2022-2023学年山东省泰安市宁阳县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

第第页2022-2023学年山东省泰安市宁阳县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）2022-2023学年山东省泰安市宁阳县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.要使式子有意义，则的取值范围是()

A.B.C.且D.且

2.如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点，，顶点在轴正半轴上，则点的坐标为()

A.B.C.D.

3.下列运算正确的是()

A.B.

C.D.

4.若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为()

A.B.C.或D.或

5.如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是()

A.B.

C.D.

6.大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是()

A.

B.

C.

D.

7.如图，在矩形中，点在上，且平分，，，则的长为()

A.

B.

C.

D.

8.已知，为一元二次方程的两根，那么的值为()

A.B.C.D.

9.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上则的值是()

A.

B.

C.

D.

10.如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的长为()

A.

B.

C.

D.

11.现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在地的北偏东方向，那么，两地的距离为()

A.千米

B.千米

C.千米

D.千米

12.如图，在中，，点是的中点，延长至点，使得，过点作于点，为的中点，给出结论：

；

；

；

．

其中正确的有个．()

A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.计算：______．

14.若关于的方程有实数根，则的取值范围是______．

15.已知，若，则______．

16.如图，在中，，，，于点，是的中点，则的长为______．

17.分如图，菱形的对角线相交于点，，，点为边上一点，且不与写、重合．过作于，于，连接，则的最小值等于____．

18.如图，，，，，在边上取点，使得与相似，则满足条件的长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分

计算下列各题：

；

；

．

20.本小题分

用适当的方法解下列方程；

；

．

21.本小题分

王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡比为：点、、在同一水平线上．

求王刚同学从点到点的过程中上升的高度；

求大树的高度结果保留根号．

22.本小题分

某种商品的标价为元件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为元件，并且两次降价的百分率相同．

求该种商品每次降价的百分率；

若该种商品进价为元件，若以元件售出，平均每天能售出件，另外每天需支付其他各种费用元，在每件降价幅度不超过元的情况下，若每件降价元，则每天可多售出件，如果每天盈利元，每件应降价多少元？

23.本小题分

如图，菱形的对角线与交于点，于点，交于点，于点．

判断四边形的形状，并写出证明过程．

若，，求的长．

24.本小题分

如图，在中．，于，作于，是中点，连交于点．

求证：；

若，，求的值．

25.本小题分

已知点是线段的中点，点是直线上的任意一点，分别过点和点作直线的垂线，垂足分别为点和点，我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．

猜想验证如图，当点与点重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”和的数量关系是．

探究证明如图，当点是线段上的任意一点时，“足中距”和的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

拓展延伸如图，当点是线段延长线上的任意一点时，“足中距”和的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

若，求证：．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由题意得，

且，

即且，

故选：．

根据分子的被开方数不能为负数，分母不能为零，可得答案．

本题考查二次根式有意义，分式有意义的条件，掌握被开方数是非负数以及分母不等于是正确解答的关键．

2.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

由菱形的性质得出，得出点的横坐标为，由，，利用勾股定理求出点的纵坐标，即可求得点的坐标．

【解答】

解：菱形的顶点，，

，，

，

点的坐标为

故选：．

3.【答案】

【解析】解：，故A正确，符合题意；

，故B错误，不符合题意；

，故C错误，不符合题意；

与不是同类二次根式，不能合并，故D错误，不符合题意；

故选：．

根据二次根式的运算法则逐项判断即可．

本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．

4.【答案】

【解析】解：把代入方程，得，

解得：或，

当时，此方程不是关于的一元二次方程，

故．

故选：．

把代入方程，解方程即可求解．

本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，一元二次方程的定义，讨论当时，此方程不是关于的一元二次方程是解决本题的关键．

5.【答案】

【解析】解：在三角形纸片中，，，，

A.因为，对应边，，

所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，

故此选项不符合题意；

B.因为，对应边，又，

所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，

故此选项符合题意；

C.因为，对应边，

即：，

所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，

故此选项不符合题意；

D.因为，对应边，，

所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，

故此选项不符合题意；

故选：．

根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．

此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题的关键．

6.【答案】

【解析】解：为的黄金分割点，，

，

故选：．

利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．

本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：四边形为矩形，

，，，

，，

，

，

，

，

平分，

，

，

，

，

，

故选：．

在中可求得的长，由角平分线的定义和平行的性质可证得，则可求得的长，则可求得的长．

本题主要考查矩形的性质，根据条件证得是解题的关键．

8.【答案】

【解析】解：为一元二次方程的根，

，即，

，为一元二次方程的两根，

，

．

故选：．

先根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．

本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解．

9.【答案】

【解析】解：延长至格点，连接，如图，

由题意得：

，，，

，

，

．

故选：．

延长至格点，连接，利用勾股定理及其逆定理得到为直角三角形，，在中，利用直角三角形的边角关系定理解答即可．

本题主要考查了解直角三角形，直角三角形的边角关系定理，延长至格点，连接，利用勾股定理及其逆定理得到为直角三角形是解题的关键．

10.【答案】

【解析】解：连接，

，点为的中点，

，

又，

，

由折叠知，对应点的连线必垂直于对称轴，

，

则，

，

，

．

故选：．

连接，根据三角形的面积公式求出，得到，根据直角三角形的判定得到，根据勾股定理求出答案．

本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．

11.【答案】

【解析】解：如图所示，过点作于，

由题意得，，，

，

，

，

，，

千米，，

千米，

千米，

故选：．

图所示，过点作于，由题意得，，，利用三角形内角和定理求出，再求出，，得到千米，，利用勾股定理求出千米，即可利用勾股定理求出的长．

本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含度角的直角三角形的计算，方位角的表示，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

12.【答案】

【解析】解：延长交于，作于，

，，

，

故不符合题意；

，，

，

，

，

故符合题意；

，，，

≌，

，

，

，

故符合题意；

，

，

，

故符合题意，

故选：．

构造全等三角形，应用三角形中位线定理，即可求解．

本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是灵活应用这些知识点．

13.【答案】

【解析】解：根据题意，知：且．

所以，

所以．

故答案为：．

根据二次根式的被开方数是非负数求得，然后将的值代入所求的代数式求值即可．

本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

14.【答案】

【解析】解：当时，，解得：；

当时，此方程是一元二次方程，

关于方程有实根，

，解得，

由和得，的取值范围是．

故答案为：．

由于的取值不确定，故应分此时方程化简为一元一次方程和此时方程为二元一次方程两种情况进行解答．

本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．同时解答此题时要注意分和两种情况进行讨论．

15.【答案】

【解析】解：，

，，，

，

．

故答案为：．

根据已知等式可得，，，再根据即可得．

本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．

16.【答案】

【解析】解：，，

，

是的中点，，

，

为等边三角形，

，

．

故答案为：．

利用三角形的内角和定理可得，由直角三角形斜边的中线性质定理可得，利用等边三角形的性质可得结果．

本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握定理是解答此题的关键．

17.【答案】略

【解析】解：连接，如图所示：

四边形是菱形，，，

，，，

，

，，，

四边形是矩形，

，

当时，有最小值，

此时，

，

的最小值为，

故答案为：．

由菱形的性质可得，，，再由勾股定理可求的长，然后证四边形是矩形，得，时，有最小值，最后由面积法可求解．

本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理以及三角形面积等知识；掌握菱形的性质好矩形的判定与性质是解题的关键．

18.【答案】或或

【解析】解：

若∽

则

解得．

若∽

则

解得或．

则满足条件的长为或或．

故答案为：或或．

根据相似三角形的性质分两种情况列式计算：若∽若∽．

本题考查了相似三角形的判定与性质，明确相关判定与性质及分类讨论，是解题的关键．

19.【答案】解：原式

；

原式

；

原式

．

【解析】从左到右依次计算即可；

先算乘方，乘法，再算加减即可；

先算乘除，再算加减即可．

本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．

20.【答案】解：方程整理得：，

配方得：，即，

开方得：，

解得：，；

分解因式得：，

所以或，

解得：，．

【解析】方程利用配方法求出解即可；

方程利用因式分解法求出解即可．

此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．

21.【答案】解：过点作于点．

由题意知：，

．

又，，

即，

米．

答：王刚同学从点到点的过程中上升的高度为米．

过点作于点，

，

．

设大树高为．

，

，，．

又，

，即，解得．

经检验，是原方程的根且符合题意．

答：大树的高度是．

【解析】作于，解，即可求出；

过点作于点，设米，用含的代数式表示出、，根据列出方程，解方程得到答案．

本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度比问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念、坡度比的概念．

22.【答案】解：设该种商品每次降价的百分率为，

依题意，得：，

解得：，不合题意，舍去，

答：该种商品每次降价的百分率为；

设每件商品应降价元，根据题意，得：

，

解方程得，，

在降价幅度不超过元的情况下，

不合题意舍去．

答：每件商品应降价元．

【解析】设该种商品每次降价的百分率为，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；

关系式为：每件商品的盈利原来的销售量增加的销售量每天盈利，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．

此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．

23.【答案】解：四边形是矩形，

证明：，，

，

四边形是菱形，

，

，

，

四边形是矩形，

如图，连接，

四边形是菱形，

垂直平分，

，

由知，四边形是矩形，

，

设，则，

在中，由勾股定理得：，

解得：，

．

故答案为：．

【解析】根据菱形的性质和矩形的判定解答即可；

根据菱形的性质和矩形的性质得出，进而利用勾股定理解答即可．

此题考查菱形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解题的关键．

24.【答案】证明：于，作于，

，

，

∽