实验四-多元函数的极值课件

实验4多元函数的极值实验4多元函数的极值1实验目的

了解多元函数偏导数的求法了解多元函数极值的求法了解多元函数条件极值的求法了解多元函数插值的方法学习、掌握MATLAB软件有关的命令实验目的2实验内容1、求函数的极值点和极值。2、求函数在条件下的极值。3、已知曲面上一些点(2,2,80)，(3,2,82)，(4,2,84）(0,3,79)，(2,3,61)，(3,3,65)，(0,4,84)，(1,4,84)，(4,4,86)，将这些点用二元函数插值的方法画出完整的曲面。4、求图像的极值点，并通过这些极值点对图像进行插值。实验内容1、求函数3实验准备1、计算多元函数的极值对于多元函数的极值问题，根据多元函数极值的必要条件和充分条件，可分为以下几个步骤：（2）求解正规方程得到驻点；（1）定义多元函数；实验准备1、计算多元函数的极值（2）求解正规方程4实验四-多元函数的极值课件5

2.计算二元函数在区域D内的最大值和最小值

设函数z=f(x,y)在有界区域D上连续，则f(x,y)在D上必定有最大值和最小值。求f(x,y)在D上的最大值和最小值的一般步骤为：计算f(x,y)在D内所有驻点处的函数值；b)计算f(x,y)在D的各个边界线上的最大值和最小值；c)将上述各函数值进行比较，最终确定出在D内的最大值和最小值。2.计算二元函数在区域D内的最大值和最小值6求函数偏导数的MATLAB命令

MATLAB中主要用diff求函数的偏导数。diff(f,x,n)求函数f关于自变量x的n阶导数。实验方法与步骤练习1、求函数的极值点和极值。MATLAB中主要用diff求函数的偏导数。diff7练习1、求函数的极值点和极值。clear;symsxyzxzy;z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;zx=diff(z,x);zy=diff(z,y);首先用diff命令求z关于x,y的偏导数Ex4_1结果为zx=4*x^3-8*y，zy=-8*x+4*y练习1、求函数8其次，求解正规方程，得到驻点的坐标一般方程组的符号解用solve命令，当方程组不存在符号解时，solve将给出数值解。求解正规方程的matlab代码为:clear;[x1,y1]=solve('4*x^3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y');Ex4_2得到三个驻点，分别为(-2,-4)，(0,0)，(2,4)其次，求解正规方程，得到驻点的坐标一般方程组的符号解用sol9下面再求判别式中的二阶偏导数:clear;symsxy;z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;A=diff(z,x,2)B=diff(diff(z,x),y)C=diff(z,y,2)运行结果为：A=12*x^2B=-8C=4Ex4_3下面再求判别式中的二阶偏导数:clear;运行结果为：A=110最后，对于点（-2，-4），（0，0）和（2，4）分别判别是否是极值点Ex4_4clear;N=input('pleaseinputpointsnumber,N=');fori=1:Nx=input('x=');y=input('y=');A=12*x^2;B=-8;C=4;p=A*C-B*B;最后，对于点（-2，-4），（0，0）和（2，4）分别判别是11

ifp==0disp('无法判别')elseifand(p>0,A>0)disp('极小值点,极小值是')fmin=x^4-8*x*y+2*y^2-3elseifand(p>0,A<0)disp('极大值点,极大值是')fmax=x^4-8*x*y+2*y^2-3elseif(p<0)disp('不是极值点')endend由判别法可知(-2,-4)和(2,4)都是函数的极小值点，而点(0,0)不是极值点。由判别法可知(-2,-4)和(2,4)都是函数的极小12练习2、求函数在条件下的极大值。构造Lagrange函数求Lagrange函数的极值。先求关于的一阶偏导数，相应的matlab代码为Ex4_5练习2、求函数在条件13clear;symsxyk;L=x*y+k*(x+y-1);Lx=diff(L,x)Ly=diff(L,y)Lk=diff(L,k)运行得到Lx=y+kLy=x+kLk=x+y-1解正规方程，clear;[x1,y1,k1]=solve(‘y+k=0’,’x+k=0’,’x+y-1=0’，’x’,’y’,’k’);

所以，极大值点为（1/2，1/2），极大值点为1/4clear;运行得到Lx=y+k解正规方程，clear;所14练习3抛物面被平面截成了一个椭圆，求这个椭圆到原点的最长距离与最短距离。

在条件及下的最大值和最小值。构造Lagrange函数求Lagrange函数的极值。先求关于的一阶偏导数，相应的matlab代码为这个问题实际上就是求函数Ex4_6练习3抛物面被平15clear;symsxyzuv;l=x^2+y^2+z^2+u*(x^2+y^2-z)+v*(x+y+z-1);diff(l,x)diff(l,y)diff(l,z)diff(l,u)diff(l,v)再解正规方程得Ex4_7clear;得Ex4_716即得Lagrange函数的驻点，所求的条件极值点必在其中得到。由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数f在有界闭集上连续，从而存在最大值与最小值），故由可得椭圆到原点的最长距离为，最短距离为。得即得Lagrange函数的驻点，所求的条件极值点必在其中得到17练习4已知曲面上一些点(2,2,80)，(3,2,82)，(4,2,84）(0,3,79)，(2,3,61)，(3,3,65)，(0,4,84)，(1,4,84)，(4,4,86)，将这些点用二元函数插值的方法画出完整的曲面。首先看这些原始数据的柄图数据是残缺不全的，需要用插值的方法画出完整的曲面练习4已知曲面上一些点(2,2,80)，(3,2,818clear;x=[2,3,4,0,2,3,0,1,4];y=[2,2,2,3,3,3,4,4,4];z=[80,82,84,79,61,65,84,84,86];stem3(x,y,z);%画柄图命令title('Rawdata');xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')Ex4_8画柄图的MATLAB命令clear;Ex4_8画柄图的MATLAB命令19插值的MATLAB命令interp1(x,y,xi,’method’)或interp1(x,y,xi)是一维插值函数，其中x,y是已存在的数据，xi是要插入其中的数据点。method是：nearnest(最近点插值)、linear(线性插值)、cubic(三次分段插值)、spline(三次样条插值)，缺省是linear。插值的MATLAB命令interp1(x,y,xi,’met20interp2(x,y,z,xi,yi,’method’)或interp1(x,y,z,xi,yi)是二维插值函数，其中x,y是已有二维数据，z是由x,y决定的数值，xi,yi是已知的一对数值，通过插值来找到相应的zi值。参数method有：nearest、bilinear、bicubic、spline。griddata(x,y,z,xi,yi,’method’)或griddata(x,y,z,xi,yi)也是二维插值函数，与interp2相似，不同之处在于：Interp2严格要求x,y单调；而griddate可以处理不规则数据interp2(x,y,z,xi,yi,’method’)21

对上面数据用插值的方法画出完整的曲面，相应的matlab程序代码如下：xi=0:0.2:3;yi=2:0.2:4;%选定x,y的范围[X,Y]=meshgrid(xi,yi);%产生网格向量X,YZ=griddata(x,y,z,X,Y,'cubic');%'cubic'采用三角形三次插值mesh(X,Y,Z);title('Griddata');xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')Ex4_9对上面数据用插值的方法画出完整的曲面，相应的22实验四-多元函数的极值课件23练习5求图像的极值点，并通过这些极值点对图像进行插值。B=imregionalmax(A)，求A的所有局部极大值点，B是二值图像B=imregionalmin(A)，求A的所有局部极小值点，B是二值图像问题：为什么要求图像的极值点？Ex4_12练习5求图像的极值点，并通过这些极值点对图像进行插值。24clearall;I=imread('horseriding.bmp');I=double(I);[row,col]=size(I);t1=clock;%*****************************************Imax=imregionalmax(I);Imin=imregionalmin(I);Imax=double(Imax);Imin=double(Imin);clearall;25[Nmax,xmax,ymax,zmax]=extremanum(I,Imax);[Nmin,xmin,ymin,zmin]=extremanum(I,Imin);%**********************************************xr=1:row;yr=1:col;[x1,y1]=meshgrid(xr,yr);u=griddata(xmax',ymax',zmax',x1',y1','cubic');v=griddata(xmin',ymin',zmin',x1',y1','cubic');

[Nmax,xmax,ymax,zmax]=extreman26%-------------------display----------------------figure(1);subplot(221);imshow(uint8(I));axisoffsubplot(222);imshow(uint8(u));axisoffsubplot(223);imshow(uint8(v));axisoff

%********************************************t=etime(clock,t1)%-------------------display---27function[Num,x,y,z]=extremanum(I,Ima)width=size(Ima,2);height=size(Ima,1);k=1;forh=1:heightforw=1:width

ifIma(h,w)==1x(k)=h;y(k)=w;z(k)=I(h,w);k=k+1;endendendNum=k-1;function[Num,x,y,z]=extreman28实验四-多元函数的极值课件29动画效果动画生成的步骤创建帧矩阵—————moviein对动画中的每一帧生成图形，并把它们放到帧矩阵中————getframe从帧矩阵中回放动画动画效果动画生成的步骤30moviein、getframe、movie指令x=-8:0.5:8;[XX,YY]=meshgrid(x);r=sqrt(XX.^2+YY.^2)+eps;Z=sin(r)./r;surf(Z);%画出祯theAxes=axis;%保存坐标值，使得所有帧都在同一坐标系中moviein、getframe、movie指令31fmat=moviein(20);%创建动画矩阵，保存20祯forj=1:20;%循环创建动画数据surf(sin(2*pi*j/20)*Z,