广东省揭阳市惠来一中、揭东一中2023年高二数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如果（，表示虚数单位），那么()A．1 B． C．2 D．02．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的x的值为()A． B． C． D．3．已知奇函数的导函数为，当时，，若，，则的大小关系正确的是（）A． B． C． D．4．某校有6名志愿者，在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务，任务是组织游客参加“祝福祖国征集留言”、“欢乐世园共绘展板”、“传递祝福发放彩绳”三项活动，其中1人负责“征集留言”，2人负责“共绘展板”，3人负责“发放彩绳”，则不同的分配方案共有（）A．30种 B．60种 C．120种 D．180种5．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．6．若，均为单位向量，且，则与的夹角大小为（）A． B． C． D．7．在椭圆内，通过点，且被这点平分的弦所在的直线方程为（）A． B．C． D．8．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A． B． C． D．9．定义函数为不大于的最大整数，对于函数有以下四个命题：①；②在每一个区间，上，都是增函数；③；④的定义域是，值域是.其中真命题的序号是（）A．③④ B．①③④ C．②③④ D．①②④10．已知定义在R上的偶函数，在时，，若，则a的取值范围是（）A．B．C．D．11．利用反证法证明“若，则”时，假设正确的是（）A．都不为2 B．且都不为2C．不都为2 D．且不都为212．某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6:5，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为n10的样本，若样本中男生比女生多12人，则n=（A．990 B．1320 C．1430 D．1560二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是______．14．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=mx+1(m>0)在x=1处的切线为l，则以点(2,-1)为圆心且与直线l15．如图所示，正方体的棱长为1，,为线段,上的动点，过点,,的平面截该正方体的截面记为,则下列命题正确的是________.①当且时,为等腰梯形;②当,分别为,的中点时，几何体的体积为;③当为中点且时，与的交点为,满足;④当且时,的面积.16．将函数的图象向右平移个单位后,得到函数的图象，则的值是____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列各项均为正数，，，.（1）若，①求的值；②猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若，证明：当时，.18．（12分）某种产品的广告费用支出与销售额之间有如下的对应数据：（1）画出散点图，并说明销售额与广告费用支出之间是正相关还是负相关？（2）请根据上表提供的数据，求回归直线方程；（3）据此估计广告费用为10时，销售收入的值.（参考公式：，）19．（12分）在平面直角坐标系中，点到直线：的距离比到点的距离大2.（1）求点的轨迹的方程；（2）请指出曲线的对称性，顶点和范围，并运用其方程说明理由.20．（12分）对任意正整数，，定义函数满足如下三个条件：①；②；③．（1）求和的值；（2）求的解析式．21．（12分）已知函数（I）求在（为自然对数的底数）处的切线方程.（II）求的最小值.22．（10分）平面四边形中，,为等边三角形，现将沿翻折得到四面体，点分别为的中点.（Ⅰ）求证：四边形为矩形；（Ⅱ）当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】分析：复数方程左边分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为的形式，利用复数相等求出即可详解：解得故选点睛：本题主要考查了复数相等的充要条件，运用复数的乘除法运算法则求出复数的表达式，令其实部与虚部分别相等即可求出答案．2、B【解析】

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算输入时变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得到答案.【详解】本题由于已知输出时x的值，因此可以逆向求解：输出,此时；上一步：,此时；上一步：,此时；上一步：,此时；故选：B.【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理和数学运算的能力，属于基础题.3、D【解析】

令，则，根据题意得到时，函数单调递增，求得，再由函数的奇偶性得到，即可作出比较，得到答案．【详解】由题意，令，则，因为当时，，所以当时，，即当时，，函数单调递增，因为，所以，又由函数为奇函数，所以，所以，所以，故选D．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中根据题意，构造新函数，利用导数求得函数的单调性和奇偶性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题．4、B【解析】

从6人中选1人负责“征集留言”，从剩下的人中选2人负责“共绘展板”，再从剩下的人中选3人负责“发放彩绳，即可得出不同的分配方案.【详解】从6人中选1人负责“征集留言”，从剩下的人中选2人负责“共绘展板”，再从剩下的人中选3人负责“发放彩绳，则不同的分配方案共有种故选：B【点睛】本题主要考查了分组分配问题，属于基础题.5、B【解析】

先判断双曲线的焦点位置，然后得到渐近线方程的一般形式，再根据的值直接写出渐近线方程.【详解】因为双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为，又因为，所以渐近线方程为.故选：B.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，难度较易.双曲线的实轴长为，虚轴长为，若焦点在轴上，则渐近线方程为，若焦点在轴上，则渐近线方程为；求解双曲线渐近线方程的另一种方法：直接将双曲线方程中的变为，由此得到的关系式即为渐近线方程.6、C【解析】分析：由向量垂直得向量的数量积为0，从而求得，再由数量积的定义可求得夹角．详解：∵，∴，∴，∴，∴．故选C．点睛：平面向量数量积的定义：，由此有，根据定义有性质：．7、A【解析】试题分析：设以点为中点的弦的端点分别为，则，又，两式相减化简得，即以点为中点的弦所在的直线的斜率为，由直线的点斜式方程可得，即，故选A.考点：直线与椭圆的位置关系.8、B【解析】

由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．故选B.9、D【解析】

画出函数的图象，根据图象可知函数的周期性、单调性、定义域与值域，从而可判断各命题的真假.【详解】画出的图象，如图所示，可知是最小正周期为1的函数，当时，，可得，①正确；由图可知，在每一个区间，上，都是增函数，②正确；由图可知，的定义域是，值域是，④正确；由图可知，，③是错误的.真命题的序号是①②④，故选D.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的周期性、函数的定义域与值域，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.10、B【解析】试题分析：当时，，，∴函数在上为增函数，∵函数是定义在R上的偶函数，∴，∴，∴，即．考点：函数的单调性、奇偶性、解不等式．11、C【解析】

根据反证法的知识，选出假设正确的选项.【详解】原命题的结论是“都为2”，反证时应假设为“不都为2”．故选：C【点睛】本小题主要考查反证法的知识，属于基础题.12、B【解析】

根据题意得出样本中男生和女生所占的比例分别为611和511，于是得出样本中男生与女生人数之差为611【详解】依题意可得(611-511)×n【点睛】本题考考查分层抽样的相关计算，解题时要利用分层抽样的特点列式求解，考查计算能力，属于基础题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、0.768【解析】

至少连续2天预报准确包含3种情况：①三天都预报准确；②第一二天预报准确，第三天预报不准确；③第一天预报不准确，第二三天预报准确．分别求解后根据互斥事件的概率加法公式求解即可．【详解】至少连续2天预报准确包含3种情况：①三天都预报准确，其概率为；②第一二天预报准确，第三天预报不准确，其概率为；③第一天预报不准确，第二三天预报准确，其概率为．∴在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是．即所求概率为．【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率的求法和互斥事件的概率，解答类似问题时首先要分清概率的类型，然后在选择相应的公式求解．某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高准确率．要注意“至多”“至少”等题型的转化．14、(x-2)【解析】

由题意先求出切线为l的直线方程，可得直线恒过定点，在满足题意与直线l相切的所有圆中计算出圆半径，即得圆的标准方程【详解】因为y=mx+1，所以当x=1时，y=m2，y'=-m则l的方程为y-m2=-所以直线l恒过定点A(3,0).又直线l与以点C(2,-1)为圆心的圆相切，则圆的半径r等于圆心C到直线l的距离d，又当AC⊥l时，d最大，所以rmax故所求圆的标准方程为(x-2)2【点睛】本题考查了求与直线相切的圆的标准方程，需先求出切线方程，解题关键是理解题意中半径最大的圆，即圆心与定点之间的距离，需要具有转化的能力15、①②【解析】

将①③④三个命题逐一画出图像进行分析,即可判断出真命题,从而得到正确的序号；②利用空间向量求点面距，进而得体积.【详解】①:作图如下所示,过作,交于,截面为即即截面为等腰梯形.故①正确.②:以为原点,、、分别为、、轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,设平面的法向量为,则不妨设,则法向量.则点到平面的距离.故②正确.③:延长交的延长线于一点,连接交于点.故③错误④:延长交的延长线于,连接交于,则截面为四边形根据面积比等于相似比的平方得.在中,,边上的高为故④错误故答案为:①②.【点睛】本题考查了正方体截面有关命题真假性的判断,考查椎体体积计算,考查空间想象能力和逻辑推理能力.对于求体积求高时,往往建立空间直角坐标系,采用法向量的思想进行求解思路比较明确.16、1【解析】

利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再代入后可得g（）的值．【详解】解：将函数f（x）＝sin（2x+π）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）＝sin[2（x﹣）+π]＝cos2x的图象，则g（）＝cos（2×）＝1，故答案为1．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象平移变换，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)①；；②(2)见证明【解析】

（1）①根据递推公式，代入求值即可；②观察已知的数列的前几项，根据其特征，先猜想其通项公式，之后应用数学归纳法证明即可得结果；（2）应用数学归纳法证明.【详解】(1)当时，即当时，当时，当时，②由此猜想：证明如下：①当时，，成立；②假设当时，猜想也成立，即,则当时，.即当时，猜想也成立．由①②得，猜想成立，即.()(2)当时，即当时，由知不等式成立．假设当时，命题也成立，即.由即当时，命题也成立．由①②得，原命题成立，即当时，.【点睛】该题考查的是数列的有关问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的特定项，根据已知的数列的前几项猜想数列的通项公式，应用数学归纳法证明问题，属于中档题目.18、(1)散点图见解析；销售额与广告费用支出之间是正相关.(2).(3).【解析】分析：(1)结合所给的数据绘制散点图，观察可得销售额与广告费用支出之间是正相关；(2)结合所给的数据计算可得线性回归方程为；(3)结合回归方程，时，估计的值为详解：（1）作出散点图如下图所示：销售额与广告费用支出之间是正相关；（2），，，，因此回归直线方程为（3）时，估计的值为.点睛：线性回归方程需要注意两点：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．19、（1）；（2）对称性：曲线关于轴对称；顶点：；范围：曲线在直线右侧，且右上方和右下方无限延伸.理由见解析【解析】

（1）设，根据题意列出等量关系，化简整理，即可得出结果；（2）根据由抛物线向右平移一个单位得到，结合抛物线的性质，即可得出结果.【详解】（1）由题意可得：动点到直线的距离与到的距离相等，设，则，化简整理，可得，所以点的轨迹的方程为；（2）由（1）得的方程为；即由抛物线向右平移一个单位得到；所以曲线也关于轴对称，顶点为，范围为，.【点睛】本题主要考查求轨迹方程，以及轨迹的性质，熟记轨迹方程的求法，以及抛物线的性质即可，属于常考题型.20、（1），（2）【解析】

（1）由已知关系式直接推得即可；（2）由依次推出，再由，，依次推出即可.【详解】解：（1）因，令代入得:，令，代入得:，又，令代入得：．令，代入得：．（2）由条件②可得，，……．将上述个等式相加得：．由条件③可得：，，……．将上述个等式相加得：．【点睛】本题主要考查了函数的递推关系式，注意观察规律，细心完成即可.21、（I）；（II）【解析】

（I）