高中数学第一章导数及其应用133最大值与最小值课件苏教版

1.3.3最大值与最小值第1章1.3导数在研究函数中的应用1.理解最值的概念，了解最值与极值的区别.2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一函数最值的概念如果在函数f(x)定义域I内存在一点x0，使得对任意的x∈I，总有

，那么称f(x0)为函数的定义域上的最大值.如果在函数f(x)定义域I内存在一点x0，使得对任意的x∈I，总有

，那么称f(x0)为函数在定义域上的最小值.答案f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)思考函数的极值与最值的区别是什么？答案函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值.函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.当连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间.答案知识点二求函数的最值1.求f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将(1)中求得的

与

比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.2.函数在开区间(a，b)的最值在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值.答案极值f(a)，f(b)思考(1)函数f(x)＝

在(1,2)上有最值吗？答案没有.(2)函数f(x)＝lnx在[1,2]上有最值吗？答案有最大值ln2，最小值0.答案返回题型探究重点突破解析答案题型一求函数的最值例1

求下列各函数的最值：(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；解f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2)2f′(x)

＋0－0＋0－

f(x)－60↗极大值4↘极小值3↗极大值4↘－5∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.解析答案(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1].解f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数.故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；x＝1时，f(x)最大值＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.反思与感悟一般地，在闭区间[a，b]上的连续函数f(x)必有最大值与最小值，在开区间(a，b)上的连续函数f(x)不一定有最大值与最小值.反思与感悟解析答案跟踪训练1

设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.(1)求a，b，c的值；解∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x).即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0.∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，∴a＞0，b＝－12.又直线x－6y－7＝0的斜率为

，因此f′(1)＝3a＋b＝－6，故a＝2，b＝－12，c＝0.解析答案(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值.当x＝3时，f(x)取得最大值为18.解析答案题型二含参数的函数的最值问题例2

已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值.反思与感悟解f′(x)＝3x2－2ax.f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.反思与感悟反思与感悟由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，所以解决这类问题常常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.解析答案跟踪训练2

a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值.解f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a).若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，∴当x＝0时，有最大值f(0)＝0.解析答案则当0≤x≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0；当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.解析答案题型三函数最值问题的综合应用例3

已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－

与x＝1处都取得极值.(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；解对f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c求导，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∴f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1).当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：解析答案(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围.而f(2)＝2＋c，则f(2)＝2＋c为最大值.要使f(x)＜c2(x∈[－1,2])恒成立，只需c2＞f(2)＝2＋c，解得c＜－1或c＞2.∴c的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).反思与感悟反思与感悟由不等式恒成立求参数的取值范围是一种常见的题型，这种题型的解法有很多，其中最常用的方法就是分离参数，将其转化为函数的最值问题，在求函数最值时，可以借助导数来求解.解析答案跟踪训练3

设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，(1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围；解∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2).∴当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(2,3)时，f′(x)＞0.∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.又f(3)＝9＋8c＞f(1)，∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)＜c2恒成立，∴9＋8c＜c2，即c＜－1或c＞9.∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).当x∈(1,2)时，f′(x)＜0；解析答案(2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围.解由(1)知f(x)＜f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2，即c≤－1或c≥9，∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞).例4

求函数f(x)＝x3－2x2＋1在区间[－1,2]上的最大值与最小值.易错易混求最值时因忽略极值与区间端点值的对比致误解析答案返回防范措施错解由已知得f′(x)＝3x2－4x，当x∈(－1,0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，∴函数f(x)在x＝0处取得最大值f(0)＝1，错因分析求出函数的极值后，要与区间端点的函数值进行比较后方可确定函数的最值，否则会出现错误.解析答案防范措施正解由已知得f′(x)＝3x2－4x.当x∈(－1,0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，∴函数f(x)在x＝0处取得极大值f(0)＝1，又f(－1)＝－2，f(2)＝1，∴函数f(x)的最大值是1，最小值是－2.防范措施若连续函数y＝f(x)在[a，b]上为单调函数，则其最值必在区间端点处取得；若该函数在[a，b]上不单调，即存在极值点，则最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得.返回防范措施当堂检测12345解析答案1.函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)______0.(填“>”或“<”或“＝”)解析据题f(x)为常数函数，故f′(x)＝0.＝解析答案123452.函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值，最小值分别是______.解析f′(x)＝3x2－3.令f′(x)＝0，即3x2－3＝0，解得x＝±1.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在x＝－1处取得极大值，f(x)极大值＝3，在x＝1处取得极小值，f(x)极小值＝－1.而端点处的函数值f(－3)＝－17，f(0)＝1，比较可得f(x)的最大值为3，最小值为－17.3，－17123453.函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)____(填“有”或“无”)最大值.解析f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值.解析答案无解析答案12345解析f′(x)＝ex(sinx＋cosx).解析答案123455.已知f(x)＝2x3－6x2＋a(a为