定积分元素法课件

第一节定积分的元素法第二节平面图形的面积内容提要：重点：难点：定积分的元素法,平面图形的面积的求法.定积分的元素法,平面图形的面积的求法.定积分的元素法,第六章定积分的应用1第一节定积分的元素法第二节平面图形的面积内容提要：和我们知道求由所围成的曲边梯形的面积A须经过以下四个步骤：

（2）近似计算：（4）取极限：（3）求和：分成n个小区间，（1）分割:把设第i个小曲边梯形的面积为则：第一节定积分的元素法2和我们知道求由所围成的曲边梯形的面积A须经过以下四个步骤（2）A对于区间[a,b]具有可加性，即整个曲边梯形的面积等于所有小曲边梯形面积的和。在上面的问题中，所求的量面积A有如下性质：（1）A是一个与变量x的区间[a,b]有关的量；即：A的精确值，近似代替部分量时，它们只相差一比高阶的无穷小，因此和式的极限就是（3）以3（2）A对于区间[a,b]具有可加性，即整个曲边梯形的面积等（3）写出A的积分表达式，即：求A的积分表达式的步骤可简化如下：（1）确定积分变量x及积分区间[a，b]；以作为的近似值。（2）在[a,b]上任取小区间即：叫做面积元素,记为4（3）写出A的积分表达式，即：求A的积分表达式的步骤可简化如具体步骤是：

那么这个量就可以用积分来表示。（叫做积分元素）（3）写出U的积分表达式，即：（1）根据具体问题，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]；（2）在[a,b]上任取小区间[x,x+dx]，求出U在这个小区间上的近似表达式这种方法叫做定积分的元素法。一般地，如果某一实际问题中的所求量U符合下列条件：（1）U是与一个变量x的变化区间[a，b]有关的量；（2）U对于区间[a，b]具有可加性；的近似值可表示为（3）部分量5具体步骤是：（叫做积分元素）（3）写出U的积一、直角坐标情形例１计算由所围成的图形的面积。

这两条抛物线所围成的图形如图所示和得抛物线的两个交点取x为积分变量，积分区间为在上任取小区间面积元素为故所求面积为11第二节平面图形的面积解解方程组，6一、直角坐标情形例１计算由所围成的图形的面积。这两条

注：当然所求的面积可以看作是两个曲边梯形面积的差，即117注：当然所求的面积可以看作是两个曲边梯形面积的差，即117例２计算抛物线与直线所围成的图形的面积。

注：当然这个题也可以用元素法来解。这个图形如右图所示，以y为积分变量，所求的面积为解得交点解方程组8例２计算抛物线与直线所围成的图形的面积。注：当然这个题也例3求椭圆所围成的图形的面积利用椭圆的参数方程应用定积分换元法，令则：当x由0变到a时，t由变到0，所以：设椭圆在第一象限部分的面积为解则椭圆的面积为9例3求椭圆所围成的图形的面积利用椭圆的参数方程应用定积分一般地，当曲边梯形的曲边:由参数方程给出时，则由曲边梯形的面积公式及定积分的换元公式可知，曲边梯形的面积为在（或）上具有连续导数，适合：如果连续10一般地，当曲边梯形的曲边:由参数方程给出时，二、极坐标情形下面我们求这个曲边扇形的面积。所以曲边扇形的面积为：设由曲线及射线围成一图形（称为曲边扇形）。面积元素为：为取极角积分变量，积分区间为任取小区间，。在上连续，且假设。圆扇形面积公式为11二、极坐标情形下面我们求这个曲边扇形的面积。例4计算阿基米德螺线上相应于从0变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积。在此区间上任取小区间，于是所求面积为面积元素为解积分变量为积分区间为12例4计算阿基米德螺线上相应于从0变到2π的一段例5计算心形线所围成的图形面积。因此所求图形的面积A是