2023年考研数学（二）真题

2023年全国硕士研究生统一入学考试数学(二)试题

一、选择题：1-10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的

请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

1.曲线y=xln(e+—匚)的斜近线方程为：

x-1

A.y=x+e

B1

.y=x+

e

C.y=x

D.y=x-^

e

I/,xw0

2.函数/(x)=JJl+x2的一个原函数为:

[(x+l)cosx,x>0

ln(Vl+x2-x),x<0

尸(x)=«

(x+1)cosx-sinx,x>0

ln(Vl+x2-x)+1,x<0

F(x)=■

(x+1)cosx-sinx,x>0

ln(Jl+x2+x),x<0

F(x)=«

(x+l)sinx+cosx,x>0

ln(71+x2+x)+l,x<0

F(x)='

(x+1)sinx+cosx,x>0

3.已知｛居｝,也｝满足：玉=凹=5，x“+]=sinx“,y.+|=呼(〃=1,2,…)，则当”->8吐

A.%是尤的高阶无穷小

B.以是血的高阶无穷小

C.当与北的等价无穷小

D.乙与乂是同阶但不等价的无穷小

4.已知微分方程成+即'+”=0的解在(—,+8)上有界，则的取值范围为

A.a<0,/?>0

B.a>O.b>0

C.a=0,/?>0

D.a=0,6<0

x=2z+111

5.设函数歹=f(x)由(।确定，贝ij

ly=|f|sin/

Aj(x)连续，A(0)不存在

B./(0)不存在，〃x)在x=0处不连续

C./(x)连续，1'(0)不存在

Dj”(0)存在，/'(x)在x=0处不连续

6.若函数-------在4=服处取得最小值.贝1」/=

x(lnx)

ln(ln2)

B.-In(ln2)

c.--L

In2

D.In2

7.设函数/(》)=俨+力心若f(x)没有极值点，但曲线V=/(x)有拐点，则。的取值范围是(

A.[0,1)B.[l,+oo)C.[1,2)>[2,+oo)

"(0胃…

8.设48为〃阶单位矩阵，“*为矩阵”的伴随矩阵

A佃⑹皿门伊P-/B*、

〔。班11。忸|川

C伽/叼(\B\A--A*B*、

[。即[Dl0

-

9.二次型/(%,%2，%3)=(玉+工2)~+(须+对)24(X2-与厂的规范形为()

2222222222

A.yt+y2B.yt-y2C.yt+y2-4)-3D.y,+y2-y3

(2\(2)

10.已知向量d=2a2=1氏=5若/既可由田,。2线性表示，也可由万上同

线性表示,则y=()

二、填空题：11〜16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.

11.当x->0时，函数/(X)=ax+加+ln(l+x)与g(x)=-cosx是等价无穷小，则ab

12.曲线y=「厂《3—adt的弧长为

13,设函数Z=Z(x,y)由，+xz=2x-y确定，则5Th])=______

14,曲线3d=j?+2y3在x=i对应点处的法线斜率为

15,设连续函数/(x)满足：〃x+2)—/(x)=x,£2/(x>/x=0\"f(x)dx=

，外J

aXj+x=1

3a01

X[+ax2+刍=0

16.已知线性方程组《有解，其中a,b为常数，若1a1=4,则

西+2X+ax=0

2312a

ax{+bx2-2

1a1

12a=

ab0

三、解答题：17〜22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤

16,设曲线L:y=y(x)(x>e)经过点(e2,0),L上任意一点P(x,y)到y轴的距离等于该点处的切线在y

轴上的截距

（1）求Mx）

（2）在L上求一点，使该点处切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积

18.（本题满分12分）

x2

求函数/（》））=坨叩+].

19.（本题满分12分）

已知平面区域。=，（x,y）|Ovyw-J,,x二1

、xy/1+x2

（1）求D的面积

（2）求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.

20.（本题满分12分）设平面有界区域。位于第一象限，由曲线V+/一盯=1,/+丁27y=2,与直

线歹==0围成，计算JJ—J-ydxdy.

D3X+»

21.（本题满分12分）设/（x）在卜凡可上具有2阶连续导数，证明：

（3）若/（0）=0,则存在d，a）,使得了"（?T[仆）+/（-。）]；

（4）若/（X）在（一兄。）内取得极值，则存在〃使得/"⑹二—|/（。）一/（一。）|

、（X]+X2+、

22.（本题满分12分）设矩阵/