北京清河第三中学高二数学理上学期期末试题含解析

北京清河第三中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线y2=2px上一点Q（6，y0），且知Q点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是(

)A．4 B．8 C．12 D．16参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由于Q点到焦点的距离为10，利用弦长公式可得，解得p．即为焦点到准线的距离．【解答】解：∵Q点到焦点的距离为10，∴，解得p=8．∴焦点到准线的距离=p=8．故选：B．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、弦长公式，属于基础题．2.由曲线与直线，围成封闭图形的面积为（

）A．

B．4

C.

D．6参考答案：A3.已知双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为（

）A.－2

B.

C.1

D.0参考答案：A4.已知函数,,设函数，且函数的零点均在区间内，则的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C5.已知某几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣π B．24﹣ C．24﹣ D．24﹣参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】转化思想；空间位置关系与距离．【分析】该几何体由一个长方体挖去一个半圆柱得到的．【解答】解：该几何体由一个长方体挖去一个半圆柱得到的．∴该几何体的体积V=2×3×4﹣3=24﹣．故选：C．【点评】本题考查了三棱锥的三视图与体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.在空间中，下列命题正确的是（）A．经过三个点有且只有一个平面B．经过一个点和一条直线有且只有一个平面C．经过一条直线和直线外一点的平面有且只有一个D．经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A中，经过不在一条直线上的三个点有且只有一个平面；B中，经过直线外一个点和这条直线有且只有一个平面；C中，根据平面公理2知，经过一条直线和直线外一点的平面有且只有一个；D中，点在直线上和点不在直线上时，经过该点且与这条直线平行的平面可能存在，也可能不存在．【解答】解：对于A，经过不在一条直线上的三个点有且只有一个平面，故A错误；对于B，经过直线外一个点和这条直线有且只有一个平面，故B错误；对于C，根据平面公理2知，经过一条直线和直线外一点的平面有且只有一个，命题正确；对于D，当点在直线上时，经过该点且与这条直线平行的平面不存在，当点不在直线上时，经过该点且与这条直线平行的平面有无数个，故D错误．故选：C．7.如图所示的算法流程图中，第3个输出的数是（）A．1 B．2 C． D．参考答案：B【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】根据框图的结构，依次计算循环体运行的N与A的值，即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：A=1，N=1，循环体第一次运行，输出第一个数1，N=2，满足条件N≤5，A=，输出第二个数为，N=3，满足条件N≤5，A=2，输出第三个数为2，N=4，…故输出第三个数为2．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，正确判断程序终止的条件是关键，属于基础题．8.已知,则正确的结论是(

)A. B. C. D.大小不确定参考答案：B【详解】因为，，又，则．9.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下父亲身高x（cm）174176176176178儿子身高y（cm）175175176177177则y对x的线性回归方程为（）A．y=x﹣1 B．y=x+1

C．y=88+x D．y=176参考答案：C【考点】线性回归方程．【分析】求出这组数据的样本中心点，根据样本中心点一定在线性回归直线上，把样本中心点代入四个选项中对应的方程，只有y=88+x适合，得到结果．【解答】解：∵=176，=176，∴本组数据的样本中心点是，根据样本中心点一定在线性回归直线上，把样本中心点代入四个选项中对应的方程，只有y=88+x适合，故选C．10.函数y=x2－lnx的单调递减区间为（

）A．(－1,1]

B．(0,1] C．[1,+∞)

D．(0,+∞)参考答案：B∵,∴,由，解得，又，∴故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是参考答案：12.在中，分别是三内角的对边，且，则角等于_______参考答案：13.

某地区为了了解70～80岁老人的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位老人进行调查．下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表.

序号(I)分组(睡眠时间)组中值(GI)频数(人数)频率(FI)1[4,5)4.560.122[5,6)5.5100.203[6,7)6.5200.404[7,8)7.5100.205[8,9]8.540.08在上述统计数据的分析中，一部分计算见流程图，则输出的S的值是________．参考答案：6.4214.若球O的球面上共有三点A、B、C，其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的，经过A、B、C这三点的小圆周长为4π，则球O的体积为

．参考答案：288π【考点】球的体积和表面积．【分析】由条件：“经过A、B、C这三点的小圆周长为4π，”得出正三角形ABC的外接圆半径r=2，再结合球的性质知：三角形ABC的外接圆半径r、球的半径、球心与三角形ABC的外接圆的圆心的连线构成直角三角形，再利用直角三角形的勾股定理，解出球半径R，即可求出球O的体积．【解答】解：因为正三角形ABC的外径r=2，故高AD=3，D是BC的中点．在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=，所以BC=BO=R，BD=BC=R．在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB2=BD2+AD2，得R2=R2+27，所以R=6则球O的体积为：V==288π．故答案为：288π．15.

参考答案：剩下的几何体是棱柱，截去的几何体也是棱柱；它们分别是五棱柱和三棱柱．16.已知正三棱锥底面的三个顶点A、B、C在球的同一个大圆上，点P在球面上，如果，则球的表面积是

参考答案：略17.曲线在处的切线方程为______________参考答案：3x-y-3=0略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）若，且，求证：参考答案：要证，只需证即，因，只需证即，

………………6分因为，则

………………10分因为，所以，从而所以．

………………13分19.（10分）如图，在极坐标系Ox中，是正三角形，其中，将沿极轴按顺时针方向滚动，点A从开始运动到第一次回到极轴上，其轨迹为G.（1）求曲线的极坐标方程；（2）求曲线与极轴所在直线围成的区域面积.

参考答案：(1)

(2)略20.设函数．（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线平行，求a；（Ⅱ）若在处取得极大值，求a的取值范围．参考答案：（Ⅰ）2（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）先对函数求导，求出得到曲线在点处的切线斜率，再由切线与直线平行，即可得出结果；（Ⅱ）根据，分别讨论，和两种情况，用导数方法研究函数单调性，结合函数极值点，即可得出结果.【详解】解：（Ⅰ）因为，所以．所以．由题设知，解得．此时．所以的值为2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．（1）当时令，则，或，并且．+00+↗极大值↘极小值↗

此时，在处取得极大值，符合题意．（2）当时若，则，，所以．所以不是的极大值点．综上可知，的取值范围是．21.（10分）直线:y=x-1与抛物线C:y2=2px(p>0)相交于A,B两点,且直线过C的焦点.(Ⅰ)求抛物线C的方程.(Ⅱ)若以AB为直径作圆Q,求圆Q的方程.参考答案：(Ⅰ)∵直线l:y=x-1过C的焦点F(,0),∴0=-1,解得p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x.(Ⅱ)联立解方程组消去y得x2-6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1x2=1,y1+y2=(x1-1)+(x2-1)=(x1+x2)-2=6-2=4,∴圆Q的圆心Q(,),即Q(3,2),半径r=+=+=4,∴圆Q的方程为(x-3)2+(y-2)2=16.22.已知函数．（1）讨论函数的单调区间；（2）当时，是否存在过点（1，－1）的直线与函数的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．参考答案：（1）由题意．

当时，函数的定义域为，，则，，则，此时函数在上是减函数，在上是增函数，当时，函数的定义域为，，则，，则，此时函数在上是减函数，在上是增函数。