2023年6月浙江省高考数学仿真模拟卷02（全解全析）

2023年6月浙江省高考仿真模拟卷02

数学.全解全析

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一'单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求.

1.已知集合M满足{2,3}UMU{123,4,5},那么这样的集合〃的个数为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可.

【详解】因为{0。=Z7C例，

所以集合阿以为：{o,a\XD,D,a\,{0,0,0,

{400公{0〃0。,{0〃〃04共8个，

故选：C.

2.已知a>l,b>1,且log2VH=logb4,则帅的最小值为（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】C

【分析】运用对数运算及换底公式可得口口口心•口口口胆=0,运用基本不等式可求得崎最小

值.

【详解】回口口口而=口口0077,

吗口叫〃=[][]口M即：口叫〃=制

囹口口口DD0^Z7=Z7,

团〃,Z7,Z7>Z7,

团口口口〃Z7>£7,口口口〃Z7>Z7,

回口口口次的=口口口即+口口％Z724/口口口心•口叫Z7=D,当且仅当口口口心=口口口。卿Z7=时取等号,

即：nn>[f=on,当且仅当Z7=曲取等号，

故领最小值为16.

故选：C.

3.某兴趣小组研究光照时长x(h)和向日葵种子发芽数量y(颗)之间的关系，采集5组

数据，作如图所示的散点图.若去掉0(10,2)后，下列说法正确的是()

%

.£(8,11)

5(2,6)

/•C(3,5)

1(1,4).£>(10,2)

~Ox

A.相关系数r变小B.决定系数R2变小

C.残差平方和变大D.解释变量x与预报变量y的相关性变强

【答案】D

【分析】从图中分析得到去掉仄典0后，回归效果更好，再由相关系数，决定系数，残差

平方和和相关性的概念和性质作出判断即可.

【详解】从图中可以看出仄血。较其他点，偏离直线远，故去掉小典0后，回归效果更好，

对于A,相关系数㈤越接近于1,模型的拟合效果越好，若去掉火的0后，相关系数r变大，

故A错误；

对于B,决定系数/越接近于1,模型的拟合效果越好，若去掉/如0后，决定系数Z/7变大，

故B错误；

对于C,残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉火圈0后，残差平方和变小，故C

错误；

对于D,若去掉仄制。后，解释变量x与预报变量y的相关性变强，且是正相关，故D正

确.

故选：D.

4.已知平面向量日=(1,3),间=2,且=则(2d+b)•(句-b)=()

A.1B.14C.gD.V10

【答案】B

【分析】根据向量的模长公式以及数量积的运算律即可求解.

【详解】因为忸一才=方’一龙•方+/=勿,|4=y[OD,\c\=Z7,所以方方=Z7,所以(龙・

(万一0=no-~n-D-D=an-n-口=an.

故选：B

5."清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂”描述的是我国传统节日"清明节"的景象."青团"创于

宋朝，是清明节的寒食名点之一，也是人们提起清明节会最先想到的美食.某地居民喜好的

青团品种有4个，假定每个人购买时对于每种青团的选择是独立的，选择每个品种的概率均

为热若在清明节当日，某传统糕点店为顾客只准备了3个品种的青团，则一位进店顾客，

他的要求可以被满足的概率为（）

AA.-14Bc.-10Cc.-38Dc.-2

8127813

【答案】D

【分析】先求出不被满足的概率为产，利用对立事件的概率关系即可求解.

【详解】设不被满足的概率为/>,则。=与=今所以被满足的概率为

故选：D.

6.若与y轴相切的圆C与直线=4x也相切，且圆C经过点P（2,b），则圆C的直径为（）

A.2B.2或gC.[D.彳或竽

【答案】B

【分析】根据题意设出圆的方程，代入点的坐标可求圆的方程，从而可得圆的直径.

【详解】因为直线耳族倾斜角为叱

所以圆亦圆心在两切线所成角的角平分线Z7=

设圆心仄〃@,则圆励方程为（。一

将点仄〃匈的坐标代入，得（。一0°+（近一四°=犷，

整理得心一加7+Z7=Z7,解得Z7=碱。=多

所以圆戚直径为2或半

故选：B.

523456

7.已知（x+1）（尤—I）=a0+arx+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x,则的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】根据（。+。（。一艮"（Z7-肝,结合二项式定理求解即可.

【详解】因为（。+0（。-0°=贸。一0°-（。一0°,（。一0/7展开式第，+四％+0=

C乡片。=C$（_0当Z7=时，口-CH-Uflf=—口口由,当77=耐，C^-O）0^=

nntf,故口打=一口口声+[itiif=□,即%=〃

故选：B

8.三棱锥P-ABC中，AB1AC,AB=2,BC=2y/2,PC1AC,PB=275,则三棱锥P-ABC

的外接球表面积的最小值为（）

A.167rB.18TlC.20TTD.21n

【答案】C

【分析】先将三棱锥〃-在长方体方体中，并建立空间直角坐标系。加7,由题目条

件分析出点尸的轨迹方程，再有三棱锥，-Z7礴外接球的球心礴足|因=网找到球心〃

满足的条件，再求出其最值，从而找到半径的最小值，解决问题.

【详解】〜

如图，将三棱锥Z7-Z/切画在长方体方体中，并建立空间直角坐标系

由a71国由Z7Z7J_面。％如7,可知尸点在面皿ydCt,

又|阳=Lh/O,Z7Z7，面Z7%%£7,所以△Z7/7妫直角三角形，

故|明=/7,即尸点轨迹为以。为圆心，半径为4,在Z7。%%上的圆，

设点仄％〃殳），则总+显=Z7Z7一①，

因为△加7〃为等腰直角三角形，所以三棱锥。-。的的外接球的球心赃直线Z7/止，

设点仇0。%）,由|因=|四，得。+而=（%-00+，+（%-%）"一②，

联立①②得：%=等=詈，

OUQUQ

设过点⑷。和点（分,殳）的直线斜率为。，则。=翳，

o-un

由直线与圆相切，可得。e卜当知

则1%1期=而，所以4™=初，所以Z7=ZU原口=皈.

故选：c

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在单位正方体4BCD-&B1GD1中，O为底面A8CD的中心，M为线段CC】上的动点（不

与两个端点重合），P为线段BM的中点，则（）

A.直线。P与OM是异面直线B.三棱锥&-DBM的体积是定值

C.存在点M,使4G〃平面8OMD.存在点〃，使4iC_L平面

【答案】BC

【分析】选项A易判断，由为「的?=为_%如可判断B,当M为Z7%中点时，可得Z7%//平面

BDM,即可判断C,当M与%重合时，口口口上面BDM,然后可判断D.

【详解】

A项：因为典Z7Z相交，所以。尸，0M共面，故错误；

B项：因为%=%~%而，Z7OZ7Z7—是正方体，

所以Z7%〃皿;，因为27%C平面Z7%%Z7,回；u平面皿乩/7,

所以Z7%//平面27%殳27,所M到面为礴距离不变，所以%「3/7为定值，故正确；

C项：当M为27%中点时，为△Z7Z7殳的中位线，D0//0[]n,

因为Z7殳C平面SOW,Z7Z7CYWBDM,

所以Z7%//平面BOM,故正确；

D项：当A7与火重合时，因为31Z7。以71畋7nz7殳=Z7,叫叫u平面口叫口口,

所以Z7Z71平面Z7。4外,因为%Z7u平面Z7174%,所以Z7Z71%77,

同理可证区7_L%/7,因为Z7Z7n/Z7=Z7,叫如u平面BDM,所以生Z7_L平面

又因为〃不与端点重合，故错误.

故选：BC

10.下列说法正确的有()

A.若事件4与事件B互斥，则PQ4)+P(B)=1

B.若PG4)>0,P(B)>0,P(8|A)=P(B),则P(A|B)=PG4)

C.若随机变量X服从正态分布N(2,cr),P(X<3)=0.6,则P(XW1)=0.4

D.这组数据4,3,2,5,6的60%分位数为4

【答案】BC

【分析】利用互斥事件的定义判断A,利用条件概率公式和独立事件的定义判断B,利用正

态分布曲线的对称性判断C,利用百分位数的定义判断D.

【详解】选项A,若事件Z7与事件Z®斥，则仄0+4。，故A错误；

选项B,若以0>Z7,KO)>口，艮晌=嗯=艮

则仄初)=仄0仄0,即事件a与事件确互独立，

所以仇/0=贸0,故B正确；

选项C：若随机变量明艮从正态分布00。，仄Z7WO)=D.D,

则及Z7>Z7)=Z7-仄Z7W0=ZZZ7,

所以aZ7S0=仄。>。=ZZZ7,故C正确；

选项D:将数据砒行排序得04口々〃，共g,

Z7X£7/2%=0,所以这组数据酹JZ7。％分位数为等=ZZZ7,故D错误；

故选：BC

11.设尸为抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点，过点F的直线/与抛物线C交于4（%,力）8（>2，丫2）

两点，过B作与x轴平行的直线，和过点尸且与AB垂直的直线交于点N,AN与％轴交于点M,

则（）

A.%62+%丫2为定值

B.当直线I的斜率为1时，△04B的面积为（其中。为坐标原点）

C.若Q为C的准线上任意一点，则直线Q4QF,QB的斜率成等差数列

D.点M到直线FN的距离为々

【答案】ACD

【分析】A.设直线用J方程为勿=£7-也代入抛物线方程化为仇力-/=。，利用根与

系数的关系可得殳为=-/,结合抛物线方程可得殳为,进而判断出正误.B.当直线用J斜率

为曲，直线质方程为Z7=Z7一与代入椭圆方程可得：/-£7以7+9=77,利用根与系数的

关系及抛物线的定义可得|因，利用点到直线的距离公式可得点底（1直线用J距离Z7,可得△

。。用J面积，进而判断出正误.C.设-也少，利用斜率计算公式可得%°,口明,口聊计算

OOoa-nD0-%。,进而判断出正误.D.过点祚必_L西垂足为Z7,利用相似的性质可得摆=-4

\uU\-UQ

摆=瞿，进而得出|即，即可判断出正误.

m\uu\

【详解】解：A.Z7（9Z7）,设直线南方程为必=Z7-%

联立[nn~*，化为/~口口口口一中=口，

\Uu=U—

IO

*,*口口口口——[P9口口+口口—[][][],

,,,曲7口口口口=（口口喻°—cPt•1•口口口口~—»

殳%+%殳=一!/为定值，因此A正确.

B.当直线砒斜率为耐，直线而方程为Z7=27-%

代入椭圆方程可得：加-皿7+《=27,

:.%+%=Z7Z7,A|口队=%+%+〃=

点旗直线旗J距离Z7=机学，

Z7磷面积为卜Z7Z7X苧=与区因此B不正确.

C•设〃（一则殳。=事=一3加产衰药舞^喙=舞那

.nnnn00oooa-noooona-ooo

"uaoa-n00-ono=-7--^-------源才，

通分后分子=一］■咨+的（徭++K叫-的（用+为+艮口瓦一如（用+矽］,

=一〃［«%%）’+叭品+的+/+/（%咫+4犷一眦-助+〃（附%+nDcf-

口由一口刈=一况4生％）0+S（用+为+必+〃％%（%+%）+〃（%+殳）一

心（咫+矽-ODLP］,=-0\队比%）"+ifonon（%+%）+加（殳+%）-必］,

=-Z7M_好+/-外孙+改口⑪-喇=口

即77/物-%-%°=Z7,则直线Z7Z7,Z7Z7,面的斜率成等差数列，因此C正确.

D.如图所示，

过点祚Z7Z71必，垂足为。，••・黑=粤，.•.黑=女/,

I阳—Ug\UU\—Ug

又需喑，喟=誓•,•附=粤=粤=个?=与因此。正琳

故选：ACD.

12.已知函数/(x)=xlgx-x-lgx(x>1)的零点为X［，函数g(x)=x•10*-x-10«x>

1)的零点为X2，则()

A.%1+%2=%1%2B.%i+x2>11

C.与一%2V1°*2—lg;qD.久1—%2>9

【答案】ABD

【分析】由题意可得%Jg%-殳一lg%=。，（%>。，令lg%=Z7>。，可得%=a九代

入方程可得加必-27=0,变形为（+3-Z7=Z7,根据函数的单调性及已知％而%-

旅=27,（%>0,可得％=。=口口外,口产吁,进而根据指数与对数的运算性质以

及导数判断出结论的正误.

【详解】由题意可得%•lg%-%-lg%=%（%>0，

令lg&7=Z7>Z7,则殳=a/7,

代入方程可得z7M7-Off-D=0,（Z7>0}

变形为介焉-〃=〃，

令仄⑦=（+!一O'a>a,

可知函数仄。在（0+0）上单调递减，

又为*-%-必。5+嬴一/7=/7,(4>0,

%。=|g%,即％=000°.

由外讥涉一%一3=Z7,二=Z7,即%+%=1；%,因此A正确；

%+%=%+册>£7+以7=如因此B正确；

%一%=〃M-lg%,因此C不正确；

令艮0)=Olf-0。>U),则=Z7Z70lnZ7Z7-Z7>Z7,

；,函数贫。在(0+0)上单调递增，二贸。>贫0=/7,

二年一%=Z7曲一%>Z7,因此D正确.

故选：ABD

第n卷

三'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.复数z满足2z+三=6-i(i是虚数单位)，则z的虚部为.

【答案】-1

【分析】令口=口”,则万=/7-凡通过复数代数形式运算即可得出结果.

【详解】令。=。+4,则力=。一4,

所以以7+5=仄Z7+£1)+(Z7-4)=Z7Z7+4=口一口，故冰J虚部为一以

故答案为：-1.

14.已知圆G：(x—a)?+y2=4与+(y—b)2=l(a,b6R)交于4B两点.若存在a,使

得|4B|=2,则b的取值范围为.

【答案】［-

【分析】根据圆与圆相交弦所在直线方程性质求得直线。。的方程，利用直线与圆相交弦长

公式，求得a端足的等式关系，根据方程有解，即可得用J取值范围.

【详解】圆生:(77-0，+/=用J圆心殳(0。，半径生=4圆%:/+(〃-0"=岫圆心

以。0,半径%=。

若两圆相交，贝！1|生一⑷<所以Z7<Z7,即。</+/</7,

又两圆相交弦处所在直线方程为：(£7-00+Z/7-〃一(Z7-D)°=H-啷口如一口口口-田、

〃+Z7=Z7

所以圆心殳⑷。到直线%的距离为=\"—"圆心殳(00到直线的距离殳=

l/T-Z^-Z/W+q

《口田+皿9

则弦长|因=幅二历=幅二历=〃,所以嘤，则，所以/+/=〃,

\4口中+口中

若存在Z7,使得|因=Z7,则加£4即一匹WZ74丽所以领取值范围为［-而制.

故答案为：［-诙

15.若定义在R上的函数/(x)满足:Vx,yeR,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)/(y)「llf(0)=1,

则满足上述条件的函数f(x)可以为.(写出一个即可)

【答案】仄。=Z7(答案不唯一仄。=C0SZ7她可)

【分析】根据题意可得函数仄。为偶函数，可取仄0=口,在证明这个函数符合题意即可.

【详解】令口=口,则仄0+艮-0)=以。，

所以贫-0="0,所以函数仄0为偶函数，

可取贫0=口,则仄〃+Z7)=0=ZX0==Z7,

所以V0Z7CR,仄Z7+0+仄Z7-0=Z7仄。仄。，

所以函数式0=。符合题意.

故答案为：艮6=工(答案不唯一仄。=cos。。也可)

16.三棱锥。-4BC中，DCJ_平面48C,AB1BC,AB=BC=CD=1,点P在三棱锥。-ABC

外接球的球面上，且N4PC=60°,则DP的最小值为.

【答案】书酒

【分析】本题婕离最小时，Z7点的位置不好确定，可考虑用空间直角坐标系来解决问题.

【详解】如图所示：

分别取期Z7Z粕中点27、Z7,连接Z7Z7、曲则a7II00,

由题意知㈤1平面磔所以“7100,DDL00.

因为Z7Z7=□口，所以口口100,即Z7。、口口、。晒两垂直.

以妫坐标原点建立如图空间直角坐标系，则如40,。(一机耳⑷，

。(-也哨，口(-缪小呜器,q

3=/(-?”+得)"=1口口△幽斜边a7=e易知妫三棱锥。以7。外接球球心，且半

径口罟

设点贫则〃7+Z/7+/=T

前=(-*-口,-'一区-心,而=v一*一口

由题意口口口皿箭a

?

四'解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出

文字说明'证明过程或演算步骤.

17.在锐角△由中，内角48,C所对的边分别为a，b，c,满足袈一1二sin27l-sin2C

sin2F

且工丰C.

⑴求证：B=2C；

⑵已知BD是ZABC的平分线，若a=4,求线段BC长度的取值范围.

【答案】⑴证明见解析

(2)(当砌

【分析】(1)由正弦定理得/=/+Z7Z7,又由余弦定理得犷=if+成一OODCOS。,结合整

理可得角的关系；

(2)由正弦定理得—行,=累又因为的为锐角三角形且。=Z7Z7,结合三角函数值域可

求得线段。冰度的取值范围.

・、*/八u,HKjbc.zsSinZ7-8inZ7sin'+sin%Z7sinZ7+sinZ7

【详解】(l)由题意得一7—=--5—,即RnT：=—E~.

smZ7sinZ7smZ7sinZ7

由正弦定理得/=〃+〃〃，

又由余弦定理得小=/+[f-Z7Z7£tOSZ7,

所以Z7=Z7-颂os/7,故sin〃=sin/7一%in/Tcos。，

故sin〃=sin(Z7+0)-的in应os〃，整理得sin〃=sin(Z7-0,

又△Z7Z7ZZ为锐角三角形，则Z76(口3，。一3

所以□=口-0,因此77=如

(2)在的机由正弦定理得_^=告所以_^=名

s\x\OODDsin//sin/TZWsinZ/

所以3=悬=鬻

因为△07妫锐角三角形，且，=的，所以Z7<Z7/7<2，解得

"一27y

故当<COSZ7<4,所以噂<oo<D4O-

18.数列｛%｝的前/i项和为S,且3■+号+普+—卜曰=3-2；；

n

⑴求数列｛Qn｝的通项公式;

⑵若数列｛bn｝满足瓦⑦&・♦・bn=Sn,求数列｛lnbn｝的前〃项和〃.

【答案】⑴％=00-0

(2)Z^=ZHDZ7

【分析】（1）利用“退一作差〃法求得生

（2）先求得为,然后求得为,进而求得口口生,利用裂项求和法求得外

【详解】（1）由*+*+*+…+，=〃一半

当〃=zM,/=口—一口口=口1

嘴+$*+…+簧=口-耨（0叫

啜=（。一爷”倒=等£（〃20,Z7fl=DO-Z^Z7>0）,

■.Z7=耐上式也符合，

团47=口口-Z7,

（2）0数列｛㈤是等差数列，

啊=（窜=凡

得：…殳=巩

当口N口,且时，殳殳殳…见0=（Z7-0。，

叫=昼=（言）'g。）,

当〃=zM,na=n,

（o,o=orn,n=n

叫寸（£）%〃皿%=沁总心〃’

0Z7=屈*j9口口=口,

当Z7N曲

DQ—口口%+口口为+口口%+…+口口％

=Z7+0口口〃一D0Z74-DDZ7-DDZ7+…+DDZ7-DD（Z7-0）］

=ZUDZZ

团％=ZDDZZ

19.如图，在多面体ABC-AmiQ中,AA\“BB\“CG，4411平面/当使,△48停1为等

边三角形，&Bi=BBi=2,4&=3,CC1=1,点M是4c的中点.

⑴若点G是△&B1G的重心，证明；点G在平面B&M内;

(2)求二面角%-BM-G的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

喈

【分析】(1)取A0殳中点N,连接％Z7,MN,由点G是△%%%的重心，得出。€%。，

再证明四边形〃殳如是平行四边形，即可证明点减平面Z7殳讷；

(2)解法1：由磔)平面%为外,口口0||OOu||叩口,得出平行四边形〃殳。。为矩形,得出以7100,

再由点理Z70的中点得出以71%殳，证明出加7_L平面为&/Z7,得出Z7Z71/即可得出Z7/7Z7彼

是所求二面角的平面角，求出Z7/7ZM的正弦值即可得出答案；解法2：建立空间直角坐标系,

分别求出平面殳加和平面Z7/7生的一个法向量，求出两平面夹角的余弦，再求出正弦即可.

【详解】(1)证明：取A0%中点N,连接口曲MN,如图所示，

因为点6是4仇%火的重心，

故G一定在中线%狂，

因为点虚面的中点，点虑47%的中点，

所以是梯形，殳生励中位线，

所以*□□□+00g)=0=00D,且Z7Z7IIODo||DD0,

又口口oII叫IIm口,

所以必II叫,

所以四边形，殳凝平行四边形，

因为点Z76000,瓦口u平面皿〃7,

所以点Z76平面皿龙7,

即点族平面做7讷.

(2)解法1:

因为冲平面生殳外,onD||0Dniinna.

所以Z7//1平面为火外,

又因为为Z7u平面殳%%，

所以Z7%1%。，

因为四边形。火。。是平行四边形，

所以四边形a方位是矩形，Z7Z7H□孙

所以Z7Z71Z7Z7,

因为△殳为殳为等边三角形，点虚殳为中点，

所以为Z71nooD,

所以Z7Z71Oono,

又因为%%U平面%%Z7,DOU平面口抵口,殳为n/7Z7=Z7,

所以Z7Z71平面殳殳Z7,

又因为口口口u平面口曲口,

所以叫,

所以Z7a7。就是所求二面角的平面角，

因为为Z7=小皿+口利=>/〃+/=6

所以sin切题=穿靠=孑，

故二面角%-0D-%的正弦值为*

解法2：以生为原点，为为所在直线为x轴，垂直于殳％的直线为y轴，生晰在直线为z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，

则为(40,0},0^0,0,0,0^0,40,0),嗯与0，

瓯=O'-@质=(凯当@，

而。=《与-4,

设平面3%与平面Z7Z7礴法向量分别为方=(%%,%),方=(%%%),

-Dn--na-ODn=a

则°D,不妨取%=〃则//=(a匹0,

.研一片瓦=口

-O--D=0

o0n

n°r^，不妨取％=0Z7=(〃历0,

2+?%一〃％=27

所以cos04=j^=萼,

故二面角为-Z7Z7-4的正弦值为当

20.盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性.某品牌推出

2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同单品，且必包含隐藏款X；B款盲盒套餐包含2

款不同单品，有50%的可能性出现隐藏款X.为避免盲目购买与黄牛囤积，每人每天只能购

买1件盲盒套餐.开售第二日，销售门店对80名购买了套餐的消费者进行了问卷调查，得

到如下列联表:

4款盲盒套餐B款盲盒套餐合计

年龄低于30岁183048

年龄不低于30岁221032

合计404080

⑴根据2x2列联表，判断是否有99%的把握认为A,8款盲盒套餐的选择与年龄有关;

(2)甲、乙、丙三人每人购买1件8款盲盒套餐，记随机变量f为其中隐藏款X的个数，求f的

分布列和数学期望；

⑶某消费者在开售首日与次H分别购买了A款盲盒套餐与B款盲盒套餐各1件，并将6件

单品全部打乱放在一起，从中随机抽取1件打开后发现为隐藏款X,求该隐藏款来自于8款

盲盒套餐的概率.

n(ad-bc)2

附：K2=.其中n=a+b+c+d,

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>fc0)0.1000.0500.0250.0100.001

ko2.7063.8415.0246.6350.828

【答案】⑴表格见解析，有

(2)分布列见解析，a0=(

【分析】(1)根据独立性检验计算Z/7,在进行判断即可；

(2)根据二项分布的概率公式，进行计算得分布列及数学期望即可；

(3)根据全概率公式及条件概率公式分析计算即可.

【详解】(1)零假设为：殳：A,5款盲盒套餐的选择与年龄之间无关联.

根据列联表中的数据，经计算得/=风、鬻:黑=0.00.000,

ULrUl/uLrUU

根据小概率值殳=〃/70的独立性检验，推断殳不成立，

即有Z7咯的把握认为A,5款盲盒套餐的选择与年龄有关.

(2)底所有可能取值为0,1,2,3,

“口=m=c爬f=B，KU=U)=C^=*,仄0=O)=C%T，艮U=m=

C飕吟

所以用］分布列为：

Z70123

DZ70Z7

P

~O~D~D~D

00=Z7X.Z7X*Z7X*Z7X\"或爪0=Z7X;今.

(3)设事件A：随机抽取1件打开后发现为隐藏款X,

设事件%:随机抽取的1件单品来自于4款盲盒套餐，

设事件如随机抽取的1件单品来自于8款盲盒套餐，

/0=火㈤•仄㈤㈤+仄%).仄㈤％)=讶+(•铝=}

故由条件概率公式可得

如刖=幽=硒）,譬㈤=■1=2

则h00

22

21.已知点4（2,1）在双曲线C套一3三=l（a>1）上，直线/交C于P,。两点，直线4P,AQ

的斜率之和为0.

⑴求/的斜率；

（2）若tan/PAQ=2vL求^PAQ的面积.

【答案】（1）—27；

（2呼

''0

【分析】（1）由点/在双曲线上可求出。，易知直线/的斜率存在，设ZZZ7=Z7Z7+Z7,

仄%,%）,仄生㈤，再根据％7+4。=Z7,即可解出/的斜率；

（2）根据直线典Z7。的斜率之和为0可知直线如。。的倾斜角互补，根据口口口的727=WZBP可

求出直线的崎斜率，再分别联立直线的砥双曲线方程求出点ZZ硒坐标，即可得到直

线磷方程以及a7的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线Z70的距离，即可得出a7

的面积.

【详解】⑴因为点磔0在双曲线W—W=及口>0上，所以右一忌=口,解得犷=0,

即双曲线〃5—〃=/7.

易知直线/的斜率存在，设〃£7=a7+Z7,）,仄％殳），

（0=ZZ7+Z7

联立可得，I□一口力中一口口口口一口#一口=口,

所以,口口、瓦=-果］瓦口口二?当□=DDlf［P-贝必+0（必一Z7）>Z7=>if-0+Olf>

祖Z7H土耳.

所以由%.+为=阿得，台+台=〃，

即（为一水叫+Z7-0+（殳-0）（口瓦+0-［］）=0,

舆口口口口口"+（Z7-Z7-她（%+㈤-仄口-n）=a,

所以Z7Z7X需+（Z7-Z7—她（一黑）一“/7一。=Z7,

化简得，/+仇7—Z7+颇。+0=£7,即（27+0（应7—Z7+0=。，

所以27=一瞰口=0-00,

当附，直线9〃=/7/7+/7=//7-0+啦点贸00,与题意不符，舍去，

故。=-Z7.

（2）［方法一］:【最优解】常规转化

不妨设直线如曲的倾斜角为0Z7（Z7<*0,因为％+%〃=Z7,所以Z7+Z7=口，由（1）知,

OQU/J=Ulf+Z7>Z7,

当〃幽在双曲线左支时，0000=00,所以口口口a7二小区

即JZO口口5+ODOZ7-夜=Z7,解得口口口。=耳（负值舍去）

此时以与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；

当〃幽在双曲线右支时，

因为口口口血777=啦,所以口口口（。-0=o/b,即口口口以7=-ZA/a

即，0口口%-口口口/7-匹=Z7,解得口口口。=yjo（负值舍去），

于是，直线如，=/瓦Z7-0+Z7,直线772/7=-应/7-0+Z7,

Z=V^（Z7-0+Z7„

联立｝rf严一口可得，］/+［赤_0/7+/7。_丽=/7,

a

因为方程有一个根为〃，所以为=丝/，％=等,

坦,nOD+D\［O——DTO—0

同理可得，口口=——9%=——.

所以如。+。一《=/7,|而|=髭，点倒直线Z7。的距离"忸尊=缘,

uuyfuu

故4Z7切的面积为"与x萼=等.

［方法二］:

设直线AP的倾斜角为4由口口027/7以7=诋得口口口等=当

由勿+血7/7=□,得％=口口口。=yfa,即色型=6

口L口

联立髭=①及g—总=喇%=0D-0>/07D/D-0

，on=—,

0D

i=tYairi00+D^D—^0\[0-Du_—no/--no

同理，口口=-—90口=~—，故&7+17=万，口口口口=~

而|£7Z7|=yfe^Og—q，|Z7Z7|=沟%—团，

由口口口皿7/7=DyJn,得口口UZ7Z7Z7Z7=

故外侬?=(I四I四口口口血7=的％殳-0火+㈤+。=竽

22.已知函数f(x)=(mx-l)ex+n(m,neR)在点(1,/(l))处的切线方程为y=ex+2-e,

g(x)=持

⑴求f(x)的值域;

⑵若f(a)=/(b)=g(c)=g(d),且a<b,c<d,证明：①c+d>0；(2)b+c>0.

【答案】(1)[«+0)

(2)证明见解析

【分析】（1）求出/（。=（以7+Z7-0e。，根据导数的几何意义得出切线方程.结合已知，

即可求出4励值.然后利用导函数得出/0的单调性,进而根据函数的单调性，结合。=e"的

取值，即可得出答案；

（2）求出a（0=肃，得出火。的单调性以及值域，根据仄0以及负0的性质，作