几何变换讲座

几何变换讲座第1页，课件共68页，创作于2023年2月

需要理解的问题我们对几何学的认识：研究平面图形的形状、大小与位置的学科．从新课标对平面几何的修订中我们体会到对平面几何的知识内容做了较大的改动．为什么要改？这么改的道理何在？对这个问题的理解与认识关系到我们的教学．我们以前说几何变换是一种观点，处理平面几何知识的学习就要从这点出发，实际上也是要解决认识问题，可是实际上还没有真正的解决好这个问题．第2页，课件共68页，创作于2023年2月从平面几何研究问题的实质看问题，就会发现我们对这个问题的认识基本不到位，把平面几何看做是研究图形的形状、大小与位置的学科只是从研究图形的现象出发的结论．实际上平面几何研究问题的实质是：研究图形运动变换后图形的不变性质问题．如果这是平面几何的实质的话，我们谈几何变换就有了实质的意义．学习平面几何的目的就是想解决这个根本性问题．第3页，课件共68页，创作于2023年2月全等变换：是指不改变图形形状与大小的变换.位似变换：是指不改变图形形状只改变图形大小变换.等积变换：是指不改变图形大小或者还需要改变图形形状的变换．第4页，课件共68页，创作于2023年2月

而在我们学习的变换中，能在图形变换后具有不变性质的变换，只有全等变换，即合同变换．因此，我们把全等变换看作是基本的关系以及基本的问题，这就决定了我们在学习平面几何知识时，应有意识的从这个问题出发研究问题、解决问题，帮助学生建立正确的、全面的几何观点，以便形成空间感、图形感．数学教研室第5页，课件共68页，创作于2023年2月已知：如图，正方形ABCD中，直线m交AB、CD于E、F点，直线n交AD、BC于G、H，m、n直交于P点.观察、猜想EF与GH的大小关系，并证明你的结论.第6页，课件共68页，创作于2023年2月我们从这个题目讲起的目的实际上是想：几何变换问题涉及到对平面几何解题的一些基本认识，先解决这些基本认识有助于我们研究后面的问题．实际上我们想解决的问题是这样的，希望加强对几何图形的认识；加强对几何命题的认识；加强对几何命题分析的认识；加强理解寻求解题方向以及解题方法的认识；希望加强对不同解法的存在性的认识．第7页，课件共68页，创作于2023年2月题目条件的解读与认识错位旋转第8页，课件共68页，创作于2023年2月原题

特殊化一般化

数量化

运动

分割与组合

变化第9页，课件共68页，创作于2023年2月特殊化情况结论变化原结论ＥＦ＝ＧＨ（１）ＤＧ＝ＦＣ；（２）面积相等；（３）

（４）ＥＨ＝ＧＦ.第10页，课件共68页，创作于2023年2月一般化情况满足垂直满足过中点可证四边形是矩形等第11页，课件共68页，创作于2023年2月数量化情况当点H是BC的中点时，AD＝4，设CF为x

，EM为y，求y与x之间的函数关系.第12页，课件共68页，创作于2023年2月已知正方形ABCD，用两条直线把它分成四个面积相等的图形．第13页，课件共68页，创作于2023年2月分割与组合的情况组合分割点E是AB的中点，点F是BC的四分之一点，求证：DE平分∠ADF.以BC为直径作半圆，AE切半圆于点F，第14页，课件共68页，创作于2023年2月运动的情况若点P沿ED向D移动，当GH与线段BC没有交点时，是否可以得到相应的结论？请说明理由.第15页，课件共68页，创作于2023年2月引申的情况一个含30度角的三角板一边必过点B，直角的顶点在ＡD边上移动，这时图形中有什么结论？若连结BN又有什么结论？第16页，课件共68页，创作于2023年2月变更条件条件逻辑联接词结论弱化条件结论变化变更改变结论对命题以及命题可能变化的认识第17页，课件共68页，创作于2023年2月等腰直角三角形ABC中,AB=AC,BD⊥AE于点F(交点在三角形内部),等腰直角三角形ABC中,AB=AC,BD⊥CD于点D(交点在三角形外部),

弱化条件的情况第18页，课件共68页，创作于2023年2月

变更条件第19页，课件共68页，创作于2023年2月已知：如图，正方形ABCD中,E是AB上一点，FG⊥DE于点H.求证:FD+EG≥第20页，课件共68页，创作于2023年2月我们对第一个问题做了必要的解读，希望大家能理解这个问题．我们需要解决的是几何变换的应用问题，其中最重要的是对使用几何变换条件的分析问题，我们知道用新的观点看平面几何问题本质上就是研究图形经过运动变化后，图形的不变性质问题．从这个角度看问题，我们主要想通过对一些问题的分析，逐步形成基本的、正确的分析问题的方法．第21页，课件共68页，创作于2023年2月已知梯形ABCD中，AD∥BC，CD=BC，∠C=60°，若∠EAB=60°，∠DAE=18°.求∠EBC的度数、数学教研室第22页，课件共68页，创作于2023年2月梯形是组合图形，要考虑它是由哪个图形演变而来的，从条件CD=CB，∠C=60°，可知此图是由菱形切分而来，只要还原图形关系即可、数学教研室第23页，课件共68页，创作于2023年2月

已知正方形ABCD中，点E、F是BC、AB的中点．求证：AG=AD．第24页，课件共68页，创作于2023年2月

理解题意，解读暗示，确定方向，选择方法第25页，课件共68页，创作于2023年2月如图，已知等边三角形ABC，我们发现经过顶点A、B、C总可以做a∥b∥c．如果存在一组平行线m∥n∥l

，请你猜想是否可以做一个等边三角形使其三个顶点分别在m、n、l上，如果可以作出，请画出示意图并证明你的猜想．第26页，课件共68页，创作于2023年2月分析：我们知道已知等边三角形时，经过三个顶点是可以做一组平行线的，但是，如果把问题逆过来，解决这个问题就困难的多．原因是因为已知一组平行线可以是任意的，它需要有一个切入点．由于每条平行线上必须有一个顶点，故我们可以假设图形已经做出，我们选一个顶点做为切入点分析．作三角形问题实际上是确定第三点问题，由于其中一个点可以确定，那么利用关系就可确定第二点．第27页，课件共68页，创作于2023年2月作图方法作AM⊥n,作∠MAN=60°,过点N作CN⊥l交于点C第28页，课件共68页，创作于2023年2月作图方法作CN⊥l,作∠MCN=60°第29页，课件共68页，创作于2023年2月

不同类图形的组合问题例如，请设计一种方法把图中的矩形ABCD拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形,请你依据此矩形画出正方形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形ABCD的面积的结论．第30页，课件共68页，创作于2023年2月分析：由于是一个矩形面积化为正方形面积问题，因此我们就称之为不同类型图形的组合问题．同时由于面积可以利用代数式表达，故我们还可以认为是代数几何综合题问题．因为，矩形的边长确定，因此，我们能利用的原始条件只有边．对于边而言在解决这个问题中如何利用，就需要根据题意确定正方形的边长了．

第31页，课件共68页，创作于2023年2月

实际上我们只需要明白正方形的面积等于矩形的两边的积，这样就可以相互表示了．第32页，课件共68页，创作于2023年2月如果我们换个角度看这个问题会发现，其实这个问题就是一个面积切分后图形平移的问题．在此就图形平移提几句：图形的平移相对于图形的另两种变换而言，其实是较难的．原因在于平移在移动图形时一般讲是需要同时移动两个元素时才考虑的方法，因此，平移是较难认识与使用的，但是就其移动图形时的作用而言却是十分重要的．第33页，课件共68页，创作于2023年2月例如，在形如△ABC的一块场地上有一条小路经过场地，因连续下雨小路有较长的一段被雨水淹没了．由于需要测量整块土地的面积，可测得∠BAC=45°,又测得BD=30m，CD=20m，请你帮助求这块土地的面积．第34页，课件共68页，创作于2023年2月因为三角形的不可测量性，因此就需要考虑求解的方法．实际上我们讲这个问题就是想说一个问题，即存在45°角时可以这样思考问题：由于在角的内部形成了两个角，实际上在提示我们可以利用轴对称的知识移动图形或元素，形成新的图形关系．第35页，课件共68页，创作于2023年2月利用这个关系还原正方形第36页，课件共68页，创作于2023年2月再例如，正方形ABCD中,点P是形内一点,若∠PAB=30°,且AB=AP,问能否确定PB与PC的关系．第37页，课件共68页，创作于2023年2月

如何利用角的关系是解决问题的关键．30°角可以在直角三角形形中形成可利用的关系．第38页，课件共68页，创作于2023年2月

除此之外，由于可求∠ABP=75°，而在这个角中含有15°与60°角,因此,可以形成等边三角形与正方形的组合问题．第39页，课件共68页，创作于2023年2月已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点P是形内一点，且PC=1，PA=2，PB=3，求∠APC．第40页，课件共68页，创作于2023年2月在这个问题中要求角的度数根据题意需要移动线段的位置，使之形成可以求解角度的图形关系，因此需要利用旋转关系．第41页，课件共68页，创作于2023年2月我们再举一例与之比较，从中发现一些规律．

已知正方形ABCD内一点，P到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长．第42页，课件共68页，创作于2023年2月分析：本题与我们常见的形式不同，一般讲都是在图形中存在一种图形关系求最值问题．但是，不论从哪个角度认识这个问题都需要解决因三条线段位置上相关性不大移动图形的问题．从条件出发已知中原图形是正方形，在移动中首先考虑借助组合关系解决图形移动的问题．但是，若用正方形移动，此时线段只是从形内移动到了形外，不能形成最小距离问题．因此，考虑用不同图形的组合移动图形，使之可以形成三线共线问题．第43页，课件共68页，创作于2023年2月当C、P、E、F四点共线时，取得最小值．第44页，课件共68页，创作于2023年2月如图，四边形ABCD中，AB=AD，点P是形内一点，若∠DAB=60°，且∠DPC=120°，AC=7，求的最小值．第45页，课件共68页，创作于2023年2月在这个问题中，可以肯定的是所求的元素不在一个图形中，各自分散在四个图形里．如何沟通它们之间的关系是解决问题的关键所在．但是，实际上本题所给的条件又具有明显的提示性，即给出了两个特殊的角度，因此，如何利用这两个角就成为解题的关键．根据题意的提示，我们可以发现可以形成等边三角形，因此可以移动图形．第46页，课件共68页，创作于2023年2月由已知中的边相等以及所夹角为60°，其实在暗示我们可以形成等边三角形，又由另一个角为120°，根据相邻的角度为60°，也可形成等边三角形，因此，可形成旋转形问题．第47页，课件共68页，创作于2023年2月第48页，课件共68页，创作于2023年2月已知等腰直角三角形ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D是形内一点，AD=BD，CD=CB，若∠DCB=15°，确定∠ACB=∠ACD的关系．

第49页，课件共68页，创作于2023年2月当在三角形ABC中，点D是形内一点，AD=BD，CD=CB，且∠CAB=2∠ABC，问此时是否还存在∠ACB=∠ACD的关系．第50页，课件共68页，创作于2023年2月在这个问题中，第一个问题是一个常见的问题，只不过本题中把一个条件和结论兑换了一下．第二个问题是第一个问题的一般化的情况，但是正是这种一般化的情况，使其后求解变的较困难．这时需要我们体会在这其中谁在起关键性作用．本题中存在两个等腰三角形，并且这两个三角形之间没有什么关系，因此，用好这两个三角形就成为解题的关键．第51页，课件共68页，创作于2023年2月第52页，课件共68页，创作于2023年2月再例如，点D是△ABC的边AC上一点，且AB=CD，∠BAC=60°，点E是BD的中点，若AE＝4，能否求BC的长．如果能求，请求出它的长．第53页，课件共68页，创作于2023年2月在这个问题中，所证的结论涉及到的两个元素分别在两个图形中，并且其中一条线段是三角形的中线．但是，在命题的条件中，由两条线段相等以及有角为特殊角，因此，可能会形成特殊的图形关系，即由于线段CD在AC上没有什么实际的作用，只有以AB为起点构成与AD相等的线段关系,可能就可形成新的可利用的图形关系．第54页，课件共68页，创作于2023年2月第55页，课件共68页，创作于2023年2月

相似变换问题由于相似的知识不是建立在以平行线为依据的前提下，所以必须理解我们对知识的认识是建立在位似变换的基础之上的，即从位似化为相似，也就是说需要先从位似的角度认识问题.从新课标的角度讲相似问题的知识只是要求为基本认识，纯推理的问题相对困难，所以我们对这部分知识的定位是以数量计算为主要对象的.第56页，课件共68页，创作于2023年2月例已知：如图，直角梯形ABCD中，点E是AB上一个动点，且有∠DEC=90°，(1)问此图中是否存在相似形，说明理由；(2)是否存在

说明你的根据.第57页，课件共68页，创作于2023年2月在这个问题中，是否存在相似形的情况需要我们把问题考虑清楚．我们知道相似是以对应关系为前提的，因为在本题中只是问是否存在相似形，因此，就需要我们从对应关系的角度看问题，即△ADE与△BEC；或者△ADE与△BCE，即对应关系不同．

所以，得到的结论是不同的，所用到的知识也是不同的．但是不能忽视的是对这个问题本身的认识没有到位而产生一些不应该出现的问题．第58页，课件共68页，创作于2023年2月

等积变换问题这是新课标在重视几何变换的前提下与实际问题相结合而形成的问题，它主要体现在以下问题中：图形在不改变大小的情况下的移动；图形的分割与组合；图形的拼接．但是等积变换的问题小学学过后初中没有完整的接触过，或者说没有把这个问题作为知识对象学习过，因此，就成为一个难点问题．第59页，课件共68页，创作于2023年2月已知△ABC中,点D是BC的中点,点E是AB的中点,若AD、CE交于点M，问四边形EBDM与△AMC面积的关系、等积变换的特点是图形发生变化，即图形可以不同类、第60页，课件共68页，创作于2023年2月例已知：如图，矩形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的三分之一点，问阴影部分的面积与矩形面积的比值.第61