分形知识讲解

问题引入——海岸线有多长？1.为什么长度已不是海岸线的特征量？2.为什么在测量海岸线长度时，随测量单位的减小，海岸线长度会越来越大？3.如何建立海岸线的数学模型任何海岸线在一定意义上都是无限长的逼近Koch曲线分形Fractal分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。本意是“不规则的、破碎的、分数的”。是指以非整数维形式充填空间的形态特征。维度Dimensionality与分维维度，又称维数，是数学中独立参数的数目。

点、线、面、球面、球体、波段传统维度都是整数，高维对象无法用低维来度量一类连续的但处处不可导的曲线，其维度d满足：1<d<2，称分维如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：

a^D=b,D=logb/loga的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。Koch曲线的分形维数是log4/log3≈1.26分形的主要用途分形体没有特征尺度，不能用一般测度即长度、面积、体积这类几何对象的特征量来表示，只能用分形维数(Fractaldimension，也即“分维”)来度量，因而分维已成为描述无标度现象的特征参数。分形树以自然界中的丫字形树杈为生成元，将生成元在每一个层次上不断重复，会得到分形树。

分形树的编程实现方法：

分形树的编程实现方法：递归算法LS文法迭代函数系统算法Koch雪花Koch曲线1904年，瑞典数学家科赫（H.vonKoch，1870~1924）构造了一种“妖魔曲线”，被称为Koch曲线。取一条欧式长度为L0的直线段，将其三等分，保留两端的线段，将中间的一段改为夹角为60o的两个等长的直线，再将长度为L0/3的4个直线段分别三等分，并将中间部分改换成60o的两段长为L0/9的直线段，以此类推，重复至无穷，便得到像雪花一样的具有自相似结构的折线，这便是Koch曲线。

Koch曲线构造规则：

1．三等分一条线段；

2．用一个等边三角形替你代第一步划分三等分的中间部分；

3．在每一条直线上，重复第二步。

Koch曲线是以上步骤地无限重复的极限结果。

Koch曲线的长度为无穷大，因为以上的变换都是一条线段变四条线段，每一条线段的长度是上一级的1/3，因此操作n步的总长度是(4/3)n：若n→∞，则总长度趋于无穷。Koch曲线的分形维数是log

4/log

3

≈

1.26，其维数大于线的维数（1）Koch曲线是连续的，但是处处不可导的Koch雪花的面积是这里的s是最初三角形的边长，Koch雪花的面积是原三角形面积的8/5，它成为一条无限长的边界围绕着一个有限的面积的几何对象。Cantor三分集德国数学家康托（G.Cantor，1845~1918）在1883年曾构造了一种三分集:

取一条欧式长度为L0的直线段，L0叫做初始操作长度。将这条直线段三等分之后，保留两端的线段，将中间的一段扔掉，再将剩下的两条直线段分别三等分，然后将中间部分扔掉，以此重复至无穷，便形成了无数个尘埃似的点，这就是著名的Cantor三分集。在数学方面，康托集是由德国数学家康托于1883年引入的（但在1875年就由Henry

John

Stephen

Smith发现了），它是一个取自简单直线段上的点集，它有若干非凡而又深刻的性质。通过对它的思考，康托和其他助手奠定了现代一般拓扑学基础。虽然康托自己用抽象的方法定义了这个集合，但一般而言，现代最流行的构造是康托三分集，它是通过将一条线段的中间部分去掉而获得的。康托自己只是顺便提及了三重构造，作为无处稠密的完备集的一般例子。三分集的构造

康托三分集是由重复删除直线段中间的三分之一开区间而创造出来的。先从区间[0，1]中间删除开区间(1/3,

2/3)，留下两边线段：[0,

1/3]

∪

[2/3,

1]。下一步，删除留下的线段的各自的三分之一中间段，剩下四条直线段：[0,

1/9]

∪

[2/9,

1/3]

∪

[2/3,

7/9]

∪

[8/9,

1]。无限重复这一过程，则第n个集合是。康托三分集包含区间[0,

1]内在每一步没被删除的所有的点。

康托集的被扣下去的部分是等比级数，其长度

这样，康托集的总长度为1-1=0。

计算表明康托集不包括任何非零的长度。事实上，令人惊讶的是，它可能在所有中间被扣掉的部分之和就等于它的最初的长度。然而，仔细观察这个过程却有很重要的东西被剩下，因为重复地消除只是中间的1/3开集（这个集合不包含它的端点）。从最初的[0，1]线段中除去(1/3,

2/3)，而两个端点1/3和

2/3被留下。随后的操作，不移动这些端点，因为被移除的部分总是在剩余部分的内部。所以康托集是非空的，而事实上，它包括无限多个点。

分形的艺术——定义

狭义：分形艺术是指根据分形几何的科学原理，通过计算机软件创造出来的具有审美功能的图形、动画等艺术作品。

广义：凡是具有分形思想的艺术作品都可称之为分形艺术。

狭义的分形艺术可以划归电脑艺术（数码艺术）门类，而广义的分形艺术也包括通过手工绘制而成的作品。分形的艺术——特点继承了传统美学的形式法则对称与均衡节奏与韵律渐变与特异对比与和谐……

分形的艺术——特点

有不同于传统美学的一面

“分形图案的复杂性来自简单数学关系的反复迭代，其感召力寓于无穷层次局部与整体的自相似，理解其美学价值需要有一定的思想深度。”

——北京大学非线性科学中心主任赵凯华分形的艺术——特点自相似性定义：

在通常的几何相似性不变的分形，称为自相似。通俗地说分形的自相似性就是一种跨越不同尺度的对称。分形的艺术——特点极小性

分形艺术的极小性是源自其自相似性。

动态的看，分形艺术是一种具有无限极小性的艺术。

原因：无限极小性主要取决于其几何属性即嵌套性和迭代性。分形的艺术——特点嵌套性定义：

美学角度上讲嵌套性是一种图案的渐变与递进，图中有图，图中生图，无可穷尽是嵌套性在美学上的特征。

“不论是自然界中的个体分形形态，还是数学方法产生的分形图案，都有无穷嵌套、细分再细分的自相似的几何结构。” ——王本楠《科学与艺术的联姻》分形的艺术——特点缠绕性定义：

在分形艺术中充满了分叉、缠绕、不规则的元素，她给我们一种返璞归真的感觉，而这种美学特性即为分形图案的缠绕性。

分形艺术的美学秩序是一种无序中的秩序，这里的无序并不是混乱，而是一种几何秩序在视觉上的表现，即混沌性。分形的艺术——特点自相似性极小性嵌套性缠绕性分形的艺术——特点先看一下自然界存在的分形吧！分形的艺术——特点分形的艺术——特点还原真实的自然

冬天的雪花、窗花，天上的云、植物的叶子、树木等，都具有分形的特征，这些特征，用古典的欧氏几何是没法表示的，从而被称作“怪物”。

但是运用分形的原理，却可以得到与自然真实相似的效果。分形的艺术——应用图片书籍装帧广告装饰服装设计影视……分形的艺术——对艺术的意义

分形艺术对艺术最直接的贡献就是带来了新的造型语言及表达方式。分形艺术借助计算机技术构造复杂的几何图形并“诗意”地处理这些图形，

表现出新的风格，开辟了视觉传达的新领域。

分形艺术这种不同干传统绘画艺术的创作方式，也打破了“艺术只属于艺术家”的传统，使任何人都有可能创作自己的艺术作品，成为艺术家。分形理论的应用经济管理方面的应用为经济管理领域研究提供了一种全新的工具。

在国家宏观经济研究、人力资源管理、股市行情、经济奇异吸引子的维测度等都得到应用。景观生态的应用地形和自然景观的建模自然景观仿真研究信息处理方面物理方面在分形凝聚中的应用在固体物理中的应用在多孔介质运输中的应用在薄膜研究中的应用在湍流研究中的应用在电磁散射中的应用在分子光谱中的应用在粒子物理中的应用在分形量子力学中的应用遥感发展的契机？基于分形理论的东莞市土地利用空间格局变化研究

各种土地利用类型在空间上镶嵌分布并有机地结合在一起而形成的土地利用镶嵌体，是一种在自然界中形成的分形几何体。通过分维来定量化地描述非线性结构的复杂程度.MandelbrotB.B.研究分形几何体的形态结构，建立了如下模型InA(r)=2lnP(r)/D+CA(r)和P(r)分别为每一种土地利用类型每一斑块图斑的面积和周长，D为土地利用结构的分维值(理论值为1~2）定义了景观要素的稳定性指数SI=D-1.5

当D为1.5时，SI等于0，处于最不稳定状态，大于零表示空间格局处于形态简单状态，而小于零表示处于形态复杂状态，SI距离零越大，状态越稳定。RegionGroupArcGis工具分别对01和06年的图像矢量化2001年东莞2006年东莞属性表案例应用城市水域农田森林果园提取各类土地利用的斑块（共5类)2001年东莞2006年东莞Selection城市用地城市用地森林森林还有水域、农田、果园添加面积和周长字段SPSS求对数并作拟合曲线回归分析2001年城市用地面积一周长双对数拟合曲线2006年森林面积一周长双对数拟合曲线东莞市土地利用类型分形模型、分维数和稳定性指数

年份土地利用类型模型（回归方程）判别系数RF校验值分维数D稳定性指数SI2001年城市InA(r)=0.560+1.459*lnP(r)0.985152964.161.3708019190.129198081水域InA(r)=0.338+1.490*lnP(r)0.981452876.2231.3422818790.157718121农田InA(r)=0.340+1.490*lnP(r)0.985450324.2241.3422818790.157718121森林InA(r)=0.231+1.506*lnP(r)0.984388758.5051.3280212480.171978752果园InA(r)=0.555+1.459*lnP(r)0.985171345.8591.3708019190.1291980812006年城市InA(r)=3.001+1.082*lnP(r)0.828961.3571.848428835-0.348428835水域InA(r)=0.846+1.410*lnP(r)0.936139208.9011.4184397160.081560284农田InA(r)=1.199+1.354*lnP(r)0.92180323.6891.4771048740.022895126森林InA(r)=1.317+1.334*lnP(r)0.90544344.0111.4992503750.000749625果园InA(r)=2.076+1.230*lnP(r)0.87412224.9891.62601626-0.126016262006年的各地类的分维数都较2001年的提高，说明东莞市这些年来的土地利用镶嵌结构越来越复杂，景观格局破碎度较大2006年的水域、农田、森林的稳定度越来越接近零，