高中数学直线和圆知识点总结汇总

直线和圆一．直线TOC\o"1-5"\h\z1.斜率与倾斜角：k—tan9,[0,兀)兀兀兀(1)Ow[0,2)时，k>0；(2)0=—时，k不存在；(3)Ow(—,K)时，k<0厶厶厶(4)当倾斜角从0。增加到90。时，斜率从0增加到；当倾斜角从90。增加到180。时，斜率从y增加到0直线方程点斜式：y-y=k(x-x)00斜截式：y=kx+b3)两点式：TOC\o"1-5"\h\zy-yx-x3)两点式：4=1y-yx-x2121xy(4)截距式：一+〒=1ab5)一般式：Ax+By+C=0距离公式点P(x,y)，P(x,y)之间的距离：|PP|=((x—x)2+(y—y)2111222112121|Ax+By+C|点P(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离：d=000如+B2|C-C|平行线间的距离：Ax+By+C=0与Ax+By+C=0的距离：d=土2:12JA2+B24.位置关系(1)截距式：y=kx+b形式重合：k=kb=b相交：k丰k121212平行：k=kb丰b垂直：k-k=—1121212(2)一般式：Ax+By+C=0形式重合：AB=AB且AC=AC且BC=CB122112211212平行：AB=AB且AC丰AC且BC丰CB122112211212垂直：AA+BB=0相交：AB丰AB121212215．直线系Ax+By+C+九(Ax+By+C)=0表示过两直线l:Ax+By+C=0和l:Ax+By+C=0交点的所11122211112222有直线方程(不含l)2二．圆1．圆的方程标准形式：(x—a)2+(y—b)2=R2(R>0)—般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2一4F>0)fx=x+rcosO参数方程：［0.O(0是参数)Iy=y+rsin00【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.以A(x,y),B(x,y)为直径的圆的方程是：(x—x)(x—x)+(y—y)(y—y)=01122ABAB2．位置关系点P(x,y)和圆(x一a)2+(y一b)2=R2的位置关系：00当(x一a)2+(y一b)2<R2时，点P(x,y)在圆(x—a)2+(y—b)2=R2内部0000当(x一a)2+(y一b)2=R2时，点P(x,y)在圆(x—a)2+(y—b)2=R2上0000当(x一a)2+(y一b)2>R2时，点P(x,y)在圆(x—a)2+(y—b)2=R2外0000直线Ax+By+C=0和圆(x—a)2+(y—b)2=R2的位置关系：判断圆心O(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=与半径R的大小关系A2+B2当d<R时，直线和圆相交(有两个交点)；当d=R时，直线和圆相切(有且仅有一个交点)；当d<R时，直线和圆相离(无交点)；判断直线与圆的位置关系常见的方法几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系.代数法：联立直线与圆的方程消元后利用A判断.点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．3．圆和圆的位置关系判断圆心距d=|OO|与两圆半径之和R+R，半径之差R-R（R>R）的大小关系12丨121212当d>R+R时，两圆相离，有4条公切线；12当d二R+R时，两圆外切，有3条公切线；12当R-R<d<R+R时，两圆相交，有2条公切线；1212当d二R-R时，两圆内切，有1条公切线；12当0<d<R-R时，两圆内含，没有公切线；124．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减5.弦长公式：I=2R2一d2例1若圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点，则实数k的取值范围是2解析：由题意知>1,解得一rj3VkV\；3.1+k2答案：（一“丽，3）例2已知两圆CjX2+y2—2x+10y—24=0,CjX2+y2+2x+2y—8=0,则两圆公共弦所在的直线方程是解析：两圆相减即得x—2y+4=0.答案：x—2y+4=0例3设直线x—my—1=0与圆（x—1”+（y—2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2冷3则实数m的值是解析：由题意得，圆心（1,2）到直线xmy10的距离D\431,即1,解得m土斗-.1+m23答案：¥13例4若a,b,c是直角三角形ABC三边的长（c为斜边），则圆C：X2+y2=4被直线1：ax+by+c=0所截得的弦长为./~~（cA解析：由题意可知圆C：X2+y2=4被直线1：ax+by+c=0所截得的弦长为2冷4—匕应辛2,由于A2+b2=C2,所以所求弦长为2寸3.答案：2晶例5已知。M：X2+(y—2)2=l,Q是x轴上的动点，QA,QB分别切0M于A,B两点.⑴若|AB|=432，求|MQ|及直线MQ的方程;(2)求证：直线AB恒过定点.「解：⑴设直线MQ交AB于点P,则|AP|=爭，又|AM|=1,AP丄MQ,AM丄AQ,得|MP|=冷山一彳二扌，又timqi=_|MP|，・：imqi=3.设Q(x,0)，而点M(0,2)，由\''x2+22=3,得乂=±\/5,则Q点的坐标为CJ5,0)或(—；5,0).从而直线MQ的方程为2x+：j5y—2-寸5=0或2x—Ji'5y+^J''5=0.(2)证明：设点Q(q,0),由几何性质，可知A,B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x(x—q)+y(y—2)=0,而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB的方程为qx—2y+3=0,所以直线AB恒过定点［o,3j,例6过点(一1,—2)的直线l被圆X2+y2—2x—2y+1=0截得的弦长为寸2,贝V直线l的斜率为.解析：将圆的方程化成标准方程为(x—1)2+(y—1)2=1,其圆心为(1,1),半径r=1.由弦长为也得弦心距为亍.设直线方程为y+2=k(x+1),即kx—y+k—2=0,则'|^^1=^^，化简得7k2—24k+17=0,得k=1或k=~.17答案：1或丁例7圆X2—2x+y2—3=0的圆心到直线x+\：3y—3=0的距离为|1—3|解析：圆心(1,0),d=-^3=1.答案：1例8圆心在原点且与直线x+y—2=0相切的圆的方程为解析：设圆的方程为X2+y2=a2(a>0)=a,.°.a=\：2,1+1'.x2＋y2=2.答案：x2+y2=2例9已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为圆C的方程为x2+y2+Dx+F=0,C26+5D+F=0,则4［10+D+F=0,~D=—4,解得4f=—6.圆C的方程为x2+y2—4x—6=0.［答案］(1)C(2)x2+y2—4x—6=0

例10(1)与曲线C：x2+y2+2x+2y=0相内切，同时又与直线1：y=2—x相切的半径最小的圆的半径是.(2)已知实数x,y满足(x—2)汁(y+1)2=1则2x—y的最大值为，最小值为.解析：(1)依题意，曲线C表示的是以点C(—1,—1)为圆心,\'2为半径的圆，圆心C(—1,—1)到直线y=2—x即x+y—2=0的距离等于|—1——2|=2迈，易知所求圆的半径等丁2弋2严2=学⑵令b=2x—y,则b为直线2x—y=b在y轴上的截距的相反数，当直线2x—y=b与圆相切时，b取得最值.由|2X^t：1—b|=1-解得b=5±x/5，所以2x—y的最大值为5+诟，最小值为5一;'5.答案：⑴普2(2)5+勺弓5一；'5y—2例11已知x,y满足X2+y2=1,则x—1的最小值为.y—2y—2解析：匕表示圆上的点p(x，y)与点Qd，2)连线的斜率，所以匕的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率•设|2—k|3y—23直线PQ的方程为y—2=k(x—1)即kx—y+2—k=0.由冶十=1得k=4,结合图形可知，X一1三4,故最小值为43答案：3例12已知两点A(—2,0),B(o,2)，点C是圆X2+y2—2x=0上任意一点，贝J^ABC面积的最小值是-3解析：】aBx—y+2=0,圆心(1,0)到l的距离d=y.3(3)厂忖1丿=7则AB边上的高的最小值为厉一1.故厶ABC面积的最小值是2x^/2答案：3_曇例13平面直角坐标系xoy中，直线x-y+(3)厂忖1丿=7(1)求圆O的方程；若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D,E,当DE长最小时，求直线l的方程；设M,P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N,若直线MP、NP分别交于x轴于点(m,0)和(n,0),问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.1解：⑴因为O点到直线x-y+1=0的距离为冷,所以圆O的半径为所以圆O的半径为+(孕-录故圆O的方程为x2+y2=2.⑵设直线l的方程为—+—=1(a>0,b>0)，即bx+ay-ab=0,ab

由直线l由直线l与圆O相切，得』=a2+b2=、込，即丄+—=a2b22DE2=a2+b2=2(a2+b2)(+)三8,a2b2当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l的方程为x+y-2=0.⑶设M(x,y)，P(x,y)，则N(x,-y)，x2+y2=2，x2+y2=2，11221直线MP与x轴交点(11221直线MP与x轴交点(Xy2—X2y,0),y-y21直线NP与x轴交点(X1y2+X2yi,0),y+y21xy-xyxy+xyx2y2-x2y2mn=1212二_22ly—yy+y2121故mn为定值2．m=，y-y21xy+xyn=12严十，y+y21(2-y2)y2-(2-y2)y2212y22-1212y22-y2-y221例14圆x2+y2=8内一点P(-1，2)，过点P的直线l的倾斜角为d，直线l交圆于A、B两点.当a=並时，求AB的长；4当弦AB被点P平分时，求直线l的方程.解：(1)当a=込时，kAB=-1，4AB直线AB的方程为y—2=—(x+1),即x+y—1=0.故圆心(0,0)到AB的距离d=!0+0—1=乜，V22从而弦长IABI=2〕8-丄=\亦.2(2)设A(X],y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=—2，y1+y2=4.由8、x由8、x2+y2=8,两式相减得(x1+x2)(x1—x2)+(y1+y2)(y1—y2)=0,即一2(X]—x2)+4(y1—y2)=0，•%=7x1-x2••直线l的方程为y—2=丄(x+1)，即x—2y+5=0.2例15已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x—y+10=0上.若动圆C过点(一5,0),求圆C的方程；是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O：x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个，若存在，请求出来;若不存在,请说明理由.解:⑴依题意，可设动圆C的方程为(X—a)2+(y—b)2=25,其中圆心(a,b)满足a—b+10=0.又•・•动圆过点(—5,0),?.(—5—a)2+(0—b)2=25.解方程组a-b+10=0(-5-a)2+(0-b)2=25’可得；a=-10或；a=-5,b=0b=5故所求圆C的方程为(x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y—5)2=25.⑵圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d=丄虫=5门.1+1当r满足r+5Vd时，动圆C中不存在与圆O：x2+y2=r2相外切的圆；当r满足r+5>d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x2+y2=r2相外切;当r满足r+5=d，即r=5辺—5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x2+y2=r2相外切.题目自点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线l，则切线l的方程为求与圆x2+y2=5外切于点P(-1,2)，且半径为2頁的圆的方程.3.若点P在直线l1：x+y+3=0上，过点P的直线12与曲线C：(x—5)2+y2=16相切于点M则PM的最小4.设O为坐标