球棒系统的建模及反馈控制

球棒系统的建模及反馈控制题目: 球棒系统的建模及反馈控制姓名：学院： 工学院 班级：学号：指导教师： 李玉民林相泽 20年6月7日南京农业大学教务处制自动控制原理H实习报告由刚性球和连杆臂构成的球棒系统，如图一所示。连杆在驱动力矩^作用下绕轴心点O做旋转运动。连杆的转角和刚性球在连杆上的位置分别用。，r表示，设刚性球的半径为R。当小球转动时，球的移动和棒的

运动构成复合运动。刚性球与机械臂的动态方程由下式描述选取刚性球的位移，和其速度1，以及机械的转角。及其角速度。.作为状态变量，令x=[xy=r,r,0,QT/可得系统的状态空间表达式1 2 3 4L• 」设球棒系统各参数如下：m=0.05kg,R=0.01m,j—Q,Q2kgm2tJ—2x10-6kgm^,G=9.81m/s^ob一、将系统在平衡点1=0处线性化，求解线性系统模型。首先求系统的平衡点，令G(x)=0,x=0— (xx2-Gsinx— (xx2-Gsinx)=0J 14 3-b-+m即｛R2x=04-2mxxx-mGxcosx 1 12d 1 + T=0

mx2+J+J mx2+J+JV 1 b 1 b，解得TX= imGx=02x=03x=04x=01若要维持系统稳定，平衡状态时Cx若要维持系统稳定，平衡状态时C2x=03x=04用李雅普诺夫第一方法将系统在平衡点处线性化处理如下：经过线性化处理，系统模型为：利用matlab可求得：eZg(A)=[-7.6577.657z-7.657/7.657],可知该系统是不稳定的。二、利用状态反馈将线性系统极点配置于-1±2/,T±2J,求解状态反馈增益，并画出小球初试状态为,=0.3,横杆角度为。=30和初始状态〃 0.3,横杆角度为00=—30时的仿真图像t—xo0先判断系统是否完全能控U=[BABA2B0n0A3B卜050005000-7007.1500-7007.15000x"HI0.1784*图3x"HI0.1784*图3小球初试状态为r=0.3,6=30时系统的仿真图像t-x0可知该系统是完全能控的，可进行状态反馈。极点配置于-1±2j，-2土j的闭环特征多项式为：状态反馈设置令u=V-kx，则状态反馈后系统的状态空间表达式为：利用Matlab编程，最后求得系统状态反馈控制矩阵为：即所求的状态反馈增益。则状态反馈后系统的状态空间表达式为：状态反馈后的模拟结构图为：+-140.1429眉mQgb做出的simupk状态反+-140.1429图国/mulink状态反馈图一 -18下面分别通过M文件和simulink分别进行两种初始状态的仿真 0.2141< Ir=0.3,。=30时4图4初始状态为'=°.3。=30时simulink仿真图OII编写M程序画出小球初试状态为r=-°.3,9=-30时系统的仿真图像t-x，程序中只需将程序一中的x°=[°.3°pi/60]改为x0=[-0.30-pi/60]即可，见图526Simulink仿真的图15图6初始10三、设计具有器增益，并画出，-5杆角度为9=Simulink仿真的图15图6初始10三、设计具有器增益，并画出，-5杆角度为9=-30-10像6所示：口为°.39=-3°时simulink仿真图点的状态观测器，实现状态反馈，给出状态反馈增益和观测9=30和初始状态r=-0.3，横时的仿真图像片x，以及观测器输出与系统状态差值图像（t-e）。由分离性原理，可分别设计状态反馈增益与观测器增益，下面先设计状态反馈增益，然后设计观测器增益—2QI I I I I I I "0 1 2 3 4 567图75加小球态状态为观测器后系统诚拟时系统的仿真图像"XPart1.状态反馈增益的设计由上从求得的仿真图可知，系统的调节时间和超调量都比较大，运行natlab时，系统还提示：Warning:Polelocationsaremorethan10%inerror.因此很有必要通过限制超调量和调整时间重新配置极点。设定系统的超调量却V5%，调整时间为f姑。得

到不等式，解不等式，取&=0.69到不等式，解不等式，取①n=5.796所以n=*n 2=一4土4.2J，将其作为主导极点，另外两个极点可选为任意实部大于5倍，0此处选择-40土4.2j。在matlab中通过acker函数【附录2】直接求得k和A-BK:求得状态反馈增益为k=[-8.0871-2.190645.12001.7600，反馈后的系统矩阵为：Part2设计观测器增益首先判断系统能观性:Rank(U)=4=n系统完全能观，可设计状态观测器。状态观测器为取得较为合适的特征值，根据Re"A-EC｝=(3~5)Re说｛a-BK｝的原则选择观测器的极点s-s--15土4.2j，s=-65土4.2j。由分离性原理知e由分离性原理知e=(A-EC)e在matlab中通过place函数【附录3】直接求得E和A-EC:/75.7求得E=836.512.610.4-75.584.3-75.775.7求得E=836.512.610.4-75.584.3-75.7-835.5-12.6857.51298.7」 |_—857.5\o"CurrentDocument"0 -10.40 75.5-140.1 -84.30 -1297.7-24.5000程序【附录四】画出小球初试状态为r=0.39=30时系统的仿真图像t-x，见图0-10-1-2-3-4-5-6-7-80 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5图8.初试状态为r=0.3,6=30时系统的仿真图像t-xOSimulink搭建e=（A一EC）e系统图如图9图9simulink搭建系统的观测器输出与系统状态差值t-e初试状态为r=0.3,6=30时系统观测器输出与系统状态差值t-e见图10。0图10初试状态为r=0.3,6=30时系统的观测器输出与系统状态差值图像t-e0把上面程序中的x0=[0.30pi/60]改为x0=[-0.30-pi/60]即为小球初试状态为r=-0.3,6=-30时系统的0仿真图像t-x，见图11。

86543210-10.050.10.150.20.250.30.350.40.450.586543210-10.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5图11小球初试状态为r=-0.3,。=-30时系统的仿真图像0观测器输出与系统状态差值图像^-e，见图11图11球初试状态为r=-0.3,6=-30时分析与总结： 。玄斯白加fTKMIl驱龄4JU玄然汁太*/古囱侈,一e系统的观测器输出与系统状态差值图像'e. 、， 该系统搭建出来是一个非线性系统，需要用李雅曰I右天第一万法将系统任平衡点处线性化为四阶线性系统，用能控性判据判断出该系统是完全能控的，可进行状态反馈，第二问中给出了两对目标极点，可利用matlab求得状态反馈增益K，我们得到了反馈后的系统。然后利用simulink仿真，题目中给出了球棒的两种初始状态，我们通过仿真图可以发现系统性能很不理想，超调量过大，调整时间过长，实际上是由于极点选择不当造成的，这样才有了第三问中全维观测器的设计。对原系统进行能观性判断，可知系统完全能观测，可进行观测器设计。由分离性原理，可分开设计状态反馈增益与观测器增益，两者互不干扰，我们自己设定了超调量（5%）和调整时间（1s）,然后求出一对极点，我们运用主导极点的思想，设计了另外一对极点，这样状态反馈增益k就得到了；然后为状态观测器选取特征值，进而用matlab求得观测器增益E，我们用m程序画出t-x仿真图，用simulink画出t-e仿真图，发现系统性能得到了很大提高，符合设计要求。M程序附录：程序一：>>A=[0100;00-140.140;0001;-24.52000];>>B=[0;0;0;50];>>C=[1000;0010];»D二[0];»P二-1-2*j,-l+2*j,-2-j,-2+j];>>K二acker(A,B,P)»A1=A-B*K»u=0;»G二ss(Al,B,C,D);»x0=[0.30pi/60];>>[y,t,x]=initial(G,xO);>>plot(t,x)程序二：»A=[0100;00-140.1430;000l;-24.523000];»B=[0;0;0;50];»C=[1000:0010];»D=[0];»P=[-4-4.2*j,-4+4.2*j,-40-4.2*j,-40-4.2*j];>>K=acker(A,B,P)〉〉A-B*K程序三：»A=[0100;00-140.140;000l;-24.52000];»B=[0;0;0;50];»C=[1000:0010];»D=[0];〉〉P=[T5+4.2*j-15-4.2*j-65+4.2*j-65-4.2*j];»C=C5;»A=A5;>>E=place(A,C,P);〉〉E'〉〉A=A-(E')*(C')程序四»A二[0100;00-140.140;000l;-24.52000];»B=[0;0;0;50];»C=[l000:0010];»D=[0];»P二[-15+4.2*j-15-4.2*j-65+4.2*j-65-4.2*j];»C二C';»A二A'