数值分析内容提要课件

一、基本内容及基本要求

一、基本内容及基本要求1第一章、绪论了解数值分析的研究对象与特点。了解误差来源与分类,会求有效数字;会简单误差估计。了解误差的定性分析及避免误差危害。

第一章、绪论2第二章、插值法了解插值的概念。掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余项公式。了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿插值法。了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。会埃尔米特(Hermite)插值及其余项公式。知道高次插值的病态性质,会分段线性插值和分段埃尔米特插值及其误差和收敛性。会三次样条插值,知道其误差和收敛性。第二章、插值法3第三章、函数逼近与曲线拟合了解函数逼近的基本概念,了解范数和内积空间。了解正交多项式的概念,了解切比雪夫多项式和勒让德多项式以及它们的性质,知道其他常用正交多项式。理解最佳一致逼近的概念,理解最佳平方逼近的概念,掌握最佳平方逼近多项式的求法,了解用正交多项式做最佳平方逼近的方法。掌握曲线拟合的最小二乘法并会计算,了解用正交多项式做最小二乘拟合。了解最小二乘三角逼近与快速傅里叶变换*。第三章、函数逼近与曲线拟合4CH4数值积分与数值微分基本内容及基本要求

了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、求积公式的收敛性和稳定性。掌握牛顿-柯特斯公式及其性质和余项。掌握复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。了解龙贝格(Romberg)求积算法，知道外推法。会高斯求积公式,了解高斯-勒让德求积公式和高斯-切比雪夫求积公式。了解几种常用的数值微分方法。

CH4数值积分与数值微分了解数值求积的基本思想、代数精度的5CH5、解线性方程组的直接方法基本内容及基本要求了解求解方程组的两类方法,了解矩阵基础知识。掌握高斯消去法,会矩阵的三角分解。掌握高斯列主元素消去法,了解高斯-若当消去法。掌握直接三角分解法,了解平方根法,会追赶法,了解有关结论。了解向量和矩阵的几种范数。了解矩阵和方程组的性态,会求其条件数。会初等反射阵和平面旋转阵,了解QR分解,了解用正交约化法解超定方程组。CH5、解线性方程组的直接方法基本内容及基本要求6一、解线性方程组的迭代法

CH6线性方程组迭代解法了解迭代法及其收敛性的概念。掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(SOR)迭代法。3.了解一阶定常迭代法的基本定理，掌握特殊方程组迭代法的收敛条件。4.掌握共轭梯度法。5.知道分块迭代法。一、解线性方程组的迭代法CH6线性方程组迭代解法了解迭代7CH7、非线性方程求根

基本内容及基本要求了解求根问题和二分法。了解不动点迭代法,及不动点存在性和迭代收敛性；了解收敛阶的概念和有关结论。3.了解加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。4.掌握牛顿法及其收敛性、了解简化牛顿法和牛顿法下山法,了解重根情形。5.掌握弦截法，了解抛物线法。6.了解非线性方程组的迭代解法。

CH7、非线性方程求根基本内容及基本要求了解求根问题和二8CH8、矩阵特征值问题计算

了解特征值和特征向量的概念和性质,了解圆盘定理、Schur定理和Rayleigh商。2.掌握乘幂法，了解其加速收敛技术,会反幂法。3.了解豪斯霍尔德方法。4.了解QR方法。基本内容及基本要求

CH8、矩阵特征值问题计算了解特征值和特征向量的概念和性9第九章常微分方程初值问题数值解法关键词：欧拉法、后退欧拉法、梯形法、显式法、隐式法、（2、3、4阶）龙格库塔法、单步法、线性多步法、ADAMS法、预测-校正法、相容性、收敛性、稳定性（判别法）、收敛阶、局部截断误差、全局截断误差、刚性方程第九章常微分方程初值问题数值解法10二、数值分析内容提要二、数值分析内容提要11第1章绪论第1章绪论12一、定理设的近似值有位有效数字，则其相对误差限反之，若其相对误差限满足：，则有位有效数字。一、定理设的近似值有位有效数字，则其相对误差限反之，若其相13二、误差限的运算：

二、误差限的运算：14三、误差的传播四、稳定性

三、误差的传播四、稳定性15第2章插值法第2章插值法16常用的代数插值公式有：拉格朗日型

和牛顿型公式常用的代数插值公式有：拉格朗日型和牛顿型公式17插值余项为其中

插值余项为其中182．埃尔米特插值公式为

其中

的表达式同拉格朗日型公式中的基函数。

2．埃尔米特插值公式为其中的表达式同拉格朗日型公式中的基函数19插值余项为

3．三次样条插值多项式，详见教材。插值余项为3．三次样条插值多项式，详见教材。20第3章函数逼近与曲线拟合第3章函数逼近与曲线拟合211、函数逼近的概念。设中一组线性无关的函数，在某种范数意义下距离最近，即则称为某范数在意义下的最佳逼近函数。特别当范数为时，分别为最佳平方逼近和最佳一致逼近。1、函数逼近的概念。设中一组线性无关的函数，在某种范数意义下22数值分析内容提要课件23数值分析内容提要课件24第4章数值积分与数值微分第4章数值积分与数值微分25数值分析内容提要课件26数值分析内容提要课件27数值分析内容提要课件28数值分析内容提要课件29第5章解线性方程直接法第5章解线性方程直接法30数值分析内容提要课件31第6章解线性方程迭代法第6章解线性方程迭代法32雅可比迭代法计算公式：对k=0,1,…,雅可比迭代法计算公式：对k=0,1,…,33高斯—塞德尔迭代法计算公式：对k=0,1,…,高斯—塞德尔迭代法计算公式：对k=0,1,…,34SOR迭代法的计算公式:对k=0,1,…,SOR迭代法的计算公式:对k=0,1,…,35定理7若矩阵A按行(或列)严格对角占优,或按行(或列)弱对角占优不可约；则Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都收敛。定理9对于线性方程组Ax=b，若A为对称正定矩阵，则当0<ω<2时，SOR迭代收敛.

定理10对于线性代数方程组Ax=b，若A按行(或列)严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可约；则当0<w≤1时，SOR迭代收敛。定理7若矩阵A按行(或列)严格对角占优,或按行(或列)弱对36第7章非线性方程求根第7章非线性方程求根37数值分析内容提要课件38数值分析内容提要课件39数值分析内容提要课件40第8章矩阵特征值问题计算第8章矩阵特征值问题计算41数值分析内容提要课件42数值分析内容提要课件43数值分析内容提要课件44反幂法计算公式:反幂法计算公式:45本章讨论形如的初值问题的数值解法，其中f（x,y）是已知连续函数，为给定的初值，假设该初值问题的解存在唯一。

第9章常微分方程数值解法本章讨论形如为给定的初值，假设该初值问题的解存在唯一。第946单步法欧拉（Euler）法及其改进形式向前欧拉公式（欧拉折线法或欧拉显格式）其中h为步长，该方法的局部截断误差阶为O（h2），是一阶方法。2.向后欧拉公式（后退欧拉公式）

单步法其中h为步长，该方法的局部截断误差阶为O（h2），473.梯形公式（欧拉公式的改进）

这是二阶隐格式方法。实用中常按下述爹带进行求解：

该方法是二阶方法；如果关于k仅迭代一步，并换则称该方法为欧拉预估—校正方法。3.梯形公式（欧拉公式的改进）这是二阶隐格式方法。实用中482.显式龙格-库塔方法（Runge-Kutta）方法,一般形式为：

其中Ci为待定权因子，满足m为所使用的f值的个数，a1=0，ai