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了解函数单调性和导数的关系/能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间/了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件/会用导数求函数的极大值、极小值/会求闭区间上函数的最大值、最小值/会利用导数解决某些实际问题

2.11导数的应用1．函数在某区间上单调的充分条件

一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y′＞0，那么函数y＝f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y′＜0，那么函数y＝

f(x)为这个区间内的减函数．2．极大值

一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜

f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0是极大值点．3．极小值

一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞

f(x0)．就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0是极小值点．4．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个开区间，并列成 表格检查．f′(x)往在救方万程顾根拔左叹右勇的矩值翅的跌符话号四，县如掩果益左脂正稍右唐负幸，揭那唯么f(x)抖在炼这荡个慎根餐处判取得映极它大袭值脖；补如吧果熔左眉负俩右印正搜，笛那司么f(x)罗在衬这蜘个鬼根转处初取里得矛极替小竹值劲；度如仗果硬左疲右男不改槽变他符验号激，标那质么f(x)挤在虽这吸个毅根挑处珠无萄极唇值杏．5．利茫用徒导急数盟求黑函窑数加的判最著值仙步奋骤(端1园)陕求f(x)相在艇(a，b)欧内竹的洒极务值垫；(哄2助)酷将f(x)碧的赞各眉极颤值悦与f(a)彩、f(b)帽比爱较挎得府出俩函掉数f(x)块在消[a，b]役上邮的报最网值协．1症．除对互于狼R丙上珍可掩导饥的陶任锋意孤函慈数f(x)眼，脂若乡丰满骑足乏(x－坑1遵)f′(x)≥0鸭，盯则肥必威有汽(傍)A桶．f(蹦0普)级＋f(饼2架)显<逝2f(瞧1呢)粱B姨．f(舍0瞧)爹＋f(牙2羞)≤2f(易1林)C冈．f(贷0迟)辱＋f(冲2旨)≥2f(张1籍)梢D易．f(杠0览)慢＋f(芦2悠)拔>芳2f(淘1底)解汗析孕：(x－剂1喊)f′菜(x)≥0炕，液或①凳函改数y＝f(x)近在炼(翁－艇∞砖，便1蚊]作上历单帜调捕递主减抗，f(蜻0那)权>f(朱1匹)订；毅在挑[物1轻，泳＋算∞饼)融上敞单抽调侧递傻增析，f(洋2似)条>f(撒1萍)猴，∴f(远0烈)风＋f(糊2桌)翼>湿2f(率1立)惹．②询函坐数y＝f(x)洞可极为懂常负数言函范数设，f(视0览)累＋f(士2弃)哄＝扛2f(谋1链)臭．烤故杠选野C他项层．答妙案响：C2堪．尤函茫数f(x)命＝x3－初3x2＋座2述在项区诸间挂[拴－忧1泛,虹1艺]擦上盘的悬最粪大幼值发是梢(捕)A具．穴－咽2拖B厌．饥0盗C省．亡2强D柴．李4解德析站：f′(x)袖＝岛3x2－你6x，笋令f′(x)没＝莲0鼠，捎得x＝礼0息，x＝删2芒(叶舍轮去贞)葡．比旨较f(登－加1世)奥，f(强0统)泳，f(培1判)走的巾大揉小雹知f(x)m纠a香x＝f(她0锐)秋＝刃2蚕，香选忧C佣项前．答蔽案姨：C3肚．奏函每数f(x)仔的剩定筒义揭域厕为资开储区演间待(a，b)印，污导蜂函针数f′(x)爽在屠(a，b)样内偶的创图廉象容如催图灯所励示足，则厕函接数f(x)炎在唇开傻区需间遍(a，b)社内及有独极引小毅值污点赛(登)A塞．艳1锹个刮B留．崖2倦个C面．舱3韵个册D纱．吧4钟个解祸析海：f′(x)豪>抓0惜单早调御递师增括，f(x)′<墙0似单猪调李递不减敏．f′(x)夺＝忠0→f′(x)疲＝盛0→f′(x)相>谷0丧.由脂题阅中伏图胡象汤可咬知租只过有岗1覆个奥极怪小筐值翼点混．答妨案上：A4陆．(漆2隔0狸1袍0模·亩开叙封罪高义三认月聪考祝)函数f咏(到x阅)=x3+b驱x2+c芹x+d的窃大咽致图苍象前如纷右闻图卸，折则面等撕于芬(栽)解苏析：银由贷题稿图派可评知f(谨－杨1济)侧＝f(甘0至)季＝f(膊2咱)稿＝逗0键，解欠得院：b＝姜－描1齐，c＝成－听2兴，d＝幼0骆，泽则f′(x)蓄＝庙3x2－坦2x－佛2半，则答役案：纱C此邮类捏题榜主愉要巴考脾查眯求泛函虏数泽的须导舒数脖、景单间调独性厅的握判当定太以享及绑单方调宜性辰的慢应枝用蹄，艺是扩高唉考筹考镰查谷的逝重以点罗，陕考这题友可测能居以遵小港题帽形矮式吹出惨现恐，促也规可然以娇以勤中讽档探大疫题追形啊式幼出选现猎．皂应苏注锄意倒函阔数y＝f(x)沾在串区训间面(a，b)凭上对可休导某，尤则f′(x)挥＞名0成是秆函善数y＝f(x)座在遭(a，b)魔上充递刻增煮的吉充猎分狱条愈件慈，愉并桥非芳充挎要尾条习件欣．【离例岭1挠】设a为饭实辜数悄，其函丸数f(x)皮＝x3－a胡x2＋桨(a2－汇1昆)x在秘(睬－∞，筒0怨)岔和球(义1属，摧＋∞)太都工是宜增函洲数求，布求a的至取掩值蜻范截围鲜．解状答秧：f′(x)尽＝耻3x2－好2a密x＋肃(a2－堵1坡)伞，茅其汤判握别毫式Δ＝充4a2－浩1杀2a2＋抬1谁2吵＝甲1在2佳－愤8a2.(背1誓)沾若Δ＝葡1脏2置－倾8a2＝条0脖，络即a＝帅±减.当x∈(圈－∞，移)熄或x∈(胞，位＋∞)朵时沃，f′(x)帮>隶0狠，f(x)弃在暂(树－∞，衬＋∞)版为疮增技函蓄数猴．所驱以a＝务±聪.(纲2垮)椅若Δ＝宽1兼2虏－贺8a2<梳0夫，理恒您有f′衰(x)适>及0犹，f(x)贼在决(年－沟∞暖，暗＋叔∞蜂)湿为区增膏函陡数物．(由3芹)摄若Δ＝哄1百2辣－蔑8a2>拿0搁，绞即傍，涨令f′(x)早＝碗0跌，解崇得当x∈(灿－∞，x1)端或x∈(x2，编＋∞)渗时邪，f′(x)谋>都0墓，f(x)躺为务增币函缴数近；当x∈(x1，x2)忠时申，f′(x)启<莲0椒，f(x)公为得减拆函得数纹．达依叶题羞意x1≥0赏且x2≤1暗.由x1≥遍0浊得从埋而a∈肉[嘉1德，耐)党．伪综桑上雪，a的恢取岔值仍范窝围投为变啦式夫1散.设x＝虫1和x＝李2是池函六数f(x)货＝x5＋a筋x3＋b久x＋贝1的破两名个椒极氏值陡点．(涨1恳)求a和b的粮值旋；(痛2后)求f(x)的举单鞠调杰区悲间．解壳答社：(抛1不)∵f′(x)庄＝丘5x4＋幅3a粉x2＋b，茶由汪假紧设馋知奴：f′(塘1厅)代＝哀5悦＋秒3a＋b＝辞0f′(胡2监)益＝岂24×5角＋悔22×3a＋b＝珠0染，解沫得a＝统，b＝拘2闲0污.(字2持)纳由从(篮1播)颜知f′(x)映＝彻5x4＋针3a筛x2＋b＝欲5拒(x2－腊1豪)横(x2－萝4疗)别＝薯5师(x＋辜1损)达(x＋盛2款)巩(x－剪1链)雪(x－胶2追)当x∈逃(锐－卫∞饶，蛛－彼2榨)后∪哗(扶－坝1躲,浩1喊)介∪旧(正2迅，准＋辟∞咳)趟时害，f′刚(x)特＞愉0当x∈贪(旦－脏2订，省－捆1孝)串∪艳(漏1衣,震2薪)写时榨，f′雀(x)循＜极0智，因柄此f(x)小的钓单拨调陕增覆区少间画是户(尊－注∞尿，腿－象2驾)放，虹(朴－净1摧,秧1疗)逐，而(属2骗，伟＋抹∞化)序，f(x)慌的忍单废调级减丧区钉间复是晃(店－栗2着，钳－容1世)爸，质(抱1堂,恐2滥)规．1产.着此衔类烂题心主扶要威考免查泡求率函腿数缝的初极肯值迎以没及尸极感值蔬的西应洒用铁，嘉经涨常捕与浪单事调追性鬼、斗最淡值线知播识名结合供应边用谅于贺与闯函阔数衔有粱关荣的欣数餐学勒问敞题努中馆，焰高舌考浩时姜可愈以谷以崭选以择乎题桶、旋填贩空辞题脑形身式茎出现化，院也翁可伪出邪现千在沈中消档揭大社题蚁中译．2报．芳应浓注浩意庄函延数y＝f(x)扮在x＝x0处君可衰导座，懂且闻函悔数y＝f(x)稠在x＝x0处含取叶得沉极彩值则，蔬则f′(x0)后＝懒0好.3流．尤要泉特稼别烤关纸注客三雷次储函批数蜡的殃单逢调激性喂和释极丽值霜问屑题荒．【迹例匪2咸】已矿知子函题数f(x)改＝x(x－a)耕(x－b)在x＝s，x＝t处岩取示到昨极庙值桐，休其族中a>瓜0状，b>营0晶.(拘1欺)设A(s，f(s)强)骡，B(t，f(t)枣)税，求招证往线纺段A尸B中盲点脆在跟曲缝线y＝f(x)上；(配2立)若a＋b<凉2特，判甘断脚过淋原称点漫且断与木曲缺线y＝f(x)相铜切畅的羞两映条敏直衣线梦是爆否面垂跌直侧．解苏答暗：(委1乘)f(x)瓣＝x(x－a)资(x－b)携＝x3－帆(a＋b)x2＋a冶b开x，f′(x)保＝滑3x2－南2川(a＋b)x＋a穴b，由蹦已犯知榴条栏件厘即则剪3国(s2－t2)征－胸2部(a＋b)道(s－t)调＝华0叉，∴s＋t＝成，∴线供段A竿B中谷点横在哪曲酬线y＝f(x)堆上绑．(挤2姨)麦设类过机原近点政且谋与弱曲施线y＝f(x)柿相匹切称的匪直赞线妇与歪曲溉线盆的耗切妙点启为贺(t，t3－衬(a＋b)t2＋a住b万t)杆，覆则＝踏3t2－惰2具(a＋b)t＋a样b，畅整僚理枯得t＝跨，院或t＝销0暂(殖舍牛去予)才．则民过中原裕点臭的信与贴曲真线y＝f(x)英相愉切夏的屠两贺条匆直区线搅的茎斜猾率特分强别姓为a手b，因举此焦过兰原伟点秆且谦与快曲挡线y＝f(x)甚相然切荒的艳两远条妥直烧线碧不博垂步直泼．变受式拘2死.已知稍函波数f(x)座＝a胖x3＋c解x＋d(a≠0殊)虫是胁R心上欲的窑奇我函吵数语，激且f(搂1坑)覆＝寨0筛，f′(错1仰)块＝滨2茂.(晓1饮)狱求a、c、d的摄值妥；(捎2贯)异在y＝f(x)窗的甲图旋象C上耻任丑取地一坑点P，秤在途点P处赏的聪切哪线l与御曲诊线C的累另纪一尖个赵交点轻为Q，级设黄点P的犯横宪坐望标宫为t，锐线方段P粪Q的敢中欧点R的凉纵催坐表标富为u.①用t表缸示u；②当t>赠0徒时升，算求u的鄙最榆大摊值抵．解矛答捧：淡(之1球)∵f(x)弊＝a失x3＋c孟x＋d，∴f′(x)减＝悼3a嗽x2＋c.根阳据拘已旁知乳条膨件搁即日解盯得(烦2贝)由f(x)蔬＝x3－x，f′(x)疫＝章3x2－解1股，P点动坐盐标(t，t3－t)肺，①渐②联伐立胞整洞理奇得(x－t)2(x＋溪2t)翁＝足0迅，则Q点序坐慕标羊为(坟－载2t，梯－骗8t3＋孩2t)匙，要球注再意孝区饰分胀函痰数脱最颜大逝(伍小锤)智值赛与委函滴数骗极烘值葬的字区行别蒙、锋联辽系送．浩函歪数肃的航极杨值皮是武比盐较底极并值阻点吐附柜近前的洗函趋数类值照得释出天的岔，购是朝局绒部绿性管概栗念动，服而脸函佩数雹的马最菜大旋(锹小昨)汇值痕是厚比裕较玩整宝个隐定功义喷区度间巩的足函录数疲值藏得鞠出们的体，快是理对蒸整蒸个妖定姜义孙域关而谁言锈的绍．共在竞闭厦区钻间补[a，b]气上恰连握续街函雷数f(x)踢的悄最衣大给(鸟小丹)廊值散，缸是棚开再区澡间输(a，b)逗内阴所捎有谋极产大奖(猜小鸡)圣值靠与f(a)领、f(b)圆中土的浮最烫大昂(岭小总)骨值旺．【装例宽3肃】请映您阀设富计屑一毁个险帐粪篷君，躲它杨下岭部阶的怎形挺状粉是推高吩为1絮m的膊正肃六糟棱锄柱治，卵上揭部夏的横形取状是派侧山棱号长溪为3刚m的擦正奶六匪棱专锥洪(暂如穗图卷所乓示递)腔．惯试览问涝当尖帐熊篷劈燕的升顶纠点O到勺底双面然中远心O1的嘉距袍离偷为息多马少泽时俩，游帐悠篷念的岸体余积链最臂大钩？解宫答唤：由古题革图象，软设O寇O1为xm在，则1缓<x<音4尸.由填题截设忽可差得被正汤六菌棱旷锥宗底臂面吐边明长从为碧(地单但位：躲m土)麻：于款是眉底筋面州正枪六抹边误形狗的秀面话积美为千(续单毅位：拥m2)颤：帐州篷绸的讲体疤积爱为耗(嘱单映位：届m3)免：求组导牧数帆，残得令V′(x)浙＝兄0输，解划得x＝爱－肿2越(不村合稀题情意笼，冤舍劫去)慈，x＝穴2疾.当1陶<x<蒸2时，V′(x)转>浪0览，V(x)为错增赖函刘数遇；坛当2寺<x<宏4时，V′(x)合<姥0竭，V(x)为塌减田函婚数．所洋以沈当x＝茫2时，V(x)最数大蹲．专当O僚O1为2叉m时割，丧帐顷篷屡的颗体登积跑最肾大.1登．梳在射利蔑用扶导掀数酬确拴定箱函防数绳单咬调压性暑时扔要哈注初意残结攀论“若y＝f(x)唤在种(a，b)厨内高可另导谢，翁且f′(x)涂＞李0骨，休则f(x)访在彩区省间筐(a，b)吧上厨是肾增巩函番数”的摘使鄙用葬方歉法向．身此掌结懒论晨并桐非甩充宾要条新件乘如f(x)房诚＝x3.异在钟(申－∞，蛾＋∞)牛上歼是席递啦增闭的本，卧但f′(辱0汪)客＝漂0甚；冒因宗此脉已裂知夜函瓜数紧的单呼调甜区沿间台求群函振数浊关骨系剃式掌中侧字薪母出范问围拨时脑，镜要走对f′(x)雅＝正0渡处蒙的杰点腊进营行惭检粉验趣．2避．厦若仓函渠数f(x)芦在绿[a，b]贫上烤连闻续谈，铸在幻玉(a，b)倚内拣可惨导琴，距求f(x)侄在差[a，b]饶上为的声最猛大沿值井与竟最小掠值膛的可步泄骤须如纯下鞭：(悉1舅)勒求f(x)葬在喷(a，b)跨内舌的扑极址值材；(虎2付)和将f(x)称的震各嘴极珍值誓与f(a)坊，f(b)衣比巴较怀其宅中术最虑大斗的令是衰最络大准值纽奉，铺最暴小淋的容是党最惕小决值妥；(竞3祖)祖特腰殊石地没对篮于例开撕区告间敏内温的警单笛峰洋函您数劲极千大亲值盾即少为温函帆数哄的膛最肠大污值两，散极迈小沿值牙即摘为集函阔数辫的直最搬小己值蛮.【扯方悉法画规病律斜】(牧本滚题馒满透分看1俗2适分杯)已翁知士函粉数f(x)伪＝x3＋a适x2＋b呜x，决且f′(俱－加1打)驰＝范0尺.(为1晋)试符用够含a的严代伶数策式南表染示b；(巨2清)求f(x)的逃单外调厕区沟间；(恋3极)令a＝套－仗1级，设厌函腰数f(x)在x1，x2(x1<x2)处段取严得瘦极幸值筑，惨记雅点M(x1，f(x1)沉)致，N(x2，f(x2)挤)夕，证柿明莲：停线雅段M沟N与吼曲粱线f(x)存跨在稠异谱于M、N的广公档共伍点透.解安答膨：灾(处1)作由慰已怨知f′(x)并＝x2＋隔2a共x＋b，又f′(双－廉1恼)嫂＝刷0政，则1危－耕2a＋b＝竭0忽，即b＝孕2a－遭1准.(虎2猪)f′(x)晶＝x2＋渣2a洪x＋眉2a－伴1鼻＝碎(x＋服2a－堵1长)援(x＋琴1赠)仪．若－铅(迈2a－贝1欢)醒＝前－吉1即a＝太1绢，f′(x)候＝利(x＋条1张)2≥0瞧，则f(x)的野递感增勇区总间为露(炒－∞，汇＋∞)奇；若－幕(费2a－瞎1单)刺<脊－缸1语，即a>爹1毙，则f(x)的帐递叼增蜓区加间某为(邮－犹∞姿，晋1涂－与2a)秆，剩(凶－征1她，戚＋端∞歇)寨，递造减资区润间岩为(洋1况－赌2a，围－苍1呼)晶；若－践(闪2a－命1葵)越>栗－贼1礼，即a<鸭1漠，则f(x)的瞒递羽增汗区痛间喝为(非－掌∞抹，档－侵1滤)排，爪(闻1挑－戚2a，巴＋踩∞扩)鬼，递别减典区产间绘为(罗－桨1鼓，笨1极－召2a)独．【答义题巨模前板】(办3狗)耳由a＝问－攀1治，f′(x)腿＝接(x＋迎1限)侍(x－杨3屡)付，f(x)烂＝x3－x2－求3x，①则源当x＝舌－键1把，x＝除3绳时壤，f(x)呈取玩到框极刊值f(幻玉－惧1颜)攻＝f(杜3热)肾＝范9啊－可9殃－讯9