辽宁省沈阳市第六十七高级中学高三数学理下学期摸底试题含解析

辽宁省沈阳市第六十七高级中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在平行四边形中，设，，，，则（

）A． B． C． D．参考答案：A2.集合，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B3.有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为（） A．80 B． 84 C． 96 D． 104参考答案：考点： 计数原理的应用．分析： 所标数字互不相邻的方法有4种，这3种颜色互不相同有C43A33种，根据分步计数原理，即可求出颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数．解答： 解：所标数字互不相邻的方法有：135，136，146，246，共4种方法．这3种颜色互不相同有C43A33=4×3×2×1=24种，∴这3种颜色互不相同且所标数字互不相邻的有4×24=96种．故选：C．点评： 本题主要考查了排列组合，以及两个基本原理的应用，解题的关键是不遗漏不重复，属于中档题．4.曲线在点处的切线方程是

A.

B.

C.

D.

参考答案：C5.已知三边长分别为3、4、5的的外接圆恰好是球的一个大圆，为球面上一点，若点到的三个顶点的距离相等，则三棱锥的体积为

（

） A、5 B、10 C、20 D、30参考答案：A略6.已知正四面体A-BCD中，P为AD的中点，则过点P与侧面ABC和底面BCD所在平面都成60°的平面共有（注：若二面角的大小为120°，则平面与平面所成的角也为60°）A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：D7.执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（）A．k＞7 B．k＞6 C．k＞5 D．k＞4参考答案：C【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：

K

S

是否继续循环循环前1

0第一圈2

2

是第二圈3

7

是第三圈4

18

是第四圈5

41

是第五圈6

88

否故退出循环的条件应为k＞5？故答案选C．8.锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，若，则b2+c2的取值范围是（）A．（5，6] B．（3，5） C．（3，6] D．[5，6]参考答案：A【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可得b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得cosA，进而可求A，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得b2+c2=4+2sin（2B﹣），利用B的范围，可求2B﹣的范围，利用正弦函数的图象和性质可求其范围．【解答】解：∵（a﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．由余弦定理可得：cosA===，∴A为锐角，可得A=，∵，∴由正弦定理可得：，∴可得：b2+c2=（2sinB）2+[2sin（﹣B）]2=3+2sin2B+sin2B=4+2sin（2B﹣），∵B∈（，），可得：2B﹣∈（，），∴sin（2B﹣）∈（，1]，可得：b2+c2=4+2sin（2B﹣）∈（5，6]．故选：A．9.已知函数，下列说法错误的是(

)A.函数最小正周期是 B.函数是偶函数C.函数在上是增函数 D.函数图像关于对称参考答案：C10.函数的导函数图像如图所示，则函数的极小值点个数有A．个

B．个

C．个

D．个参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的最小值为________．参考答案：【分析】结合换元法以及利用导数求得的最小值.【详解】令，函数变为，，所以在上递减，在上递增，所以，也即函数的最小值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最值，属于中档题.12.图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（图2）.当这个正六棱柱容器的底面边长为

时，其容积最大.图1

参考答案：答案：2/313.我们可以利用数列{an}的递推公式an=（n∈N+）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．则a24+a25=

；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第

项．参考答案：28，640．【考点】数列递推式．【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定．又通过前面的项发现项的值为5时，下角码是首项为5，公比为2的等比数列．即可求出第8个5在该数列中所占的位置．【解答】解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a24+a25=3+25=28．又因为a5=5，a10=5，a20=5，a40=5…即项的值为5时，下角码是首项为5，公比为2的等比数列．所以第8个5是该数列的第5×28﹣1=640项．故答案为：28，640．14.若函数f（x）满足：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是R；（Ⅱ）对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）；（Ⅲ）f（1）=，则下列命题正确的是

（只写出所有正确命题的序号）①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）是偶函数；③对任意n1，n2∈N，若n1＜n2，则f（n1）＜f（n2）；④对任意x∈R，有f（x）≥﹣1．参考答案：②③④【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据抽象函数的定义和关系式结合函数奇偶性的定义即可判断①②，利用赋值法可以判断③④．解：令x1=1，x2=0，f（1+0）+f（1﹣0）=2f（1）f（0），即2f（1）=2f（1）f（0），∵f（1）=，∴f（0）=1．令x1=0，x2=x，则f（x）+f（﹣x）=2f（0）f（x）=2f（x），则f（﹣x）=f（x），故函数f（x）为偶函数，故②正确，①错误．∵f（1）=，∴f（1+1）+f（1﹣1）=2f（1）f（1），即f（2）=2f2（1）﹣f（0）=2×（）2﹣1=，f（2+1）+f（1）=2f（1）f（2），即f（3）=2f（1）f（2）﹣f（1）=2××﹣=，同理f（4）=，由归纳推理得对任意n1，n2∈N，若n1＜n2，则f（n1）＜f（n2）正确；故③正确，令x1=x2=x，则由f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）得f（2x）+f（0）=2f（x）f（x）=2f2（x），即f（2x）+1=2f2（x）≥0，∴f（2x）+1≥0，即f（2x）≥﹣1．∴对任意x∈R，有f（x）≥﹣1．故④正确．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数奇偶性的定义是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．15.读右图，若，则输出结果

.参考答案：120略16.

复数________.

参考答案：-1【答案】17.如图所示的程序框，若输入的是100，则输出的变量的值是

.参考答案：5049三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题13分）为了了解某市开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从三个区中抽取7个工厂进行调查，已知区中分别有18，27，18个工厂（1）求从区中应分别抽取的工厂个数（2）若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有一个来自区的概率参考答案：(1)A、B、C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2（2）19.已知向量，设函数.(Ⅰ)求函数的最大值；(Ⅱ)在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，，且的面积为，,求的值.参考答案：解:(Ⅰ)……4分………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，因为，所以，……………8分，又……………10分……………13分略20.某科考试题中有甲、乙两道不同类型的选做题，且每道题满分为10分，每位考生需从中任选一题作答．（1）A同学将自己在该考试中历次的选题及得分情况统计如下：选甲题8次，得分分别为：6，10，10，6，6，10，6，10选乙题10次，得分分别为：5，10，9，8，9，8，10，8，5，8某次考试中，A同学的剩余时间仅够阅读并解答出甲、乙两题中的某一道题，他应该选择甲题还是乙题？（2）某次考试中，某班40名同学中选择甲、乙两题的人数相等，在16名该选做题获得满分的同学中有10人选的是甲题，则在犯错误概率不超过1%的情况下，判断该选做题得满分是否与选题有关？参考公式：K2=参考数据：P（K2≥k0）0.10.010.001k02.7066.63510.828参考答案：【考点】BO：独立性检验的应用；BC：极差、方差与标准差．【分析】（1）计算甲、乙两题得分的平均数与方差，比较即可；（2）根据题意，填写2×2列联表，计算K2的观测值k，对照临界值表即可得出结论．【解答】解：（1）计算甲、乙两题得分的平均数分别为=×（6+10+10+6+6+10+6+10）=8，=×（5+10+9+8+9+8+10+8+5+8）=8，甲、乙两题得分的方差为=×[（6﹣8）2+…+（10﹣8）2]=4，=×[（5﹣8）2+…+（8﹣8）2]=2.8，因此选择乙题更加稳妥；（2）根据题意，填写2×2列联表如下；

甲乙总计满分10616非满分101424总计202040因此K2的观测值k==≈1.667＜6.635，则在犯错误概率不超过1%的情况下，判断该选做题得满分是否与选题无关．21.（13分）如表，将数字1，2，3，…，2n（n≥3）全部填入一个2行n列的表格中，每格填一个数字．第一行填入的数字依次为a1，a2，…，an，第二行填入的数字依次为b1，b2，…，bn．记=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|an﹣bn|．a1a2…anb1b2…bn

（Ⅰ）当n=3时，若a1=1，a2=3，a3=5，写出S3的所有可能的取值；（Ⅱ）给定正整数n．试给出a1，a2，…，an的一组取值，使得无论b1，b2，…，bn填写的顺序如何，Sn都只有一个取值，并求出此时Sn的值；（Ⅲ）求证：对于给定的n以及满足条件的所有填法，Sn的所有取值的奇偶性相同．参考答案：【考点】数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）根据新定义计算即可，（Ⅱ）ai=i（i=1，2，…，n），则无论b1，b2，…，bn填写的顺序如何，都有，根据新定义求出即可，（Ⅲ）方法一：交换每一列中两个数的位置，所得的Sn的值不变，不妨设ai＞bi，记，，求出Sn=A﹣B，即可证明，方法二：考虑如下表所示的任意两种不同的填法，①若在两种填法中k都位于同一行，②若在两种填法中k位于不同行，即可证明【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，a2=3，a3=5，∴b1，b2，b3值为2，4，6∴S3=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|=|1﹣b1|+|3﹣b2|+|5﹣b3|，∴S3的所有可能的取值为3，5，7，9．（Ⅱ）令ai=i（i=1，2，…，n），则无论b1，b2，…，bn填写的顺序如何，都有．因为ai=i，所以bi∈{n+1，n+2，…，2n}，（i=1，2，…，n）．因为ai＜bi（i=1，2，…，n），所以．注：{a1，a2，…，an}={1，2，…，n}，或{a1，a2，…，an}={n+1，n+2，…，2n}均满足条件．（Ⅲ）解法一：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的Sn的值不变．不妨设ai＞bi，记，，其中i=1，2，…，n．则．因为，所以A+B与n具有相同的奇偶性．又因为A+B与A﹣B具有相同的奇偶性，所以Sn=A﹣B与n的奇偶性相同，所以Sn的所有可能取值的奇偶性相同．解法二：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的Sn的值不变．考虑如下表所示的任意两种不同的填法，，，不妨设ai＜bi，a'i＜b'i，其中i=1，2，…，n．a1a2…an

…b1b2…bn

…．对于任意k∈{1，2，…，2n}，①若在两种填法中k都位于同一行，则k在Sn+S'n的表达式中或者只出现在中，或只出现在中，且出现两次，则对k而言，在Sn+S'n的结果中得到±2k．②若在两种填法中k位于不同行，则k在Sn+S'n的表达式中在与中各出现一次，则对k而言，在Sn+S'n的结果中得到0．由①②得，对于任意k∈{1，2，…，2n}，Sn+S'n必为偶数．所以，对于表格的所有不同的填法，Sn所有可能取值的奇偶性相同．【点评】本题考查了新定义的应用，以及数列求和问题，考查了学生的分析问题和解决问题的能力，属于难题．22.(本小题12分)三棱锥P?ABC中,PA