电力系统的次同步振荡及轴系扭振课件

地区电网经济运行与自动化研究室1内容引言多质块弹性轴系感应发电机效应机电扭振互作用暂态力矩放大作用装置引起的次同步振荡简单系统中串补电容引起的SSO多机系统SSO的线性化数学模型SSO分析方法简介抑制SSO的对策与SSO监护1引言1930s，发现电容会引起发电机自激。当时认为是纯电气谐振问题，称之为“异步发电机效应”。1970s，美国Mohave电站发电机大轴2次被扭振破坏。揭示“机电扭振互作用”现象。后来发现故障发生时，会出现“暂态力矩放大”现象。

1977年以前，统称为：次同步谐振（SSR）。共同点在于存在电气谐振回路。1977年，无电容时依然出现扭振现象，其由HVDC及其控制系统引起，称之为“装置引起的次同步振荡”。

统称次同步扭振SSO（subsynchronousoscillation）。地区电网经济运行与自动化研究室21引言(续)SSO研究频率范围次同步：10－50Hz超同步：80－100HzSSO分析方法特点：不能采用工频准稳态电路轴系模型复杂发电机计及定子暂态（派克方程）网络用电磁暂态模型地区电网经济运行与自动化研究室32多质块弹性轴系

2.1双质块弹性轴系在低频振荡研究中，发电机大轴看作一个刚体。在SSO中，发电机大轴看作若干弹性连接的集中质量块，他们之间在同步旋转的同时还存在相对扭转振荡。地区电网经济运行与自动化研究室4图13.1弹性轴系示意图(a)双质块轴系；(b)六质块轴系2多质块弹性轴系

2.1双质块弹性轴系(续) 设双质块轴系如图13.1(a)所示，质块轴动惯性时间常数、转速、转子角分别为及，并设质块运动中无机械阻尼，质块连接处的弹性系数为，则在无外力作用时，两个质块各自自由运动标幺值方程为 将式(1)线性化，并化为矩阵形式的增量方程，则：

地区电网经济运行与自动化研究室5（1）（2）式中，

或

式(3)表明两个质块在扰动下，会作角频率为的相对扭振，在有阻尼时，将为衰减扭振。2多质块弹性轴系

2.1双质块弹性轴系(续)微分方程组(2)的特征方程为设，则上式为可解出地区电网经济运行与自动化研究室6（3） 式中，为转子两质块间相对运动角位移增量。则由式(4)可得 用作变量，系统降为二阶，则式(5)的特征根为 亦即两个质块间相对作角频之扭振，称为自然扭振频率。2多质块弹性轴系

2.1双质块弹性轴系(续)对式(3)作一简要讨论式(3)中的根是一对共轭复根，反映了轴系一旦受扰，扰动消失后两个质块可能相对作频率为的扭转振荡。 若将式(1)改写为(用作变量)

地区电网经济运行与自动化研究室7（4）（5）（6）2多质块弹性轴系

2.1双质块弹性轴系(续)式(5)和式(6)反映了，即与轴系刚度的平方根成正比；同时，，即与等值质块的惯性时间常数M的平方根成反比。式(6)跟单机无穷大系统的低频振荡频率计算式形式完全相同，只是低频振荡中K是单机和无穷大系统之间的同步力矩系数，反映了电气联接的紧密程度(“刚度”)。应当注意：低频振荡反映的是发电机的机轴作为一个刚体相对其他发电机刚体轴的摇摆，由于机械上不耦合，不存在扭振问题，只存在电气耦合而引起转子间的摇摆问题。由式(5)可知，只含有角频率为的自由扭转成分，而式(3)中的零重根，反映了轴系在无阻尼时，可作匀速旋转运动，而含有的成分，这时整个轴系作为一个刚体作旋转运动。地区电网经济运行与自动化研究室82多质块弹性轴系

2.1双质块弹性轴系(续)物理上常把称为轴系的“扭振模式”，而把称为共模(commonmode)，即轴系作为刚体相对系统的低频振荡模式。一个n个质块的轴系有(n－1)个扭振模式及一个共模。一个n个质块的轴系当不接入系统，轴系自由运动时，由于有机械阻尼，这(n—1)个扭振模式的实部均为负，从而轴系是稳定的，且有机械阻尼时，=0转化为一个零根，一个负实根。地区电网经济运行与自动化研究室92多质块弹性轴系

2.2多质块弹性轴系模型设如图13.1(b)表示汽轮发电机多质块轴系，含高压、中压和低压缸(A和B)以及发电机、励磁机等6个质块，则第i个质块(i=1~6)的线性化运动方程为

式中，是i和i+l质块间的互阻尼系数；类同；为自阻尼系数，分析中常设互阻尼系数为零；及是相邻质块间的弹性常数，，显然为i质块上机械力矩增量；为i质块上电气力矩增量。对汽轮机各质块

，对发电机及励磁机质块，通常忽略励磁机质块的电磁力矩。地区电网经济运行与自动化研究室10（7）2多质块弹性轴系

2.2多质块弹性轴系模型(续)设有N质块，，写成矩阵形式为记作

M，D为对角阵，K为三对角阵，。地区电网经济运行与自动化研究室11（8a）（8b）2多质块弹性轴系

2.3多质块轴系模式解耦对于式(8)，设D=0，即无机械阻尼，可将轴系解耦如下：令A=，定义P=AKA，则对实际系数P非负定，可设其特征根对角阵，并设P的特征向量阵为U，从而PU=UA，又由于对称，故U可取为正交阵，即。 若定义线性变换阵Q=AUS，及线性变换 右上角标“m”表示解耦模式，S为对角阵，其对角元的取值使发电机质块(设为第k质块)对应的Q阵行元素(即第k行元素)均等于1。地区电网经济运行与自动化研究室12（9）2多质块弹性轴系

2.3多质块轴系模式解耦(续)对式(8)二边左乘以，并将式(9)代入，有(设D=0)式中，

为对角阵；

为对角阵。

则式(10)可化为解耦模式形式或显然之不为零的对角元的平方根即为轴系的自然扭振频率。地区电网经济运行与自动化研究室13（10）（11a）（11b）2多质块弹性轴系

2.3多质块轴系模式解耦(续)对式(11)作一简单讨论通过上述巧妙选择的线性变换阵Q，使原轴系转化为模式解耦的等值转子，每个等值转子只含一个独立的模式。且外力均匀地加在每一个等值转子上，分析方便。进一步可证明，从而Q的形成可直接对[]求特征根及右特征向量，并将之规格化，使发电机质块(设为第k个质块)对应的特征向量元素(第k个元素)均等于1，则各右特征向量构成的矩阵即为Q，这样形成的Q是惟一的。地区电网经济运行与自动化研究室142多质块弹性轴系

2.3多质块轴系模式解耦(续)设发电机转子为第k个质块，由Q阵特点及式(9)可知：

即发电机质块的转子角增量为各解耦的等值转子角增量的代数和，这是Q阵选择的又一优点。地区电网经济运行与自动化研究室15（12）图13.2轴系模式解耦后的传递函数框图2多质块弹性轴系

2.3多质块轴系模式解耦(续)上述系统无外力(=0)时，自然扭振频率即为中的非零对角元的平方根，N个质块的转子有N—1个自然扭振频率，从而有N一1对共轭虚根，另外有一对零重根(无阻尼时)。在有机械阻尼时，

并不一定能成为对角阵，但一般可以认为其非对角元很小，即各模式间几乎无耦合及影响，即

，则 有机械阻尼时，若无外力(=0)，则式(13)的各扭振模式均为负实部根，从而轴系稳定，为衰减性扭振。 无外力而有机械阻尼时，零重根一般转化为一个零根、一个负实根。地区电网经济运行与自动化研究室16（13）2多质块弹性轴系

2.3多质块轴系模式解耦(续)在有外力作用(≠0)时，若设发电机转子角有一个以复频振荡的激励(扰动)，记之为 设引起的为 式中；为与有关的实数，分别称之为电气同步力矩系数和电气阻尼力矩系数，并称

为复数力矩系数。地区电网经济运行与自动化研究室17（14）（15）2多质块弹性轴系

2.3多质块轴系模式解耦(续) 定义为相应扭振频率下系统的机械阻尼系数。则系统扭振不稳定的条件是 由于>0，故发电机轴系扭振时，必然相应模式下的电气阻尼系数<0，这是扭振的必要条件。

定义不同值时的复数力矩系数 计算不同值时的复数力矩系数值，由此判断扭振稳定性的方法称为复数力矩系数法。

（16）地区电网经济运行与自动化研究室182多质块弹性轴系

2.3多质块轴系模式解耦(续)从上面分析还可看到：为了抑制扭振，其方法与低频振荡相似，在中附加一个与成正比的阻尼力矩，从而提供充分的扭振阻尼。这也可通过类似PSS的装置来实现。但困难在于，对于扭振，一个多质块轴系有多个扭振模式，在发电机上通过PSS装置来改善扭振的特性时，对某个模式提供正阻尼，而对另一个模式可能提供负阻尼，因此设计相对困难。地区电网经济运行与自动化研究室19对于此谐振频率而言发电机相当于一台异步电机，且处于发电状态，从而使谐振得以持续。这一效应通常称为“感应发电机效应”。3感应发电机效应同步电机经串补电容的线路接到无穷大系统(见图13.3)中，在一定条件下，会发生次同步谐振(SSR)，谐振频率即系统LC谐振频率，在发电机相电流、相电压中均有此成分。图13.3SSR分析用系统地区电网经济运行与自动化研究室203感应发电机效应(续)设串补电容补偿度为k，即式中，为工频。若发电机等值次暂态电抗，则由式(17)，此LC电路发生电谐振的角频率近似为即谐振频率为次同步频率。（17）（18）地区电网经济运行与自动化研究室213感应发电机效应(续)根据叠加原理，设同步机在正常工况下的电量外，在定子侧叠加了成分电量，而转子侧由于阻尼绕组存在，相当于一台异步机转子，而叠加了频率为的定子电流感应出的转子电流。若忽略凸极效应，则同步电机的等值异步机电路如图13.4虚线左侧部分。图中分别为定子、转子绕组的漏抗及电阻；为互感抗；s为滑差。对于一台异步机，s的定义为

（19）图13.4“感应发电机效应”等值电路地区电网经济运行与自动化研究室223感应发电机效应(续) 这里s<0(因为)，这说明对于SSR频率，同步机相当于一台异步发电机，从而可向电网提供维持分量的能量，若此能量足够大且大于电阻R的损耗就能使SSR持续下去。 图13-4中电路的算子形式视在阻抗Z(p)为 令，若(电气阻尼为负值)，≈0(LC串联谐振，视在电抗为零)，则系统将发生谐振。地区电网经济运行与自动化研究室233感应发电机效应(续)感应发电机效应可采用等值阻抗分析法近似分析先建立系统视在阻抗表达式Z(p)——同步发电机均用异步机等值电路描述。再令(为次同步频率)，设 ,作曲线。根据找出串联谐振点，并观察相应

值。若为负值，则认为此频率下可能会发生SSR。等值阻抗法缺点：没有考虑发电机及其调节器动态对SSR的影响；没有考虑系统运行工况对SSR的影响；难以计及同步电机中工频分量和次同步频率分量间的相互作用。等值阻抗法优点：较明确地反映了网络结构、参数及发电机参数对SSR的影响；分析简便，物理概念清楚，可适用于较大的系统。地区电网经济运行与自动化研究室244机电扭振互作用含有串补电容的输电系统中发电机的“感应发电机效应”会引起电气系统持续的次同步谐振。当电谐振频率和发电机轴系的自然扭振频率成一定关系时，还可能发生由于发电机轴系和电网络间的相互作用而引起轴系扭振不稳定，造成轴的破坏，通常称之为“机电扭振互作用”。对于图13.3的单机无穷大系统，可用复数力矩系数法近似地分析机电扭振互作用。地区电网经济运行与自动化研究室254机电扭振互作用(续)复数力矩系数法分析 设发电机轴系第k个质块有一频率为μ的正弦扭转摄动 在此扰动下发电机的电磁力矩为 则相应复数力矩系数为()。当μ接近某个轴系自然扭振频率，设为第j

个解耦模式，且当 系统会发生扭振不稳定。为第j个解耦模式相应的机械阻尼系数。（20）且地区电网经济运行与自动化研究室26对式(21)简单讨论

当且仅当系统视在电阻R为微小正值时，有很强的电气负阻尼，即

时易发生机电扭振互作用而引起的扭振不稳定。

4机电扭振互作用(续)通过计算可得式中，R为系统视在电阻，为电气次同步谐振频率，为机械扭振频率，为定子绕组磁链幅值。（21）地区电网经济运行与自动化研究室274机电扭振互作用(续)机电扭振互作用引起扭振不稳定的另一个条件是

即机械扭振自然频率和电气谐振频率互补(二者之和为50Hz工频)。这一条件较为苛刻，现代电网大量使用串C补偿，且补偿度增大，而且大容量发电机发展为大转动惯量的多质块轴系，从而使二者互补的机会增加。机电扭振互作用发生时，设，有

，为负阻尼，从而电磁力矩助增扰动。若电气负阻尼强于机械阻尼，则可使扭振得以持续及增幅，而引起扭振不稳定和轴系破坏事故。地区电网经济运行与自动化研究室284机电扭振互作用(续)当串联电容补偿度大时，

（p.u.）值大。若此时互补条件成立，的值小，则由式(21)可知，相应的易更大，问题更严重。从上面分析可知，对于机电扭振互作用，可以采用复数力矩系数法进行分析。设一个扰动， ，然后计算相应的，作出随的变化曲线，进一步判别轴系的稳定性。机电扭振互作用和感应发电机效应都可引起有串联补偿的电力系统的次同步谐振，但二者的物理本质、发生的条件及呈现的现象有所不同，应予以注意。地区电网经济运行与自动化研究室295暂态力矩放大作用电力系统在发生故障、进行重合闸及非同期合闸时，会出现严重的过渡过程，发电机的暂态电量中可能会含有频率和轴系自然扭振频率互补的分量。若系统在此频率下电气阻尼很小，则轴系可能在相应的电磁力矩作用下产生较大幅度的振荡。此时，即使跳开发电机出口开关，轴系仍将在弱阻尼下作缓慢衰减的扭振，而造成疲劳损伤，影响轴系的寿命。这一作用通常称为“暂态力矩放大”作用。地区电网经济运行与自动化研究室305暂态力矩放大作用(续)在有串补电容的系统中，当电气谐振频率和机械轴系扭振自然频率互补()时，很容易在大扰动下激发电气谐振频率下的幅值很大的电流成分，并造成频率为

的暂态电磁力矩，引起轴系扭振。其后果比无串补电容时要严重得多。应当指出，在电力系统中，由于不对称故障出现的负序电流分量和转子励磁电流相应磁场相互作用，产生100Hz交变力矩(在Hz时)，因此，如果发电机有100Hz左右的自然扭振频率，则极易发生超同步振荡，从而引起汽轮机叶片的断裂。通常设计时要求在100Hz±5Hz范围内无扭振自然频率存在。地区电网经济运行与自动化研究室316装置引起的次同步振荡1977年美国SquareButte投入HVDC输电线时，出现了发电机大轴的次同步扭振现象。研究表明，这种扭振通常发生在与整流站紧耦合的发电机大轴上，即使把系统中串补电容切除，扭振仍存在。由于此时系统中不存在电谐振回路，因此称之为次同步振荡问题。在系统中含有HVDC，SVS等有源快速控制装置时，若其控制参数不合理，均可能引起次同步振荡。PSS装置参数不合理时也可能通过励磁系统、发电机励磁绕组起作用，引起次同步振荡。文献中将此统称为装置引起的次同步振荡。其原理可用复数力矩系数法加以说明。地区电网经济运行与自动化研究室326装置引起的次同步振荡(续)以HVDC系统为例简单叙述与SSO相关的因素发电机和HVDC耦合的程度(见图13.5)。设发电机G经和HVDC整流站连接，而系统S经与整流站连接，则当

，即发电机和HVDC弱连接时，发电机的电压摄动由和分压，使换流站母线电压摄动极小，而且该摄动引起的电流摄动经两者分流，在发电机支路引起电流摄动也极小，从而发电机支路只有微小的电磁力矩摄动，故不易引起扭振不稳定，反之亦然。图13.5发电机和HVDC的连接地区电网经济运行与自动化研究室336装置引起的次同步振荡(续)HVDC换流站的无功补偿。如果HVDC所需的无功功率由换流站的无功补偿装置提供，则可减弱交直流间耦合，有利于缓解HVDC引起的SSO。对SSO而言，HVDC发端定功率控制，受端定熄弧角控制相对其他常规HVDC控制而言是一种更易诱发扭振的控制组合。目前研究认为，SSO一般只发生在整流站一侧的发电机轴上，而逆变侧的发电机一般不发生SSO。结论：直流输电的参数、运行工况、控制方式、控制参数，以及发电机同直流输电线的耦合紧密程度及无功补偿等都会影响电气系统对轴系扭振的电气阻尼。地区电网经济运行与自动化研究室347简单系统中串补电容引起的SSO对于暂态力矩放大作用，由于是大扰动下，应考虑系统强非线性，故元件动态均用非线性微分方程描述，一般采用电磁暂态(EMTP)程序加以仿真分析。对于感应发电机效应、机电扭振互作用及装置引起的SSO问题，既可以用EMTP仿真，也可建立系统线性化模型，以分析其原理及特征。这里以串补电容引起的简单系统中的SSR为例介绍如何推导用于SSO分析的电力系统线性化模型。地区电网经济运行与自动化研究室357简单系统中串补电容引起的SSO(续)图中系统，有集中参数R、L、C元件，无穷大母线电压在同步坐标下为U∠0º，U＝const，机械功率定常。发电机电磁回路模型

式中，（22）（23）地区电网经济运行与自动化研究室36发电机轴系模型

发电机轴系设为6质块，分别为高压缸HP、中压缸MP、低压缸LPA及LPB、发电机GEN和励磁机EXC，编号依次为1~6，即发电机质块为第k=5块，则相应线性化轴系方程为式中，质块惯性时间常数质块自阻尼系数质块间扭转弹性系数，（24）7简单系统中串补电容引起的SSO(续)地区电网经济运行与自动化研究室37励磁系统模型 设励磁系统模型为一阶，即式中，即（25）7简单系统中串补电容引起的SSO(续)地区电网经济运行与自动化研究室38网络方程

若网络参数对称，则abc坐标下方程为(下标abc从略)R，L为abc相坐标下的网络参数；C为串补电容参数。式中，（26）7简单系统中串补电容引起的SSO(续)地区电网经济运行与自动化研究室39将（22）－（26）经坐标变换，带入整理后得式中，7简单系统中串补电容引起的SSO(续)（27）地区电网经济运行与自动化研究室40，，，，，。7简单系统中串补电容引起的SSO(续)地区电网经济运行与自动化研究室418多机系统SSO的线性化数学模型多机系统SSO的线性化数学模型会涉及到弹性轴系模型刚性轴系模型发电机和发电机-变压器组的电磁模型励磁系统模型无串联补偿线路阻抗支路或变压器短路阻抗支路有串联补偿的线路阻抗支路母线上等值并联电容支路模型负荷支路模型并联电容支路电流消去分别建立各模型并整理得SSO分析的状态空间线性化模型

地区电网经济运行与自动化研究室428多机系统SSO的线性化数学模型(续)（28）地区电网经济运行与自动化研究室438多机系统SSO的线性化数学模型(续)对式（28）简要讨论考虑全网所有元件的状态方程后，式中的各子矩阵一般为原来相应方程中矩阵的扩充，应作合理排列。若系统中还有PSS，HVDC，则可作相似线性化及联网处理，状态方程进一步增阶。系统阵A是高度稀疏的，含大量零子矩阵，且各非零子块也大多为对角块阵或稀疏阵。整个系统维数高，一台发电机计及弹性轴、电磁回路、励磁系统动态时即可高达20阶，且网络计及电磁暂态，阶数也极高。工程实用分析法是频域中的扫频分析法(线性化模型)。在作扫频分析时，可从系统状态方程出发，也可在公式推导时保留算子形式，然后令在频域中分析，化为复数相量计算。地区电网经济运行与自动化研究室449SSO分析方法简介电磁暂态(EMTP)数字仿真基于线性化系统模型的方法特征根分析法扫频-等值阻抗分析法扫频-复数力矩系数法扫频-多变量奈奎斯特判据法地区电网经济运行与自动化研究室459SSO分析方法简介(续)电磁暂态(EMTP)数字仿真计及系统强非线性发电机电磁回路采用派克方程描写计及轴系弹性对网络元件采用电磁暂态模型在时域中对系统求微分方程的数值解缺点对SSO产生的原因、物理本质不能提供清楚有效的信息不能像特征根分析法那样计算SSO的准确的振频、衰减因子、模态分布、相关因子、特征根灵敏度等计算步长极小，机时耗费大优点可适应非线性元件可进行操作、故障引起的SSO暂态仿真能得到系统各物理量直观的随时间变化曲线地区电网经济运行与自动化研究室469SSO分析方法简介(续)特征根分析法特征根分析法步骤首先建立系统的线性化状态方程()对系统的系数矩阵A计算特征根、特征向量、特征根和状态变量的相关因子、机电回路相关比及作特征根灵敏度分析特征根分析法特点

可调用特征根分析的通用软件包进行分析不适用于暂态力矩放大作用引起的SSO问题系统状态方程形成较困难，且有“维数灾”问题A阵阶数甚高时难以用QR算法进行特征根计算要求有准确的轴系参数，否则无法计算只能得到孤立频率点的电气阻尼特性，不利于抑制对策的确定地区电网经济运行与自动化研究室479SSO分析方法简介(续)扫频-等值阻抗分析法

前提假设假定各发电机轴系为同步转速，忽略凸极效应各发电机对于次同步频率电量用异步电机等值电路表示假定网络线性且三相参数对称，负荷用等值阻抗表示计算步骤针对某次同步频率Ω的扰动，计算将某一台发电机端口打开向系统看时的算子形式的等值阻抗。作相应的

，

曲线，由

可判别系统的串联谐振点。若在这些谐振点上有

，则由感应发电机效应的原理，认为系统可能在此频率上发生次同步谐振。地区电网经济运行与自动化研究室489SSO分析方法简介(续)扫频-等值阻抗分析法（续）优点（特点）主要用于简化分析含串补电容系统中感应发电机效应引起的次同步谐振问题，方法简单，可适用于大系统，计算速度快，物理透明度大，可得到系统

、

曲线。缺点：没能考虑到运行工况变化及控制器动态特性对SSR的影响，难用于分析机电扭振互作用引起的轴系扭振问题；在应用叠加原理分析时，扰动频率分量(叠加量)和工频分量的相互作用和影响被忽略掉了；同步电机采用近似模型，会影响分析的精度等等。地区电网经济运行与自动化研究室499SSO分析方法简介(续)扫频-复数力矩系数法主要用于机电扭振互作用及装置引起的SSO问题计算视在复数力矩系数，即被讨论发电机电磁力矩增量与发电机质块的转子角增量在各次同步扰动频率Ω下的复数相量之比 获得机组视在阻尼力矩系数曲线D-Ω

，若在被讨论发电机的某轴系扭振自然频率处 则该发电机在此扭振自然频率处将发生扭振不稳定。地区电网经济运行与自动化研究室509SSO分析方法简介(续)扫频-复数力矩系数法（续）优点可以适应大系统；可以考虑到各种控制系统动态及运行工况对