：由。=2得6=1,故椭圆方程为了+/=1.从而4(2,0),8(0,1),直线的斜率为

v-21

设C(x。,%),则点+需=1.因为/8〃OC,故CD的方程为y=-1(x-%)+”.

［尸~-(x-x0)+盟

联立方程组j,，消去y,得/-(%+2.%)x+=0,

解得x=/或》=2yo.所以点。的坐标为(2%,gx°).

I

所以尢居=-----山----—>即尢沟为定值—.

-2%-2/4-4

【例5】已知椭圆』+4=l(a>b>0)的焦距为2,离心率为巫，右顶点为.

aIT2

(1)求该椭圆的方程;

7

（2）过点。（-忘，点）作直线尸0交椭圆于两个不同点产，。，求证：直线1尸，40的斜率之和为定值.

解：（1）由题意可知2c=2D八又e—a3PK，所以椭圆方程为夺"L

（2）由题意得，当直线尸0的斜率不存在时，不符合题意；

当直线尸。的斜率存在时，设直线尸0的方程为y+亚=在（%-应），即y=kx-6k-五,

ly=kx--J2k--41

由1t>Q+2*)/-4应第+公x+4*+8在+2=0.

因为直线与椭圆交于两点，故其D=-48A+1）>ODk〈-g,

,、mu4>/2(A2+A)4A2+Sk+2T7,,广人、

设Pd,%),。a2,%)，则*1+々=-]+、/—,为々=-j~~点——>又4(后，0)

所以

_J]_y2_k&\-亚)-6_kG[-&)-五.£&、+x>4_

“^x\x「在匕+々升2

即直线AP,AQ的斜率之和为定值1.

x2V21

【变式训练2】已知椭圆C：q+5=&>b>0）的离心率为上,以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆

ab~2

与直线V7x-V5y+12=0相切.

（1）求椭圆。的方程；

（2）设/94,0）,过点"（3,0）作与x轴不重合的直线/交椭圆C于0，0两点，连接/P,4。分别交直线

x=与于〃，N两点，若直线M的斜率分别为4,勾，试问：4党是否为定值？若是，求出该定值,

若不是，请说明理由.

C_1

a2|a=4,,

【解析】(1)由题意得j~==bD26P—+—=

e21612

严电=甘+@1

由\!x正2十y五r_一「

2

（2）设2d,y2）,月仇，乃），直线PQ的方程为*二my+3,Qm+4)/+18/77y-21=0,

lx=my+3

-18m二-21

所以外+%二3m2+4'""3/z/2+4

28%

由力，P,M三点共线可知为

16+4为+43d+4)

3

同理可得行缶'选二A--9九八16yly2

16_49%+4)%+4)

——一3

33

8

2

,/%+4)%+4)=伪匕+7)fey2+7)=myty2+Im(y,+y2)+49,，&k广—-------竽——-——=--.

m%%+7m解+y2)+497

【变式训练3].如图，椭圆G：[+5=l(a>b>0)和圆C2：x?+y2=b2,已知椭圆£过点(1,日),焦距为2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)椭圆G的下顶点为E,过坐标原点。且与坐标轴不重合的任意直线/与圆相交于点48,直线

EA,EB与椭圆G的另一个交点分别是点P,M.设/W的斜率为4,

直线/斜率为匕，求殳的值.

解：(I)解法1：将点(1,1)代入方程，解方程组，求得椭圆q的方

程为工+/=1.

2,

2

解法2：由椭圆定义的2a=2近，.•.椭圆G的方程为与+/=L

(2)由题意可知直线PE,板的斜率存在且不为0,PE1EM,不妨设直线PE的斜率为左伏>0),则

2L=4k

CL11rk+/=1,曰J2k2+1।A

PE.y-kx~1,由12。得t,或1=0,:.尸(¥-产;

i.i2k--\\y=-12k2+12k2+1

iy=7kx-\iv=———

1!2k2+1

用去代.左，得忖(辞,。)，则冗=*=1E-I

KK'Z.K'Z.3k，

|二2k

2V2

,|x+/=1fk+IX=0.2k3)

由士得士,或i,,.•A(——

Iy=kx-1|_k2-I~1k+1'/+r

rk2+1

则&=心，=*，所以,=|.

【变式训练4】如图，M是抛物线V=x上的一点，动弦ME,MF分别交x轴于48两点，且.若M

为定点，证明：直线E『的斜率为定值.

【证明】设“(4,”)，直线A/E的斜率为左(左＞0),则直线板的斜率为-左，y\

.,・直线Affi的方程为歹-y0=k(x~需).

联立亚一为a-诉)消去X,得7

(i-机产。.

ty=x

解得丹=匚卢，•.•4=£兴•同理，孙=1+仪).=(1+如。尸

kk-k'巨k2,

・如o_1+.02

.・・h=♦「孙_k-k_k(定值).二直线EF的斜率为定值.

22

“xE-XF(1-ky0)_(1+kyu)-4何%)2%

k2k2k2

类型三:与长度有关的定值问题

9

与长度有关的定值问题包括线段长度（弦长）为定值，或两线段长度之积为定值，或两线段对应数量积为

定值等.

【例1】已知椭圆4=1色>b>0）的离心率为亚，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.

a2tr2

（1）求椭圆。的方程；

（2）已知直线y=k（x-l）0f>0）与椭圆C交于/,8两点，且与x轴，y轴交于M"，两点.

（I）若，^=TN,求*的值；

（II）若点0的坐标为己,0）,求证：至了加为定值；

4

解：（1）•・•4+4=l（a>b>0）满足a?=b2+又e=^，:.a2=2?P甘=@

a2If2

又椭圆C的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为2,即,仓协2c=2,即bc=2P6d=4

2

以上各式联立解得/=4,厅=2,

...椭圆方程为工+二=1.

42

（2）（I）直线y=AG-1）与x轴交点为M（1,0）,与y轴交点为N。，％）,

联立1）pQ+2*）/_4*x+2*-4=0

次+2/=4

AD16A4-40+22)(2*—4)=24^+16>0.

,4公

设力优，％）,8，/2），则占+巧=]+2.

又MB=(x2-lty2),AN=(~为，-4-%)

由"了=而得七+々=/^亏=1,解得k=±—

I21+2*2

由k>OPk=

2

4公2*-4

(II)由上可知+X]=--------,占次2二

121+2A2121+2A2'

______77>2-1)+.

所以6MX)B=Uj--^)=%一

二Uj-1)生一()十川%-1)CY2-1)

hc、/7A、4A249

=Q++(---*)-------+*+—

41+2*16

2炉—4+2k4-4k1-72一4〃+2+2A249

+——

1+2k216

-8*-44915

1+2k2161616

10

所以，万万列为定值-".

16

【例2】已知椭圆£:=+4=1伍>b>0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（K一）在

ah2

椭圆E上.

（1）求椭圆后的方程；

（II）设不过原点。且斜率为；的直线/与椭圆E交于不同的两点48,线段AB的中点为M,直线。必与椭圆E

交于C,D,证明：|跖^MB\=\MC\桐D|.

2212

解:⑴由已知，“=2b.又椭圆—+专■=l（a>0）过点PG反,，.•.亲•+今=1，解得。=1，所以椭圆

2

E的方程为工+/=1.

4

（2）设直线/的方程为y=m（加।0）,“（国,必）,8（乙,%）

|y+/=1

由方程组I4得/+2"a+2机2-2=0,

1=-x+m

由△=4(2-a/)>0得-逝<w<yf2.x,+x2--2m,xtx2=1m~~2,>>M点的坐标为(-zn,-y)

,K+/=i五

直线O”的方程为歹=-±X,由方程组J4得C(-加,汁),。(五

2b=4x2

所以|MC|根。|=虚)专(应+m)=*(2-m2).

1191C5C

又^MB\=-\AB\=-[(x,-x)2+(必-为『]=—[(^+x)2-4XX]

442lo2]2

=—[4w2-4(2〃/-2)]=-(2-m2).

164

所以|初4聚|皿,

【方法归纳】在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为（士,必）,（乙,力），同时把直

线方程与椭圆方程联立，消元后，可得再+x2,xtx2,再把用X］,%表示出来，并代入刚才的玉+x2,x}x2,

这种方法是解析几何中的“设而不求”法.可减少计算量，简化解题过程.

2

［例3］已知椭圆E:y_l（a>h>0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线

/:>=-x+3与椭圆£有且只有一个公共点7.

（1）求椭圆E的方程及点7的坐标;

11

(II)设0是坐标原点，直线/加07,与椭圆£交于不同的两点43,且与直线/交于点P.证明：存在常数

4,使得|尸刀2=⑷尸⑷榨并求使的值.

解：(I)由已知，a2+a2=(2c)2.即°=缶，所以〃=扬则椭圆E的方程为+仁=1.

22

三+匕=1

2b2b2"得3f-12x+(18-2/)=0.①

S\y=-x+3,

方程①的判别式为IZ%/-3),由A=0,得b2=3,此时方程①的解为x=2,

所以椭圆E的方程为《+仁=1•点7坐标为(2,1).

63

1|y=1

—x+m,

(II)由已知可设直线性的方程为y=aS/0),由方程组―2

ly=-x+3,

1二2--

可得1?所以P点坐标为(2-也，1+网),：.\PTf^-m2.

卜1+与.339

1+以1,

设点的坐标分别为/(』,")，BN，%).由方程组:63可得3x2+4wx+(4/-12)=0.②

卜=-x+m,

2

方程②的判别式为△=16(9-2m))由△>(),得-3f<m<，由②得x,+x2=~^-,xtx2-§

■­\pA=，(2样-再)2+(1+?一必)2=当2一?一项，同理：\PB\=^-2-专X-

所以1PH懵|=:(2-典_司)(2一

592加、2—2m、/、

二-(2~—)~(2--)(-^1+工2)+玉G

=1(2-%-(2--)(--)+而-12

43333

102

=­m'.

9

故存在常数；i=使得|p?f=4PH将司.

【方法归纳】在涉及到直线与椭圆(圆锥曲线)的交点问题时，一般都设交点坐标为&,%),(々,外),同时把直

线方程与椭圆方程联立，消元后，可得X]+%2，七“2，再把|P4|整咧用工”工2表示出来，并代入刚才的玉+工2，再工2，

这种方法是解析几何中的“设而不求”法.可减少计算量，简化解题过程.

12

【例4】在平面直角坐标系xoy中，过点C（p,0）的直线与抛物线/=2px（p>0）相交于两点.设

A（xi,yi）,B（x2,y2）.

（1）求证：,必为定值；

（2）是否存在平行于夕轴的定直线被以ZC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长,

如果不存在，说明理由.

解：（1）（解法1）当直线N8垂直于x轴时，必=应0,%=-&P，因此切力=-2p2（定值）；

当直线不垂直于X轴时，设直线的方程为夕=%（x-p）,由¥：*"一力得O'2py-2P24=0,

I夕=2px

必必=-2p2,因此乂力=-2P2为定值；

（解法2）设直线AB的方程为叩=x-p,由护：V'得/-2pmy-2P2=0,必必=-2p2,因此

1N=2Px

y,y2=-2P2为定值；

（2）设存在直线/:x=。满足条件，则/C的中点E（土产,/）,二AC=依-pF+婷.以4c为直径的圆

的半径r=~AC~；J（X1_p）2+y：=+p2,点E到直线x=a的距离d="；0-a

所以所截弦长为：

2yJr2-d~=+P2）~a）2=^xi+P2~（xt+P~2a）2=J-2x4p-2a）+4ap-4a?,

当p-2a=0即a=］时，弦长J4P4-4'4二夕为定值，此时直线方程为x=g

【例5】如图，曲线£是以原点。为中心、耳,居为焦点的椭圆的“八

一部分，曲线G是以。为顶点、工为焦点的抛物线的一部分，/是/-—碎A

曲线G和C2的交点且D/凡丹为钝角，若用=］，|/周=2.______/.（//.

-L部~~7

（I）求曲线G和G的方程；\