分析力学-课件

第五章分析力学引言：经典力学一、二者特点比较2.采用广义坐标、消除理想约束，解决变量不独立的问题、灵活方便，便于进行坐标变换、着重能量便于推广、基本量：为基础，以矢量力学

,aFFam.1rrrr=所涉及的矢量较多，且常会对矢量进行分解，有较强的矢量性

.2分析问题的几何直观性强，处理作用力之外，所涉及的多是动能、势能等标量，标量性较强3.推演较多容易忽略物理实质二、发展史最早：Lagrange（法籍意大利人）1788年《分析力学》

是由虚功原理和达兰贝尔原理相结合而得到的拉格朗日“动力学普遍方程”，进而推广为自由参数的一般动力学方程——拉格朗日方程。2.Hamilton（爱尔兰人）1834年推出正则方程，3.1843年提出哈密顿原理，积分形式，是从莫培督的最小作用量原理发展起来的变分原理。4.其它人的贡献：如莫培督、欧拉、高斯、雅科毕等人分析力学的基本理论体系有微分形式和积分形式两种。§5.1约束与广义坐标一、约束及分类1.力学体系：有相互作用的质点的集合，该集合称为力学体系——简称体系,即第二章所讲的质点组2.约束：加在体系上限制其运动（位置和速度）的条件。约束方程，如：3.分类：1）稳定和不稳定约束约束方程中不显含t，称为稳定约束。如：约束方程中显含t，称为不稳定约束。如：如：小虫在吹着的气球上运动，仅限制位置——几何约束，或称完整约束3)几何约束、运动约束2）可解和不可解约束以等式表示的为不可解，以不等式表示的为可解。如

不仅限制位置，且限制速度——运动约束，或称微分约束若可积分为几何约束的仍为完整约束。反之，为非完整约束，另外可解约束也称为非完整约束4.凡受完整约束的体系叫完整系，否则为非完整系。我们主要研究完整系5.约束力：约束是运动质点间的相互作用实现其效果的，该作用就是约束力，注意施力物体是施加约束的面、线等是不可解的，而是可解的二、自由度、广义坐标自由度：确定一力学体系的运动（或位形）所需求的独立坐标变更数，叫体系的自由度。如:n个自由质点组成的体系，3n个独立坐标，有3n个独立的坐标变更数δxi

,3n个自由度。1）完整系：一个约束方程，有一个坐标位置之间的关系式，独立坐标减少一个，若有k个完整约束，则自由度=3n-k=s，如约束在圆周上运动的一质点，自由度为2-1。2）非完整系：非完整约束中含有速度限制，即限制坐标变更项，该关系式可以使独立的坐标数减少，则自由度数s<独立坐标数。我们不研究这样的体系2.广义坐标

若体系有k个几何约束，则有3n-k个独立坐标，引进s个独立坐标q1,q2…qs注：1）qα不一定是线量，可以是面积，体积，电极化强度等

2）qα可自由选取，但必须方便确定体系的位置，

3）几何约束下，独立坐标数=自由度=广义坐标数=3n-k§5.2虚功原理一、实位移，虚位移1.实位移：质点在运动中实际发生的位移，

它总是与时间的改变相伴随，4）广义坐标的确定，一方面可通过对力学体系运动的分析，确定需要多少个独立变量才能确定其位形，一方面可通过的方式确定2.虚位移：是想象的在某时刻、在约束许可的条件下，可能发生的位移，以δr

表示。

该位移不是时间变化引起的，只取决于该时刻在其上的约束和位置。3.二者区别：

1）实位移满足一定的运动规律，符合约束，由力和初始条件唯一确定

2）虚位移与力，初始条件无关，是纯几何概念，它只满足某时刻的约束条件，约束许可的虚位移可能有无数个。

f(x,y,z,t)f(x,y,z,t+dt)δrdrPP’二、理想约束3.常见理想约束

1)光滑曲面，曲线，铰链；

2)刚性杆；

3)不可伸长的轻绳；T1T2δr1δr2φ1φ2三、虚功原理：1.有一受k个稳定的约束体系，处于平衡状态，对每一质点均有由于约束，3n个坐标不完全独立，系数全为零则可能变为n个自由质点的平衡方程变化率乘变化量2.虚功原理用广义坐标表示：广义力和广义坐标相对应，只有满足二者的乘积具有功的形式即可，在5.3节进一步讲解。实际就是质点或刚体在广义坐标下的平衡时的条件解：3.应用：

1)可求得体系平衡时主动力之间所满足的条件;2)由于约束力自动消去，在求约束力时，解除约束，可视为主动力.例1：求平衡时，α，β与主动力之间的关系oyxP2αFP1β(x1,y1)(x2,y2)AB小结：1.约束的分类

2.广义坐标

3.实位移与虚位移

4.理想约束

5.虚功原理：条件：理想完整约束利用虚功原理处理理想约束平衡问题的步骤（1）建立固定坐标系（2）确定广义坐标（自由度），并把主动力的作用点的直角坐标用广义坐标表示（3）利用虚功原理求解核心思想是把动力学问题转换为静力学问题来研究§5.3拉格朗日方程一、基本形式的拉格朗日方程1.达朗贝尔原理体系由n个质点组成，每个质点有称为达朗贝尔-拉格朗方程，此即质点系普遍的动力学方程2.达朗贝尔-拉格朗日方程2.把达朗贝尔-拉格朗日方程用广义坐标表示1）坐标变换设：体系受k个几何约束s=3n-k个qα

由于受到约束，诸不完全独立，因而不能令上式的所有系数都为零，否则就成了自由质点的运动，所以需把普通坐标换为相互独立的广义坐标（完整约束），同时力也要发生相应变化令则2）把代入

即是上节讲的广义力，它的求解过程，就与应用虚功原理求解类似（在该过程，实际就是求广义力，只是让它等于零罢了）关键是简化因所以

对时间t的微商和对广义坐标的偏微商可对易和相互独立在数学上就是求复合函数的微商把代入达拉方程此即便是基本形式的拉格朗日方程因诸相互独立

拉格朗日方程是以qα为变量的s个二阶线性微分方程组,方程个数=自由度数，约束越多，自由度越少，方程越少，只要写出T，Qα，代入方程即可得到运动方程.适用条件：理想的完整体系注明：如力，力矩，压强，电场强度等，总之广义力和相应广义坐标之积有功的量纲即可二、保守系的L方程保守体系的拉格朗日方程L是体系在广义坐标所确定的位形空间中重要的特性函数，表征体系的约束、运动及其相互作用等情况，称为拉格朗日函数对拉格朗日方程的认识:(1)地位的重要性：是解决受理想完整约束的力学体系的普遍动力学方程，在分析力学中占有重要的地位

（2）拉格朗日方程是标量方程，以力学体系的动能为基本变量；应用时对非保守系，只需计算动能和广义力，对保守系只需计算系统的动能和势能（3）拉格朗日方程是用一组与体系自由度数目相等的广义坐标（相互独立）表示的力学体系的二阶运动微分方程（4）避开了约束反力，约束越多，独立坐标数越少，越容易求解，对于受复杂约束的体系的动力学研究开辟了捷径从拉格朗日方程推导过程及结论,可以判断应用拉格朗日方程解题的一般步骤：（1）明确是否是受理想完整约束的力学体系

（2）判断力学体系的自由度（确定广义坐标数）（3）选广义坐标（根据题意，需要灵活选取），数目与自由度相等（4）计算系统的动能，且用广义速度来表示（5）对非保守系计算广义力，对保守系计算势能（用广义坐标表示）（6）代入拉格朗日方程求得质点系的运动微分方程，进而求得运动三拉格朗日方程的应用o例1、应用拉格朗日方程求单摆的动力学方程解：由题意受理想完整约束，可用保守系下的拉格朗日方程求解。

(1)自由度确定。受绳子约束，所以小球运动的自由度为1，（2）选广义坐标。如右图所示选为广义坐标（3）计算动能势能。以O为零势能点（4）代入保守系下的拉格朗日求解。拉氏函数

例2：5.12(应用基本形式的拉格朗日方程）ABFCyxθmgO2a解：1）确定自由度，选广义坐标2）写出T，Qα杆受到平面的约束3)代入方程实际就是力矩相应于广义坐标xzyO例3，应用拉格朗日方程，求质点在力的作用下相对以角速度绕竖直轴转动的坐标系O-xyz的动力学方程分析：用一般形式的拉格朗日方程解：（1）确定自由度为3

（2）选广义坐标，由于无特征，所以就选x,y,z为广义坐标，相应的广义力就为（3）计算动能与采用非惯性系，所得的动力学方程一样，可见拉格朗日方程的优势所在选为广义坐标小六面体对角线长的平方方法二：在球坐标系下求解球坐标与直角坐标间的变换关系：对点O的力矩所以在球坐标系下质点的动能为广义坐标相应的广义力为

对z轴的力矩Ox例4，两个滑轮及三个砝码组成一滑轮组，如图所示，约去摩擦及滑轮本身的重量，求每一砝码的加速度解:(1)确定体系的自由度为2（2）选广义坐标如图所示，为（3）计算体系的动能和势能（是保守力系，无需计算广义力）以图示的O点为零势能点拉氏函数解方程并讨论：给出初始条件，可求出全部运动情况，若只求加速度，在的情况下，代入上两式可得（方向向上）四、循环积分（针对保守系下的拉格朗日方程）循环积分：如在L函数中，不显含qα或者说不出现

则该坐标为循环坐标（可遗坐标），有拉格朗日方程是二阶常微分方程，若在一定条件下使其降为一阶方程，则就得到所谓的第一积分即体系的广义动量守恒一个循环坐标循环积分一个循环积分一个广义动量守恒系统有多少个循环坐标，就有多少个循环积分（广义动量积分），但循环坐标的多少与广义坐标选取有密切关系；同时广义坐标选取不同，与之相应的广义动量的物理意义也不同（1）有心力场中：I，平面极坐标：此时广义坐标为此时不出现，即为循环坐标循环积分为：角动量守恒II，直角坐标：此时广义坐标为x,y无循环坐标（2）自由质点在重力场中的运动I、若选择与地面固连的坐标系O-xyz，z轴竖直向上，并以x,y,z为广义坐标，则此时不出现x,y

，x,y

即为循环坐标,对应的两个广义动量积分物理意义：即质点在x方向和y方向动量守恒II，若选择球坐标仅是循环坐标，所以只存在一个广义动量积分：物理意义：对z轴的角动量守恒五、能量积分设一完整保守系，有s个自由度因仅是和t的函数，所以不含若体系是稳定的，可以适当选取广义坐标，让不含t,即则在拉格朗日方程的两边同乘以又仅是的函数，不是t的显函数，所以如：质点在平面极坐标系运动的动能积分得积分常数即为能量，所以称能量积分，表明保守、完整，稳定的力学体系其机械能守恒，这与在稳定约束下，约束反力不做功，只有保守力做功，所得的结论一致。若约束不是稳定的，则T仍不是时间t的显函数，V也假定不是广义能量不能得出能量积分的原因？例:5.6oxyθcM(x,y)aωtω解:选q=θ为广义坐标约束方程是非稳定约束θ不是循环坐标，L中不显含t,有广义能量积分.讨论：例5.9：求运动方程zyxoθαrz5.7s=1(约束方程x2=4ay)xyoωxmgPv’§5.5哈密顿正则方程一、保守系下拉格朗日方程一般意义上的降阶微观世界常说到动量空间和坐标空间，所以有了动量对时间的导数还应求得坐标对时间的导数同时，拉氏函数的自变量也从变成了即从而我们得到两个仅仅是对时间一阶导数的方程，即分析：上述两个方程是一阶方程，达到了降阶目的，与拉格朗日方程相比，独立变量从s+1个变为2s+1个。但关键的一个不足是既不对称，不美观，也难以计算。解决方案：当独立变量发生改变时函数也发生改变，则问题就可能变得相对简单，所以需把拉格朗日函数变换为新的函数勒让德变换二、勒让德变换

一组独立变数变为另一组独立变数，同时函数本身也发生改变的变换两个自变量的勒让德变换：根据问题需要，中，任何两个都可做为独立变量，若将当做独立变量，则此时，可将函数改用为表出，记为但利用上述表达式，能推得原函数对旧的独立变量的偏微商能表达出但对新的独立变量的偏微商不能表达出用新函数便其对新独立变量的偏微商表出；该新函数所具有的特点是：新的函数等于不要的变量乘以原函数对该变量的偏微分，再减去原函数。对多个变量的勒让德变换可依次类推。这就是勒让德变换的规律或本质所在。和是等价的u,y相互独立，三、哈密顿正则方程

根据勒让得变换，要使拉氏函数的一种独立变数变为，则应引入新的函数拉氏函数仍是的函数变换后的函数，是的函数，则所以对比上面两方程有：Hamilton正则方程有2s个独立变量

（2）是2s+1个变量即s个，s个和t的函数

(3）哈密顿正则方程包含2s个一阶常微分方程的方程组，形式简单而对称，’正则’的形容正是由此而来；因是一阶方程，所以求解也简单（4）用作为独立变量比用作为独立变量广泛和方便，是动力学量，而仅是运动学量；称为哈密顿量，在稳定约束的情形下就是能量，能量是所有物理系统中最基本的量，从含动量、能量的正则方程出发，能相对容易的从经典物理过渡到量子物理（5）对应于正则方程，和又称为正则变量，并用它们代表所有广义坐标和广义动量所组成的2s维相空间的一个相点，哈密顿量H是2s维相空间的特性函数，而拉氏函数L是由s个广义坐标确定的在位形空间的特性函数注明：（1）适用条件：理想、完整的保守体系，当然也适用于不受任何约束的保守体系S个相互独立，s个也相互独立，和之间也相互独立，H是广义坐标和广义动量的函数，不是广义速度的函数类比于xyz,2s个独立变量代表一个相点，随时间推移描述出一相轨迹xm例1、一质量为m的质点受有心力作用，试写出其哈密顿函数和正则方程O解：取为广义坐标，则该式正是以正则变量表示的广义能量三能量积分与循环积分在一定条件下，哈密顿正则方程，也给拉格朗日方程一样，能给出能量积分和循环积分2.循环积分可见，在稳定约束的情行下为能量E。完全可经过类似的推导，在非稳定约束或者说一般情况下为对比于拉格朗日方程，哈密顿方程直接给出循环积分，比拉格朗日方程更为方便，实际也更富有物理意义即广义能量。例2.电子的运动，设电荷为-e的电子，在电荷为Ze的核电场中运动，Z为原子序数，试用正则方程研究电子的运动。（4）根据哈密顿函数的定义，求哈密顿函数由于是静电场，因而库仑力为保守力，该体系属于保守系解（1）：确定是否为保守系。（2）确定自由度，选广义坐标。由于电子不受约束，自由度为3，采用球坐标系，则广义坐标为（3）以广义坐标及广义速度表达出拉氏函数。电子以速率在核电场中运动（必须是广义坐标和广义动量的函数）因是‘稳定约束’，所以根据广义动量的定义，把广义速度表达为广义坐标和广义动量的函数代入上两式式所得结果一样，显然采用第二式简便（5）把哈密顿函数代入哈密顿正则方程，应得2s个一阶微分方程此即用哈密顿方程求出的电子在核力场中的运动方程。必与前一步所求的结果相同讨论：因为循环坐标，故则两方程都不含，因而电子在一个平面上运动，若令此平面为则电子在此平面的运动方程为：显得有些迂回曲折，但在复杂问题中，就能显示它的优越性§5.6泊松括号和泊松定理一、泊松括号注意（1）是对力学体系所有广义坐标和广义动量求偏微商，（2）由于所有的和相互独立，所以（3）一般形式的泊松括号有了泊松括号，可用表泊松括号来表示正则方程泊松扩号的性质：1。若c为常数，则2。3。若则利用和的微分等于微分之和4。每一项都涉及两函数对广义坐标和广义动量的偏微商5。6。泊松恒等式7。二、泊松定理1.运动积分当力学体系运动时，若某一以广义坐标，广义动量，时间为变量的函数始终保持为常数，即则此函数就为正则方程的第一积分，它能反映体系的运动规律，所以也称为运动积分换句话说，只要某函数满足，则即为正则方程的第一积分2.泊松定理泊松定理说明，由正则方程的两个第一积分，可找出第三个第一积分，由第一，第三或第二，第三又可找出第四个积分。。。。。。。。。可不断求出初积分；但新积分可能不独立，可能是零或原有积分的线性组合。泊松定理的证明：根据泊松定理和运动积分的条件，若和是正则方程的两个第一积分，则是一运动积分，则只需证明约束为稳定约束时满足泊松恒等式从而得证例1，一组质点只在保守力下运动，若xy两个方向的角动量为常数，则z方向的角动量也必定为常数，试用泊松定理证明之。证：质点组相对各坐标轴的角动量为yxz由题设条件那么根据泊松定理若能证明，则证之。由泊松括号的定义或者说计算得：又所以§5.7哈密顿原理一、变分

1.微分2.变分的运算法则：证明：3.等时变分存在的两个基本关系（1）微分和等时变分可对易，即变分的导数等于导数的变分注明：对于不等时变分，上述关系不成立（2）等时变分的积分等于积分的等时变分二、哈