2021-2022学年江苏省镇江市丹徒区太中中学高二数学文下学期期末试题含解析

2021-2022学年江苏省镇江市丹徒区太中中学高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）的定义域为R，且x3f（x）+x3f（﹣x）=0，若对任意x∈[0，+∞）都有3xf（x）+x2f'（x）＜2，则不等式x3f（x）﹣8f（2）＜x2﹣4的解集为（）A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣4，4） D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数h（x）=x3f（x）﹣2x，根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集即可．【解答】解：令h（x）=x3f（x）﹣2x，则h′（x）=x[3xf（x）+x2f'（x）﹣2]，若对任意x∈[0，+∞）都有3xf（x）+x2f'（x）＜2，则h′（x）≤0在[0，+∞）恒成立，故h（x）在[0，+∞）递减，若x3f（x）+x3f（﹣x）=0，则h（x）=h（﹣x），则h（x）在R是偶函数，h（x）在（﹣∞，0）递增，不等式x3f（x）﹣8f（2）＜x2﹣4，即不等式x3f（x）﹣x2＜8f（2）﹣4，即h（x）＜h（2），故|x|＞2，解得：x＞2或x＜﹣2，故不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查转化思想，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．2.若对于任意实数，有，则的值为（

）A．3

B．6

C．9

D．12参考答案：B试题分析：先令

得：

；再令

得：①

；最后令得：②

；将①②相加得：，解得

.故选B．考点：二项式定理与性质.3.曲线y=x3﹣3x和直线y=x所围成图形的面积是（）A．4 B．8 C．9 D．10参考答案：B【考点】67：定积分．【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为2，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可；【解答】解：曲线y=x3﹣3x与y=x的交点坐标为（0，0），（2，2），（﹣2，﹣2）根据题意画出图形，曲线y=x3﹣3x和直线y=x围成图形的面积S=2[x﹣（x3﹣3x）]dx=2（4x﹣x3）dx=2（2x2﹣x4）|=2（8﹣4）=8，故选：B．4.已知函数f0（x）=sinx+cosx，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…fn+1（x）=f′n（x），n∈N*，那么f2017(x)=（

）

A、cosx﹣sinx

B、sinx﹣cosx

C、sinx+cosx

D、﹣sinx﹣cosx参考答案：A【考点】导数的运算

【解析】【解答】解：根据题意，∵f0（x）=sinx+cosx，∴f1（x）=f0′（x）=cosx﹣sinx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx﹣cosx，f3（x）=﹣cosx+sinx，f4（x）=sinx+cosx，以此类推，可得出fn（x）=fn+4（x）∴f2017（x）=f504×4+1（x）=f1（x）=cosx﹣sinx；故选：A【分析】根据题意，利用导数的运算法则依次计算f1（x）、f2（x）、f2（x）…的值，分析可得fn+4（x）=fn（x），即可得f2017（x）=f504×4+1（x）=f1（x），即可得答案．

5.已知三棱锥P-ABC中，，AB=3，AC=4，,，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为A．16

B．28

C．64

D．96参考答案：C6.x为实数，[x]表示不超过x的最大整数(如[－1.5]＝－2，[0]＝0，[2.3]＝2)，则关于函数f(x)＝x－[x]，x∈R的说法不正确的是A.函数不具有奇偶性B.x∈[1,2)时函数是增函数C.函数是周期函数D.若函数g(x)＝f(x)－kx恰有两个零点，则k∈(－∞，－1)∪参考答案：D画出函数f(x)＝x－[x]的图像如图，据图可知选D.7.四面体ABCD中，设M是CD的中点，则化简的结果是

A．

B．

C．

D．

参考答案：A略8.如图，为测量塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两点C、D，在C、D两点处测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又测得∠CBD=30°，CD=50米，则塔高AB=（）A．50米 B．25米 C．25米 D．50米参考答案：A【考点】解三角形的实际应用．【分析】设AB=am，则BC=am，BD=am，根据∠CBD=30°，CD=50米，利用余弦定理建立方程，即可得出结论．【解答】解：设AB=am，则BC=am，BD=am，∵∠CBD=30°，CD=50米，∴2500=a2+3a2﹣2a，∴a=50m．故选A．9.直线的斜率是(

)A.

B. C.

D.参考答案：A10.设等比数列的公比q=2，前项和为，则=（

）A.2

B.4

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数z满足方程，则z=______．参考答案：-1-i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由1﹣i?z＝i，得iz＝1﹣i，则z．故答案为﹣1﹣i．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．12.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有

（用数字回答）参考答案：

36

略13.若命题P：?x∈R，x2﹣x+≤0，则￢p：．参考答案：?x∈R，x2﹣x+＞0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是：?x∈R，x2﹣x+＞0，故答案为：?x∈R，x2﹣x+＞014.已知两个正数，可按规则扩充得到一个新数，在桑格数中取较大的数，按上述规则扩充得到一个新书，一次进行下去，将每次扩充一次得到一个新数，称为一次操作，若，按实数规则操作三次，扩充所得的数是

参考答案：25515.若，则__________．参考答案：【分析】先由求出，再根据换底公式，即可求出结果.【详解】因为，所以，，因此，，所以.故答案为【点睛】本题主要考查对数运算，熟记对数运算法则，换底公式等即可，属于常考题型.16.已知﹣=，则C21m=

．参考答案：210【考点】D5：组合及组合数公式．【分析】由组合数性质得﹣=，由此求出m，进而能求出结果．【解答】解：∵﹣=，∴﹣=，化简，得：6×（5﹣m）!﹣（6﹣m）!=，6﹣（6﹣m）=，∴m2﹣23m+42=0，解得m=2或m=21（舍去），∴=210．故答案为：210．17.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．参考答案：π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】几何体是圆柱与圆锥的组合体，根据三视图判断圆锥与圆柱的底面半径及高，把数据代入棱柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是圆柱与圆锥的组合体，圆锥与圆柱的底面直径都为2，圆锥的高为1，圆柱的高为2，∴几何体的体积V=π×12×2+×π×12×1=π．故答案为：π．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（是自然对数的底数，为常数）．（1）若函数，在区间[1,+∞)上单调递减，求的取值范围．（2）当时，判断函数在(0,1)上是否有零点，并说明理由．参考答案：见解析．解：（）由得，∴，即，∴，∴，；∴，∴在上单调递减，又在上单调递减；∴，∴，即实数的取值范围是．（）假设函数在区间上有零点，即存在，使得，即，记．①若，则，即，由于，有，即证在上恒成立，令，，则，，当时，，当时，，∴当时，单调递减，当时，单调递增．而，，，∴在上存在唯一的实数，使得，∴在上单调递增，在上单调递减，而，，∴在上恒成立，即恒成立，②若，则，即，由于，有，即证在恒成立，令，则，，当，，单调递减；当，，单调递增，而，，∴在上存在唯一的实数，使得，∴在上单调递减，在上单调递增，又，，故在上成立，即成立，综上所述，当时，函数在区间上有零点．19.已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是k1，k2且．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N．①若OM⊥ON（O为坐标原点），证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值②若直线BM，BN的斜率都存在并满足，证明直线l过定点，并求出这个定点．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；恒过定点的直线；圆锥曲线的轨迹问题．【分析】（1）利用斜率计算公式即可得出；（2）把直线l的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，①利用OM⊥ON?x1x2+y1y2=0即可得到k与m的关系，再利用点到直线的距离公式即可证明；②利用斜率计算公式和根与系数的关系即可得出k与m的关系，进而证明结论．【解答】解：（1）由题意得，（x≠±2），即x2+4y2=4（x≠±2）．∴动点P的轨迹C的方程是．（2）设点M（x1，y1），N（x2，y2），联立，化为（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∴△=64k2m2﹣16（m2﹣1）（1+4k2）=16（1+4k2﹣m2）＞0．∴，．∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，①若OM⊥ON，则x1x2+y1y2=0，∴，∴，化为，此时点O到直线l的距离d=．②∵kBM?kBN=﹣，∴，∴x1x2﹣2（x1+x2）+4+4y1y2=0，∴+，代入化为，化简得m（m+2k）=0，解得m=0或m=﹣2k．当m=0时，直线l恒过原点；当m=﹣2k时，直线l恒过点（2，0），此时直线l与曲线C最多有一个公共点，不符合题意，综上可知：直线l恒过定点（0，0）．20.（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？参考答案：

（I）当时，，

…………………2分

令时，解得，所以在（0，1）上单调递增；

……4分

令时，解得，所以在（1，+∞）上单调递减．………6分（II）因为函数的图象在点（2，）处的切线的倾斜角为45o，

所以．

所以，．………………8分

，

，

……………10分

因为任意的，函数在区间上总存在极值，

所以只需

……………………12分

解得．

………14分21.已知函数.（1）讨论f(x)在(1,+∞)上的单调性；（2）若对恒成立，求正整数a的最小值.参考答案：（1），当时，在上单调递增.当或时，，在单调递减.当且时，令，得；令，得.∴在上单调递增，在上单调递减.（2）∵对恒成立.∴，解得或，则正整数的最小值为.下面证明当时，对恒成立，过程如下：当时，令，得；令，得.故，从而对恒成立.故整数的最小值为5.22.如图，椭圆：（）和圆：，已知圆将椭圆的长轴三等分，椭圆右焦点到右准线的距离为，椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点、．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线、分别与椭圆相交于另一个交点为点、.①求证：直线经过一定点；②试问：是否存在以为圆心，为半径的圆，使得直线和直线都与圆相交？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由。

参考答案：（Ⅰ）依题意，，则，∴，又，∴，则，∴椭圆方程为．…………4分（Ⅱ）①由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则：，由得或∴，………………6分用去代，得，方法1：，∴：，即，∴直线经过定点．方法2：作直线关于轴的对称直线，此时得到的点、关于轴对称，则与