“空间向量与立体几何”备考进行时(全文)

精品文档-下载后可编辑“空间向量与立体几何”备考进行时(全文)在江苏新课标高考中，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明线线、线面、面面的平行与垂直，以及空间角（线线角、线面角、面面角）与距离的求解问题，历来是附加题命题的热点，难度中等.那么立体几何中的空间向量法主要涉及哪些问题呢？

一、利用向量证明平行与垂直

例1如图所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，点M在PB上，PB=4PM，PB与平面ABCD成30°的角.

（1）求证：CM∥平面PAD;

（2）求证：平面PAB平面PAD.

分析：（1）建立空间直角坐标系，证明向量CM与平面PAD的法向量垂直.（2）取AP的中点E，利用向量证明BE平面PAD即可.

证明：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.

PC平面ABCD，

∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，

∠PBC=30°.

PC=2，BC=23，PB=4.

D（0，1，0），B（23，0，0），A（23，4，0），P（0，0，2），M（32，0，32），

DP=（0，-1，2），DA=（23，3，0），CM=（32，0，32），

（1）令n=（x，y，z）为平面PAD的一个法向量，则DP・n=0，

DA・n=0，

即-y+2z=0，

23x+3y=0，z=12y，

x=-32y，

令y=2，得n=（-3，2，1）.

n・CM=-3×32+2×0+1×32=0，

nCM，

又CM平面PAD，CM∥平面PAD.

（2）取AP的中点E，并连接BE，则E（3，2，1），BE=（-3，2，1），

PB=AB，BEPA.

又BE・DA=（-3，2，1）・（23，3，0）=0，

BEDA，则BEDA.

PA∩DA=A.BE平面PAD，

又BE平面PAB，平面PAB平面PAD.

评注：（1）证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证明直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可.证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明.

二、利用空间向量求线线角、线面角

例2如图，已知点P在正方体ABCDA′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°.

（1）求DP与CC′所成角的大小;

（2）求DP与平面AA′D′D所成角的大小.

分析：由正方体的几何特征，易于建立空间坐标系，关键在于求直线DP的一个方向向量，可延长DP交D′B′于点H，可转化为向量DH的坐标.

解：如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，建立空间直角坐标系Dxyz，

设正方体棱长为1，则DA=（1，0，0），CC1=（0，0，1）.连接BD，B′D′，在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.

设DH=（m，m，1）（m>0），由已知〈DH，DA〉=60°，

由DA・DH=|DA||DH|cos〈DH，DA〉，可得2m=2m2+1.

解得m=22，所以DH=（22，22，1）.

（1）因为cos〈DH，CC′〉=22×0+22×0+1×11×2=22，

所以〈DH，CC′〉=45°.即DP与CC′所成的角为45°.

（2）平面AA′D′D的一个法向量是DC=（0，1，0）.

因为cos〈DH，DC〉=22×0+22×1+1×01×2=12，所以〈DH，DC〉=60°.

可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.

评注：1.用向量法求线线角，线面角的一般步骤为：①建立恰当的空间直角坐标系;②求出相关点坐标，写出相关向量坐标;③结合公式进行计算.解本题的关键在于求向量DH的坐标，根据向量平行，求向量DH，简化了解题过程.

2.（1）异面直线所成角θ（0°

三、利用向量求二面角

例3如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，AB∥DC，ABAD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点.

（1）证明B1C1CE;

（2）求二面角B1CEC1的正弦值;

（3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为26，求线段AM的长.

分析：由条件特征，易建立空间坐标系，方便运用向量求解.（1）利用向量证明B1C1・CE=0;（2）求平面B1CE与平面CEC1的法向量，进而求二面角的正弦值;（3）设出EM=λEC1，根