函数与极坐标

函数与极坐标第1页，课件共28页，创作于2023年2月一、区间和邻域设实数a和b，取a＜b,数集{x|a＜x＜b},称为开区间，记（a，b），即（a，b）={x|a＜x＜b}.

数集

{x|a≤x≤b}

称为闭区间，记[a，b]，即

[a，b]={x|a≤x≤b}.第2页，课件共28页，创作于2023年2月从数轴上看，这些有限区间是长度为有限的线段.类似地

[a，b)={x|a≤x＜b}，(a，b]={x|a＜x≤b}，称为半开半闭区间.以上区间都称为有限区间，区间长度为b–a.

此外还有所谓无限区间,

引进记号+(读作正无穷大)和-(读作负无穷大),例如[a，+)={x|a≤x},(-，b)={x|x＜b}.全体实数的集合R也可记作(,+),它也是无穷区间.第3页，课件共28页，创作于2023年2月设是任一正数,则开区间(a–,b–)称为点a的

邻域，记为

U(a,)={x||x–a|＜}.

点集

{x|0＜|x–a|＜}称为点a的去心δ邻域,如图,记作

{x|0＜|x–a|＜}第4页，课件共28页，创作于2023年2月在平面直角坐标系下点集二、函数

定义1设D是R的非空子集，则从D到R的对应关系f称为定义在D上的函数，记为

y=f(x)，x∈D.其中x称为自变量，y称为因变量,D称为函数f的定义域，记为Df.集合Rf

={y|y=f(x)，x∈D}为函数f的值域.{(x，y)|y=f(x)，x∈D}称为函数y=f(x)，x∈D的图像第5页，课件共28页，创作于2023年2月例1求函数的定义域，值域，并画出其图像.证明数列解定义域

1x2≥0，

即D=[1,1].值域Rf={y|y≥0}.

图像为半圆(如图)第6页，课件共28页，创作于2023年2月例2

绝对值函数定义域D=

(，+).

值域Rf=[0，+]，图像如图.第7页，课件共28页，创作于2023年2月例3符号函数图像如图.第8页，课件共28页，创作于2023年2月例4取整函数

y=[x]，表示不超过x的最大整数.图像如图.如[1.25]=1，[3.5]=4，[1]=1.

从例2到例4看到，有时一个函数要用几个式子来表示.这种在自变量的不同变化范围中，对应关系用几个不同式子表示的函数，称为分段函数.第9页，课件共28页，创作于2023年2月三、初等函数

1.基本初等函数

.

初等数学对下面六类函数的定义域、值域及函数的性态进行了讨论：

常数函数y=C(C是常数)；

幂函数

y=xa

(a∈R);指数函数y=ax(a>0，且a≠1);对数函数y=logax(a>0，且a≠1);

三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx；反三角函数y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx.这六类函数统称为基本初等函数.第10页，课件共28页，创作于2023年2月2.反函数在函数定义中，如果f是D到R的一一映射，则它的逆映射f-1称为函数的反函数，记为x=f-1(y).显然f–1的定义域为Rf，值域为D.例如，函数y=x3，x∈R是一一映射，所以它的反函数存在，其反函数为

习惯上写为y∈R.x∈R.第11页，课件共28页，创作于2023年2月一般地，y=f(x)，x∈D的反函数记成y=f-1(x)，x∈f(D).把函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图像画在同一坐标平面上，这两个图像关于直线是对称的(如图).

第12页，课件共28页，创作于2023年2月函数g在D上的值域g(D)必须含在f的定义域内，即g(D)Df.否则，不能构成复合函数.3.复合函数

设函数y=f(u)的定义域为D1，函数u=g(x)在D上有定义，且g(D)D1，则由下式确定的函数

y=f[g(x)]，x∈D

函数g与函数f能构成复合函数的条件是:称为由函数y=f(u)和函数u=g(x)构成的复合函数，它的定义域为D，变量u称为中间变量.两个及多个函数能够构成复合函数的过程叫函数的复合运算.第13页，课件共28页，创作于2023年2月复合函数y=arcsin(x2-1)的定义域为例5函数y=arcsin(x21)可以看成是函数

y=f(u)=arcsinu和u=g(x)=x21

y=f(u)的定义域U0={u||u|≤1},u=g(x)的定义域D={x|<x<+}，复合而成的函数.第14页，课件共28页，创作于2023年2月4.四则运算设函数f(x),g(x)的定义域分别为D1,D2,记D=D1∩D2,且D≠(是空集),在D上,通过加、减、乘、除四则运算可定义新的函数

f(x)±g(x)f(x)·g(x)

(g(x)≠0).第15页，课件共28页，创作于2023年2月5.初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算得到的可用一个式子表示的函数称为初等函数.例如，等都是初等函数.第16页，课件共28页，创作于2023年2月四、函数的性质设函数f(x)的定义域为D.如果存在数M1，使得对任一x∈D都有则称函数f(x)在D上有上界，M1称为函数f(x)在D上的一个上界.如果存在数M2，使得对任一x∈D都有

f(x)≤M1

f(x)≥M2则称函数f(x)在D上有下界，M2称为函数f(x)在D上的一个下界.如果存在数M，使得对任一x∈D都有

f(x)≤|M|则称函数f(x)在D上有界.如果这样的M不存在，就称函数f(x)在D上无界.

第17页，课件共28页，创作于2023年2月y=ex在(-,+)上无界，如定义域取有限区间，则它也是有界的.例如

y=sinx在(-，+)上有界；第18页，课件共28页，创作于2023年2月2.单调性设函数f(x)的定义域为D，如果对于D上的任意两点x1及x2，当x1＜x2时，恒有则称函数f(x)在区间D上是单调增加的；如果恒有

f(x1)＜f(x2)

f(x1)＞f(x2)则称函数f(x)在区间D上是单调减少的.第19页，课件共28页，创作于2023年2月3.奇偶性设函数f(x)的定义域为D关于原点对称.如果对于任意x∈D，都有则称函数f(x)为偶函数；如果对于任意x∈D，都有

f(x)=f(x)

f(x)

=f(x)则称函数f(x)为奇函数.偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点轴对称.第20页，课件共28页，创作于2023年2月则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期，通常说周期函数的周期是指最小正周期.4.周期性设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个正数T，使得对于任意x∈D有（x±T）∈D，且恒成立，

f(T+x)

=f(x)

例如，函数sinx，cosx都是以2为周期的周期函数；函数tanx是以为周期的周期函数.第21页，课件共28页，创作于2023年2月其中r表示点P到极点O的距离,表示射线OP与极轴正向的夹角.这里五、极坐标在平面上定义由一定点和一条定轴所组成的坐标系称为极坐标系，其中定点称为极点，定轴称为极轴.如图坐标系中的点P用有序数(r,)表示.

r≥0,02.第22页，课件共28页，创作于2023年2月若取极点作为原点，极轴作为x轴建立直角坐标系，这样得到极坐标与直角坐标的关系：或(2)

x=rcos，y=rsin(1)

建立r与关系的等式称为极坐标方程，如

r=1，表示圆心在极点，半径为1的圆.利用式(1)、(2)可以把直角坐标方程和极坐标方程进行互化.第23页，课件共28页，创作于2023年2月

r2=2rcos,例6将极坐标方程

r=2cos解方程两边同乘以r得化为直角坐标方程，并说明它