夜大课件交流线性代数1 5行列式性质

§1.5

行列式的性质性质1性质2

、性质3、性质4性质5、性质6补充例题首页上页返回下页结束铃行列式的转置将行列式D的行变为列后得到的行列式称为D的转置行列式,记为DT.即a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…annD=a11

a21

…

an1a22

…

an2…

…

…

…a1n

a2n

…

ann,则DT=a12.则bij=aji(i,j=1,

2,,

n)

.显然,如果b11

b12

…

b1nb21

b22

…

b2nDT=

…

…

…

…bn1

bn2

…

bnn,下页性质1行列式D与它的转置行列式DT相等.>>>由此性质可知,行列式中的行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立,反之亦然.行列式的转置将行列式D的行变为列后得到的行列式称为D的转置行列式,记为DT.即a11

a12

…

a1na21

a22

…

a2nD=

…

…

…

…an1

an2

…

anna11

a21

…

an1a22

…

an2…

…

…

…a1n

a2n

…

ann,则DT=a12.下页性质2互换行列式的两行（列）,行列式>>变>号.推论如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零.这是因为,把这两行互换,有D=-D,故D=0.下页性质2互换行列式的两行,行列式变号.推论如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零.性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式.>>>推论行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.性质4行列式中如果有两行(列)元素成比例,则行列式等于零.下页a12

a1nbi2

binan2

anna12

a1n

a11ai2

ain

+

bi1an2

ann

an1a1n

a11ain

+bin

=

ai1ann

an1a12ai2

+bi2an2a11ai1

+bi1an1.性质5

若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和,则行列式等于两个行列式之和.即性质6

把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变.即a1nainanna11

a12ai1

ai2an1

an2anna12

ai2

+kaj2an2an1ain

+kajn

.=

ai1

+kaj1a1na11下页符号规定在计算行列式时,可以使用如下记号以便检查:交换i,j两行记作ri«rj,交换i,j两列记作ci«cj.第i行(或列)提出公因子k,记作ri‚k(或ci‚k).以数k乘第j行(列)加到第i行(列)上,记作ri+krj

(ci+kcj).下页=======-1

30

-8-142-6

r2«1r3

032-112-10

21-1

=======

0-84-60

16-27016-27=======8

-10

=======1

3

-1

20

2

1

-10

00 0

-10

151

3

-1

20

2

10

0 8

-100

0

0

5/2例1

计算

D

=31-12-513-4201-11-53-3.解D

=3

1

-1

2-5

1

3

-413-121-53-4201-1=======-021-11-53-3-513-3c1«

c2r2-r1r4+5r13r

+4r2r4-8r2344r

+

5

r-1

=40.下页.3111131111311113例2

计算

D

=31111311D

=解c1+c2+c3+c46

1

1

16

3

1

16=======1c

‚61131=============6131111361131

1

1

1

r2-r1

1

1

1

1==r====r=4-

111311311r3-r160020020011130002=6·8=48.下页=======D.da+b+c+d例3

计算

D

=

a6a+3b+c

10a

+6b+3c+d解r4-r3r3-r2a

b

ca+b

a+b+ca

2a+b

3a

+2b+c

4a+3b+2c+d

a

3a

+ba

b0

a0

a

2a+b0

a

3a+bc

da+b

a+b+c3a+2b+c6a+3b+cabcd0aa+ba+b+c00a2a+b00a3a+babcd0aa+ba+b+c00a2a+b00aa=======r2-r1r4-r3r3-r2=======r4-r3=a4.下页证

对D1作运算ri+krj,

把D1化为下三角形行列式,设为nnc11

c1kk1

kka11

a1k0

0a

a

0

0b11

b1nb

bcnk

n1cn1D

=,a1kaD

=11b

b,D

=ak1

akk

bn1

bnn1n111

2例4

证明D=D1

D2,其中对D2作运算ci+kcj,把D2化为下三角形行列式,设为pkk

;=

p11D1

=0p11pk1

pkkqnn

.=

q110q11qn1

qnnD2

=于是,对D

的前k

行作运算

ri+krj,再对后n列作运算ci+kcj,把

D化为下三角形行列式kkpc11

c1kk1p11D

=00000p

0q11cn1

cnk

qn1

qnnpkk

q11,故D=p11qnn=D1

D2.下页da

bc

dcbaa

bc

dD2n

=(-1)2(2n-2),根据例4的结果,有D2n=D2

D2(n-1)=(ad-bc)D2(n-1).以此作递推公式,即得D2n=(ad-bc)2D2(n-2)==(ad-bc)