复变函数与积分变换-第7章-傅立叶变换课件

第7章傅里叶变换本章学习目标1、了解傅里叶积分;2、理解傅里叶变换;3、掌握函数及傅里叶变换;4、熟悉傅里叶变换的性质.第7章傅里叶变换本章学习目标积分变换所谓积分变换,就是把某函数类A中的函数(象原函数)乘上一个确定的二元函数,然后计算积分,即这样变成另一个函数类B中的函数(象函数).根据选取的二元函数(核函数)不同,就得到不同名称的积分变换.积分变换所谓积分变换,就是把某函数类A中的函数(象原第7章傅里叶变换7.1傅里叶变换的概念与性质第7章傅里叶变换7.1傅里叶变换的概念与性质47.1.1傅里叶积分1、

连续或只有有限个第一类间断点2、

只有有限个极值点这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.在高等数学中学习傅里叶级数时知道，研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可,通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的情况.并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近,而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件,即在区间[-T/2,T/2]上47.1.1傅里叶积分1、连续或只有有限个第一类间断点5因此,任何满足狄氏条件的周期函数

,可表示为三角级数的形式如下:5因此,任何满足狄氏条件的周期函数,可6而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:其中6而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:其中7例1

定义方波函数为如图所示:1-1otf(t)17例1定义方波函数为如图所示:1-1otf(t)1

81-13T=4f4(t)t现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t),令T=4,则81-13T=4f4(t)t现以f(t)为基础构造一周期为9则9则10sinc函数介绍10sinc函数介绍11sinc函数的图形:sinc(x)x11sinc函数的图形:sinc(x)x12前面计算出w12前面计算出w13现在将周期扩大一倍,令T=8,以f(t)为基础构造一周期为8的周期函数f8(t)1-17T=8f8(t)t13现在将周期扩大一倍,令T=8,以f(t)为基础构造一14则14则15则在T=8时,w15则在T=8时,w16如果再将周期增加一倍,令T=16,可计算出w16如果再将周期增加一倍,令T=16,可计算出w17一般地,对于周期T17一般地,对于周期T18当周期T越来越大时,各个频率的正弦波的频率间隔越来越小,而它们的强度在各个频率的轮廓则总是sinc函数的形状,因此,如果将方波函数f(t)看作是周期无穷大的周期函数,则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成,将那个频率上的轮廓即sinc函数的形状看作是f(t)的各个频率成份上的分布,称作f(t)的傅里叶变换.18当周期T越来越大时,各个频率的正弦波的频率间隔越来越小19对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的.

作周期为T的函数fT(t),使其在[-T/2,T/2]之内等于f(t),在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上,则T越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大,这就说明当T时,周期函数fT(t)便可转化为f(t),即有19对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数f20Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)20Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)212122如图{O

w1

w2

w3

wn-1wn{{{w22如图{Ow1w2w3 2323

24此公式称为函数f(t)的傅里叶积分公式,简称傅氏积分公式,而等号右端的积分式称为的傅里叶积分(简称傅氏积分).24此公式称为函数f(t)的傅里叶积分公式,简称傅氏积分

若函数在任何有限区间上满足狄氏条件（即函数在任何有限区间上满足：(1）连续或只有有限个第一类间断点；(2)至多有有限个极值点）,并且在上绝对可积，则有：傅氏积分存在定理

为连续点为间断点若函数在任何有限区间上满足狄氏上式称为傅氏积分的复指数形式，利用欧拉公式，也可以转化为三角形式.26上式称为傅氏积分的复指数形式，利用欧拉公式，也可以转化为三角27又考虑到积分最后这个式子就是傅里叶积分的三角形式27又考虑到积分最后这个式子就是傅里叶积分的三角形式也叫做的傅氏积分表达式

如果函数满足傅里叶积分定理,由傅里叶积分公式,设7.1.2傅里叶变换的概念叫做的傅氏变换,象函数,可记做

=ℱ[]叫做的傅氏逆变换,象原函数,=ℱ也叫做的傅氏积分表达式如果函数例2

求函数的傅氏变换

解例2求函数例3求指数衰减函数的傅氏变换和傅氏积分表达式.解这个指数衰减函数是工程技术中常遇到的一个函数

tf(t)例3求指数衰减函数若上式右端为于是若上式右端为7.1.3－函数及其傅里叶变换

在物理和工程技术中,除了用到指数衰减函数外,还常常会碰到单位脉冲函数.因为在许多物理现象中,除了有连续分布的物理量外,还会有集中在一点的量（点源）,或者具有脉冲性质的量.例如瞬间作用的冲击力,电脉冲等.在电学中,我们要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流；在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍的脉冲函数.有了这种函数,对于许多集中在一点或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等,就能够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来加以解决.7.1.3－函数及其傅里叶变换

在物函数的定义

（1）看作矩形脉冲的极限（2）函数的数学定义（3）物理学家狄拉克给出的定义满足下列两个条件的函数称为函数：Ⅰ

Ⅱ

函数的定义（1）看作矩形脉冲的极限1函数用一个长度等于1的有向线段来表示,如下图o定义为满足下列条件的函数如下图1o1函数用一个长度等于1的有向线段来表示,如下图o

函数的性质

（1）对任意的连续函数,都有

（2）函数为偶函数,即

函数的性质

（1）对任意的连续函数（3）其中,称为单位阶跃函数.反之,有.Otu(t)（3）其中,称为单位阶跃函数..Otu(t)

函数的傅里叶变换由于

=ℱ可见,

ℱ[]=1,ℱ-1[1]=.

与常数1构成了一个傅氏变换对,即与也构成了一个傅氏变换对,即函数的傅里叶变换由于=ℱ可见,ℱ

一些常见函数的傅氏变换和一些傅氏变换对

例4

可以证明单位阶跃函数的傅氏变换为的积分表达式为pwO|F(w)|一些常见函数的傅氏变换和一些傅氏变换对例4可以证明单例5证明的傅氏变换为证明=ℱ所以例5证明的傅氏变换为证明=ℱ所以例6

求正弦函数的傅氏变换可以证明ℱℱpp-w0w0Ow|F(w)|tsint例6求正弦函数的傅氏变换可以证明ℱℱpp-w0w0Ow7.1.4傅里叶变换的性质

1线性性质ℱ=ℱ设为常数则=ℱ

ℱ这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质,为了叙述方便起见,假定在这些性质中,凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件,在证明这些性质时,不再重述这些条件.7.1.4傅里叶变换的性质1线性性质ℱ=ℱ设为常数2对称性质

若=ℱ则以为自变量的函数

的象函数为

即ℱ

ℱ3相似性质=ℱ若则ℱℱ2对称性质

若=ℱ则以为自变量的函数的象函数为即ℱ4平移性质

若=ℱ为实常数,则ℱℱ（1）象原函数的平移性质4平移性质

若=ℱ为实常数,则ℱℱ（1）象原函数的例7

求ℱℱ解因为所以ℱ例7求ℱℱ解因为所以ℱ（2）象函数的平移性质

若=ℱ为实常数,则ℱℱ（2）象函数的平移性质若=ℱ为实常数,则ℱℱ例8已知ℱ求ℱ解ℱℱ显然一般地ℱ例8已知ℱ求ℱ解ℱℱ显然一般地ℱ且则5微分性质若=ℱℱ一般地,若ℱ则ℱ（1）象原函数的微分性质且则5微分性质若=ℱℱ例9证明ℱ证明因为所以ℱℱℱ一般地ℱ例9证明ℱ证明因为所以ℱℱℱ一般地ℱ（2）象函数的微分性质

若=ℱ则ℱ或ℱ例10已知ℱ求ℱ解ℱ（2）象函数的微分性质

若=ℱ则ℱ或ℱ例10已知ℱ求ℱ解ℱ6积分性质若=ℱℱ则在这里必须满足傅氏积分存在定理的条件,若不满足,则这个广义积分应改为ℱ6积分性质若=ℱℱ则在这里第7章傅里叶变换7.2傅里叶变换的应用第7章傅里叶变换7.2傅里叶变换的应用7.2.1傅氏变换的物理意义—频谱

在频谱分析中,傅氏变换

又称为的频谱函数,而它的模

称为的振幅频谱(亦简称为频谱).由于w是连续变化的,我们称之为连续频谱,对一个时间函数作傅氏变换,就是求这个时间函数的频谱.可以证明,频谱为偶函数,即7.2.1傅氏变换的物理意义—频谱在频谱分析中,傅53例1作如图所示的单个矩形脉冲的频谱图f(t)单个矩形脉冲的频谱函数为:t