2022-2023学年山西省太原市第五十八中学高二数学理测试题含解析

2022-2023学年山西省太原市第五十八中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等比数列{an}中，若a6=6，a9=9，则a3为（）A．2 B． C． D．4参考答案：D【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知结合等比数列的性质求解．【解答】解：在等比数列{an}中，由a6=6，a9=9，得．故选：D．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．2.曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x=﹣1=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选A．3.若将函数f（x）=x6表示为f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…a6（1+x）6，其中a0，a1，a2，…，a6为实数，则a3等于（）A．20 B．15 C．﹣15 D．﹣20参考答案：D【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】把函数f（x）=x6=[﹣1+（1+x）]6按照二项式定理展开，结合已知条件，求得a3的值．【解答】解：∵函数f（x）=x6=[﹣1+（1+x）]6=1﹣?（1+x）+?（1+x）2﹣?（1+x）3+…+?（1+x）6，又f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…a6（1+x）6，其中a0，a1，a2，…，a6为实数，则a3=﹣=﹣20，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．4.执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）

A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：C5.设抛物线y2=8x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为（）A．5 B．8 C．10 D．12参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线方程可求得p的值，进而利用抛物线的定义可求得|AB|=x1+x2+4，根据线段AB的中点E到y轴的距离求得x1+x2的值，代入|AB|=x1+x2+4，求得答案．【解答】解：由抛物线方程可知p=4|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+4由线段AB的中点E到y轴的距离为3得（x1+x2）=3∴|AB|=x1+x2+4=10故答案为：106.已知直线l过点且与以、为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为(

)A.

B.

C.

D.或

参考答案：D7.在平面直角坐标系xOy中，由不等式组所确定的图形的面积等于（

）（A）75π

（B）60π

（C）50π

（D）45π参考答案：C8.不等式组表示的平面区域是

(

)参考答案：B9.已知是R上的单调增函数，则的取值范围是

（

）A.

B.

C.D.参考答案：D略10.若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有（

）条A.1条

B.2条

C.3条

D.以上都不对参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，则当且仅当=

时，函数的最大值为

；参考答案：０；１12.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点.设直线OC1与平面CB1D1成的角为，则▲．参考答案：

13.设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上不同的三点，，O为坐标原点，且△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3，则=

．参考答案：3【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线y2=4x的焦点F的坐标，求出S12+S22+S32，利用点F是△ABC的重心，即可求得结论【解答】解：设A、B、C三点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），∵抛物线y2=4x的焦点F的坐标为（1，0），∴S1=|y1|，S2=|y2|，S3=|y3|，∴S12+S22+S32=（y12+y22+y32）=x1+x2+x3，∵，∴点F是△ABC的重心．∴x1+x2+x3=3．∴S12+S22+S32=3．故答案为3．14.函数f(x)=的定义域为

.参考答案：[－1，2)∪(2，+∞)

函数有意义，则：，求解关于实数x的不等式组可得函数的定义域为[－1，2)∪(2，+∞).点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．

15.“x＞1”是“x2＞1”的

条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）参考答案：充分不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由x2＞1得x＞1或x＜﹣1．∴“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用向量相等的定义是解决本题的关键．16.定义在R上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为参考答案：217.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，b=，A=60°，则B的度数为____．参考答案：45°

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知acos2+ccos2=b（1）求证：a、b、c成等差数列；（2）若B=，S=4求b．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式变形，整理后再利用正弦定理化简，利用等差数列的性质判断即可得证；（2）利用三角形面积公式列出关系式，把sinB与已知面积代入求出ac的值，利用余弦定理列出关系式，整理得出b的值即可．【解答】解：（1）由正弦定理得：sinAcos2+sinCcos2=sinB，即sinA?+sinC?=sinB，∴sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，∵sin（A+C）=sinB，∴sinA+sinC=2sinB，由正弦定理化简得：a+c=2b，∴a，b，c成等差数列；（2）∵S=acsinB=ac=4，∴ac=16，又b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac，由（1）得：a+c=2b，∴b2=4b2﹣48，即b2=16，解得：b=4．19.某校为评估新教改对教学的影响，挑选了水平相当的两个平行班进行对比试验．甲班采用创新教法，乙班仍采用传统教法，一段时间后进行水平测试，成绩结果全部落在区间内（满分100分），并绘制频率分布直方图如图，两个班人数均为60人，成绩80分及以上为优良．（1）根据以上信息填好下列2×2联表，并判断出有多大的把握认为学生成绩优良与班级有关？是否优良班级优良（人数）非优良（人数）合计甲

乙

合计

（2）以班级分层抽样，抽取成绩优良的5人参加座谈，现从5人中随机选2人来作书面发言，求2人都来自甲班的概率．下面的临界值表供参考：P（x2?k）0.100.050.010k2.7063.8416.635（以下临界值及公式仅供参考，n=a+b+c+d）参考答案：【考点】BL：独立性检验．【分析】（1）根据所给数据可得列联表，利用公式计算K2的值，对照临界值即可得结论；（2）利用分层抽样原理与列举法计算基本事件数，求出对应的概率值．【解答】解：（1）根据题意，填写2×2列联表如下；是否优良班级优良（人数）非优良（人数）合计甲303060乙204060合计5070120计算，则有90%的把握认为学生成绩优良与班级有关；（2）分层抽样甲班抽取了3人，记作a1，a2，a3，乙班抽取了2人，记作b1，b2，从中任意抽取2人，有{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a2，a3}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a3，b1}，{a3，b2}，{b1，b2}10种情形，其中2人都来自甲班的有3种情形，则至少有2人来自甲班的概率为P=．20.已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x2+ax﹣3）e2（a为实数）．（1）当a=5时，求函数y=g（x）在x=1处的切线方程；（2）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）若存在两不等实数x1，x2∈[，e]，使方程g（x）=2e2f（x）成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）当a=5时，化简函数y=g（x），求出切点坐标，通过导数求解切点斜率，然后求解x=1处的切线方程；（2）求解f（x）的导数，求出极值点，列表，然后求解在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）化简方程g（x）=2e2f（x），构造新函数，通过求解函数的导数，推出函数的极值以及区间上的最值，然后推出实数a的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（1）当a=5时，g（x）=（﹣x2+5x﹣3）e2，g（1）=e．g′（x）=（﹣x2+3x+2）e2，故切线的斜率为g′（1）=4e．所以切线方程为：y﹣e=4e（x﹣1），即y=4ex﹣3e．…（2）函数f（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），则f′（x）=lnx+1，lnx+1=0，解得x=．xf′（x）﹣0+f（x）单调递减极小值（最小值）单调递增①当t≥时，在区间（t，t+2）上f（x）为增函数，所以f（x）min=f（t）=tlnt．②当t∈时，在区间（t，）上f（x）为减函数，在区间上f（x）为增函数，所以f（x）min=f（）=﹣

…（3）由g（x）=2e2f（x），可得：2xlnx=﹣x2+ax﹣3，a=x+2lnx+，令h（x）=x+2lnx+，h′（x）=1+=．x1（1，e）h′（x）﹣0+h（x）单调递减极小值（最小值）单调递增，h（1）=4，．．∴实数a的取值范围为4．…21.（本小题满分12分）设命题p：“直线x+y-m=0与圆不相交”，命题q：“有一正根和一负根。”如果pq为真且pq为假，求m的取值范围．参考答案：对命题P：由x+y-m=0和得

则，∴∴P为真时

3分对命题q：则有题意得得∴q为真时