工业机器人第六章操作臂动力学课件

与动力学有关的两个问题:已知一个轨迹点,,希望求出期望的关节力矩矢量.计算在施加一组关节力矩的情况下机构如何运动.第6章:操作臂动力学

6.1概述第6章:操作臂动力学

6.1概述

在任一瞬时，对刚体的线速度和角速度进行求导，可分别得到线加速度和角加速度:

同速度一样，当微分的参考坐标系为世界坐标系{U}时，可用下列符号表示刚体的速度，即:

第6章:操作臂动力学

6.2刚体的加速度在任一瞬时，对刚体的线速度和角速度进行求

1.线加速度

描述了坐标系{A}下的速度矢量，当坐标系{A}和坐标系{B}的原点重合时:

因为两个坐标系的原点重合，因此可以将上式改写为:

对求微分,得到相对于{A}的加速度：

因为:第6章:操作臂动力学

6.2刚体的加速度1.线加速度第6章:操作臂动力学

6.2

所以有

当两个坐标系原点不重合时:

第6章:操作臂动力学

6.2刚体的加速度所以有第6章:操作臂动力学

6.2刚体的加

当是常数，

加速度的推导公式化简为:

对于旋转关节的操作臂，上式为操作臂连杆的线加速度.对于移动关节，常用(*)式.第6章:操作臂动力学

6.2刚体的加速度当是常数，第6章:操作臂动力

2.角加速度

假设{B}相对于{A}以转动，同时{C}相对于{B}以转动.求

在{A}中进行矢量叠加:

求导，得到:

因为有

于是得到操作臂连杆的角加速度.第6章:操作臂动力学

6.2刚体的加速度2.角加速度第6章:操作臂动力学

6.

惯性张量可以在任意坐标系中定义，但一般在固连在刚体上的坐标系中定义惯性张量.

坐标系{A}中的惯性张量可用

3×3矩阵表示:

矩阵中的各元素如下:第6章:操作臂动力学

6.3质量分布惯性张量可以在任意坐标系中定义，但一般在

式子中刚体由单元体组成

单元体的密度为.每个单元体的位置由矢量确定.---Theelementsarecalledthemassmomentsofinertia.Weareintegratingthemasselements,,timesthesquaresoftheperpendiculardistancesfromthecorrespondingaxis.---Theelementswithmixedindicesarecalledthemassproductsofinertia.第6章:操作臂动力学

6.3质量分布式子中刚体由单元体组成第6章:

例:

求图中坐标系中长方体的惯量张量.已知长方体密度均匀，其大小

解：计算:Permutingtheterms:第6章:操作臂动力学

6.3质量分布例:求图中坐标系中长方体的惯量张量.已知长方体

图示物体的惯性张量阵:

惯性张量是坐标系位姿的函数.

第6章:操作臂动力学

6.3质量分布第6章:操作臂动力学

6.3质量分布

平行移轴定理:

矢量表示刚体质心在坐标系{A}中的位置。矢量矩阵形式：第6章:操作臂动力学

6.3质量分布平行移轴定理:第6章:操作臂动力

例:

当坐标系原点在刚体质心时，求图中刚体的惯性张量.

运动平行移轴定理:Next,wefind:

第6章:操作臂动力学

6.3质量分布例:当坐标系原点在刚体质心时，求图中刚体的惯性

其它参量由对称性得出：

第6章:操作臂动力学

6.3质量分布其它参量由对称性得出：第6章:操作

惯性张量的其他性质:---如果由坐标系的两个坐标轴构成的平面为刚体质量分布的对称平面，则正交于这个对称平面的坐标轴与另一个坐标轴的惯量积为0.---惯量距永远是正值，而惯量积可能正，可能负.---三个惯量距的和保持不变.---惯性张量的特征值为刚体的主惯量距，相应的特征矢量为主轴。.

第6章:操作臂动力学

6.3质量分布惯性张量的其他性质:第6章:操作臂动力学

大多数操作臂连杆的几何形状及结构比较复杂，一般使用测量装置来测量。第6章:操作臂动力学

6.3质量分布大多数操作臂连杆的几何形状及结构比较复

大多数操作臂连杆的几何形状及结构比较复杂，一般使用测量装置来测量。第6章:操作臂动力学

6.3质量分布承物台遮光细棒塔轮光电门滑轮砝码大多数操作臂连杆的几何形状及结构比较复第6章:操作臂动力学

6.3质量分布刚体的转动惯量的测量转动体系由承物台和塔轮组成，空承物台转动时，体系对转轴的转动惯量为J0，另有待测物放在承物台上时，总转动惯量为：若分别测出J和J0，则待测物体的转动惯量Jx为：第6章:操作臂动力学

6.3质量分布刚体的转动惯量第6章:操作臂动力学

6.3质量分布刚体系受外力矩有：绳子的张力作用力矩MT和摩擦力矩M。由转动定律知：为角加速度。即：可见，测量转动惯量J的关键是测量角加速度和摩擦力矩！J

是转动体系的转动惯量，

是角加速度，m

是下落砝码的质量，r

是绕线轮的半径，M

是摩擦力矩。第6章:操作臂动力学

6.3质量分布刚体系受外力矩1.牛顿欧拉方程

要使连杆运动，必须对连杆进行加速和减速运动，连杆运动所需的力是关于连杆期望加速度及其质量分布的函数。牛顿方程以及描述旋转运动的欧拉方程描述了力、惯量和加速度之间的关系。.

牛顿方程:

欧拉方程

第6章:操作臂动力学

6.4牛顿欧拉方程1.牛顿欧拉方程第6章:操作臂动力学

2.向外迭代为了计算作用在连杆上的惯性力，需要计算操作臂每个连杆在某一时刻的角速度、线加速度和角加速度.可应用迭代方法完成这些计算。首先对连杆1进行计算，接着计算下一个连杆，这样一直向外迭代到连杆n计算出每个连杆质心的线加速度和角加速度之后，运动牛顿欧拉公式计算出作用在连杆质心上的惯性力和力矩.第6章:操作臂动力学

6.4牛顿欧拉方程2.向外迭代第6章:操作臂动力学

6.4

角速度在连杆之间的“传递问题”:

连杆之间的角加速度变换方程:

当第i+1个关节是移动关节,上式简化为:

第6章:操作臂动力学

6.4牛顿欧拉方程角速度在连杆之间的“传递问题”:第6章:操

每个连杆坐标系原点的线加速度:

对于i+1是移动关节时:第6章:操作臂动力学

6.4牛顿欧拉方程每个连杆坐标系原点的线加速度:第6章:操作臂

每个连杆质心的线加速度:

假设坐标系{Ci}固连于连杆i上,坐标系原点位于连杆质心，且各坐标轴方位与原连杆坐标系{i}方位相同。

注意，第1个连杆的方程非常简单，因为.第6章:操作臂动力学

6.4牛顿欧拉方程每个连杆质心的线加速度:第6章:计算出每个连杆质心的线加速度和角加速度之后，运动牛顿欧拉公式计算出作用在连杆质心上的惯性力和力矩:

第6章:操作臂动力学

6.4牛顿欧拉方程计算出每个连杆质心的线加速度和角加速3.向内迭代法列出力平衡和力矩平衡方程.每个连杆都受到相邻连杆的作用力和力矩以及附加的惯性力和力矩.计算出每个连杆上的力和力矩之后，计算关节力矩.第6章:操作臂动力学

6.4牛顿欧拉方程3.向内迭代法第6章:操作臂动力学

6.

将所有作用在连杆i上的力相加，得到力平衡方程:

将所有作用在质心上的力矩相加，并且令它们的和为零，得到力平衡方程:

最后重新排列力和力矩方程，形成相邻连杆从高序号向低序号排列的迭代关系：第6章:操作臂动力学

6.4牛顿欧拉方程将所有作用在连杆i上的力相加，得到力平衡方程:第

在静力学中，可通过计算一个连杆施加于相邻连杆的力矩在方向的分量求得关节力矩:

注意对一个在自由空间中运动的机器人来说,和等于零.

第6章:操作臂动力学

6.4牛顿欧拉方程在静力学中，可通过计算一个连杆施加于相

牛顿-欧拉迭代动力学算法

由关节运动计算关节力矩的完整算法由两部分组成:---对每个连杆应用牛顿-欧拉方程，从连杆1到连杆n向外迭代计算连杆的速度和加速度.---从连杆n到连杆1向内迭代计算连杆间的相互作用力和力矩以及关节驱动力矩.第6章:操作臂动力学

6.4牛顿欧拉方程牛顿-欧拉迭代动力学算法第6章:操作臂动力学

对于转动关节，该算法归纳如下:---外推:i:05第6章:操作臂动力学

6.4牛顿欧拉方程对于转动关节，该算法归纳如下:第6章:操作臂动---内推:i:61考虑重力：令

第6章:操作臂动力学

6.4牛顿欧拉方程---内推:i:61第6章:操

例:

计算二连杆操作臂的动力学方程.假设质量分布非常简单：每个连杆的质量都集中在连杆的末端，设其质量分别为和.

首先，确定牛顿欧拉迭代公式中各参量的值:

第6章:操作臂动力学

6.4牛顿欧拉方程例:计算二连杆操作臂的动力学方程.假设质量分布

旋转矩阵:

对连杆1向外迭代:第6章:操作臂动力学

6.4牛顿欧拉方程旋转矩阵:第6章:操作臂动力学

6.4

对连杆2向外迭代:第6章:操作臂动力学

6.4牛顿欧拉方程对连杆2向外迭代:第6章:操作臂动力学

对连杆2向内迭代:

对连杆1向内迭代:第6章:操作臂动力学

6.4牛顿欧拉方程对连杆2向内迭代:第6章:操作臂动力学

取中的

方向分量,得关节力矩:

将驱动力矩表示为关于关节位置、速度和加速度的函数.第6章:操作臂动力学

6.4牛顿欧拉方程取中的方向分量,得关节1.迭代形式与封闭形式的动力学方程

迭代形式的动力学方程有两个作用:---进行数值计算.---作为一种分析方法用于符号方程的推导.

我们经常需要对方称的结构进行研究。

2.状态空间方程当用牛顿-欧拉方程对操作臂进行分析时，动力学方程可以写成如下形式:这里是n×n操作臂的质量矩阵,是n×1的离心力和哥氏力矢量，是n×1重力矢量.

第6章:操作臂动力学

6.5操作臂动力学方程的结构1.迭代形式与封闭形式的动力学方程第6章:包含了所有与关节速度有关的项.

例:第6章:操作臂动力学

6.5操作臂动力学方程的结构包含了所

:n×1Coriolis项.包含了所有与关节速度有关的项

是与离心力有关的项，因为它是速度的平方.

是与哥氏力有关的项，它总是包含两个不同关节速度的乘积.

:n×1与重力加速度有关的项,只与有关，与它的导数无关

:n×n质量矩阵,的函数.第6章:操作臂动力学

6.5操作臂动力学方程的结构:n×1Corio

3.位形空间方程

将速度项写成另一种形式:--n×n(n-1)/2哥氏力系数矩阵.--n×n离心力系数矩阵.

动力学方程随着操作臂的运动不断更新.第6章:操作臂动力学

6.5操作臂动力学方程的结构3.位形空间方程第6章:操作臂动力学

4.InclusionofnonrigidbodyeffectsItisimportanttorealizethatthedynamicequationswehavederiveddonotencompassalltheeffectsactingonamanipulator.Theyincludeonlytheseforceswhicharisefromrigidbodymechanism.Theimportantsourceofforcesthatarenotincludedisfriction.Theforcesduetofrictioncanactuallybequitelarge—perhapsequaling25%ofthetorquerequiredtomovethemanipulatorintypicalsituations.

Viscousfriction:isproportionaltothevelocityofjointmotion:

Coulombfriction:isconstantexceptforasigndependenceonthejointvelocity:第6章:操作臂动力学

6.5操作臂动力学方程的结构4.InclusionofnonrigidbAreasonablemodelistoincludeboth:

Frictionalsodiaplaysadependenceonthejointposition.Amajorcauseofthiseffectmightbegearsthatarenotperfectlyround—theireccentricitywouldcausefriction.Soafairlycomplexfrictionmodel:

Sothemorecompletemanipulator’smodel:

Wedon’tconsiderbendingeffects(whichgiverisetoresonances),itisextremelydifficulttomodel.第6章:操作臂动力学

6.5操作臂动力学方程的结构Areasonablemodel

拉格朗日力学是基于能量项对系统变量及时间的微分的，运用该方法比运用牛顿力学更繁琐，但随着系统复杂程度的增加，运用拉格朗日力学将变得相对简单。第6章:操作臂动力学

6.6拉格朗日方程拉格朗日力学是基于能量项对系统变量及时第6章:操作臂动力学

6.6拉格朗日方程L是拉格朗日函数，K是系统动能，P是系统势能式中F是线运动中的所有外力之和，T是转动中的所有外力矩之和，X是系统变量。第6章:操作臂动力学

6.6拉格朗日方程L是拉格朗第6章:操作臂动力学

6.6拉格朗日方程第6章:操作臂动力学

6.6拉格朗日方程第6章:操作臂动力学

6.6拉格朗日方程第6章:操作臂动力学

6.6拉格朗日方程

操作臂的动能表达式:

整个操作臂的动能是各个连杆动能之和:

操作臂的动能可以描述为关节位置和速度的标量函数：

操作臂的质量矩阵一定是正定矩阵第6章:操作臂动力学

6.6拉格朗日方程操作臂的动能表达式:第6章:操作臂Thepotentialenergyoftheithlinkcanbeexpressedas:

whereisthe3×1gravityvector,isthevectorlocatingthecenterofmassofthelink,andisaconstantchosensothattheminimumvalueiszero.Thetotalpotentialenergystoredinthemanipulatoristhesumofthepotentialenergyintheindividuallinks:Weseethatthepotentialenergyofamanipulatorcanbedescribedbyascalarformulaasafunctionofjointposition.第6章:操作臂动力学

6.6拉格朗日方程Thepotentialenergy

TheLagrangiandynamicformulationprovidesameansofderivingtheequationsofmotionfromascalarfunctioncalledtheLagrangian:

Theequationsofthemotionforthemanipulatorarethengivenby:whereisthen×1vectorofactuatortorques.Inthecaseofamanipulator,thisequationbecomes:

第6章:操作臂动力学

6.6拉格朗日方程TheLagrangiandynami

Example:ThelinksofanRPmanipulatorhaveinertiatensors:andtotalmassand.Thecenterofmassoflink1islocatedatadistancefromthejoint-1axis,andthecenterofmassoflink2isatthevariabledistancefromthejoint-1axis.UseLagrangiandynamicstodeterminetheequationofthemotionforthismanipulator.

第6章:操作臂动力学

6.6拉格朗日方程Example:Thelinksofan

Writethekinemicenergyoflink1as:

thekineticenergyoflink2as:

Hence,thetotlekineticenergyisgivenby:

Writethepotentialenergyoflink1as:

第6章:操作臂动力学

6.6拉格朗日方程WritethekinemicenergyPotentialenergyoflink2as:

Totalpotentialenergyisgivenby:Then第6章:操作臂动力学

6.6拉格朗日方程Potentialenergyoflink

Finally:第6章:操作臂动力学

6.6拉格朗日方程第6章:操作臂动力学

6.6拉格朗日方第6章:操作臂动力学

6.6拉格朗日方程第6章:操作臂动力学

6.6拉格朗日方程

Wedevelopeddynamicequationsinjointspacebecausewecouldusetheserial-linknatureofthemechanismtoadvantageinderivingtheequations.Inthissection,wediscusstheformulationofthedynamicequationsthatrelateaccelerationoftheend-effectorexpressedinCartesianspacetoCartesianforcesandmomentsactingattheend-effector.

第6章:操作臂动力学

6.6拉格朗日方程Wedevelopeddynamice

1.笛卡尔状态空间方程

应用笛卡尔变量的一般形式建立操作臂的动力学方程:---F作用于机器人末端的力和力矩矢量---能够恰当表达末端执行器位姿的笛卡尔矢量.---笛卡尔质量矩阵.---笛卡尔空间的速度项矢量.---笛卡尔空间的重力项矢量.第6章:操作臂动力学

6.7笛卡尔状态空间方程1.笛卡尔状态空间方程第6章:操作臂动力学F用关节驱动力表示:

第6章:操作臂动力学

6.7笛卡尔状态空间方程F用关节驱动力表示:第6章:操作臂动力学

6Substituting:TheexpressionsforthetermsinCartesiandynamics:

Notethat,theJacobianiswritteninthesameframesas,thechoiceofthisframeisarbitrary.Whenthemanipulatorapproache