第7章梁的变形分析与刚度计算课件

第7章梁的变形分析与刚度计算2023年8月1日第7章2023年7月31日1

位移是指弹性体受力变形后，一点位置的改变。对于杆件则指横截面在杆件受力变形后的位置改变。

位移是杆件各部分变形累加的结果。位移与变形有着密切联系，但又有严格区别。有变形不一定处处有位移；有位移也不一定有变形。这是因为，杆件横截面的位移不仅与变形有关，而且还与杆件所受的约束有关。

只要在弹性范围内加载，不管产生什么位移，杆件均保持为连续体，并在约束处满足变形协调要求。位移是指弹性体受力变形后，一点位置的改变。对2

在数学上，确定杆件横截面位移的过程主要是积分运算，积分限或积分常数则与约束条件和连续条件有关。

若材料的应力一应变关系满足胡克定律，又在弹性范围内加载，则位移与力（均为广义的）之间均存在线性关系。因此，不同的力在同一处引起的同一种位移可以相互叠加。

本章将在本书第4章和第5章中有关变形分析的基础上，建立位移与杆件横截面上的内力分量以及刚度之间的关系，进而建立弹性杆件刚度设计准则。在数学上，确定杆件横截面位移的过程主要是积分运37.1梁的变形与梁的位移7.2梁的小挠度微分方程及其积分7.3叠加法确定梁的挠度与转角7.5简单静不定梁7.6

结论与讨论7.4梁的刚度问题7.1梁的变形与梁的位移7.2梁的小挠度微分方程及其47.1梁的变形与梁的位移7.1梁的变形与梁的位移5梁弯曲时的微段变形梁弯曲时的微段变形6梁弯曲时的总体变形微段变形累加的结果梁的轴线变成光滑连续曲线梁弯曲时的总体变形微段变形累加的结果梁的轴线变成7横截面形心铅垂方向的位移－挠度

w横截面相对于初始位置转过的角度转角

梁的横截面产生两种主要位移：梁弯曲时的总体变形微段变形累加的结果横截面形心铅垂方向横截面相对于初始位置梁的横截面产生两种主要8梁弯曲时的总体变形横截面相对于初始位置转过的角度转角二者之间的关系：横截面形心铅垂方向的位移－挠度w梁弯曲时的总体变形横截面相对于初始位置转过的角度转角二者9约束对梁位移的影响没有约束无法确定绝对位移约束对梁位移的影响没有约束无法确定绝对位移10连续光滑曲线；支承确定了曲线的空间位置约束对梁位移的影响连续光滑曲线；支承确定了曲线的空间位置约束对梁位移的影响11约束对梁位移的影响连续光滑曲线；支承确定了曲线的空间位置约束对梁位移的影响连续光滑曲线；支承确定了曲线的空间位置12二梁的受力(包括载荷与约束力)是否相同？二梁的弯矩是否相同？二梁的变形是否相同？二梁的位移是否相同？

正确回答这些问题，有利于理解位移与变形之间的相依关系。关于变形和位移的相依关系二梁的受力(包括载荷与约束力)是否相同？二梁的弯矩是否相同？13关于变形和位移的相依关系

BC段有没有变形？有没有位移？没有变形为什么会有位移？FPABC

总体变形是微段变形累加的结果;

有位移不一定有变形。关于变形和位移的相依关系BC段有没有变形？有没有位移14

关于梁的连续光滑曲线关于梁的连续光滑曲线15梁的连续光滑曲线

由M

的方向确定轴线的凹凸性;

由约束性质及连续光滑性确定挠曲线的大致形状及位置。梁的连续光滑曲线由M的方向确定轴线的凹凸性;由约16梁的连续光滑曲线

试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状梁的连续光滑曲线试根据连续光滑性质以及约束17梁的连续光滑曲线

梁的连续光滑曲线18梁的连续光滑曲线

试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状梁的连续光滑曲线试根据连续光滑性质以及约束19梁的连续光滑曲线梁的连续光滑曲线20梁的连续光滑曲线

试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状梁的连续光滑曲线试根据连续光滑性质以及约束21梁的连续光滑曲线梁的连续光滑曲线227.2梁的小挠度微分方程及其积分7.2梁的小挠度微分方程及其积分237.2.1小挠度微分方程力学中的曲率公式数学中的曲率公式7.2.1小挠度微分方程力学中的曲率公式数学中的曲率公式24弹性曲线的小挠度微分方程小挠度情形下7.2.1小挠度微分方程弹性曲线的小挠度微分方程小挠度情形下7.2.1小挠度微分257.2.1小挠度微分方程7.2.1小挠度微分方程26

对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：

其中C、D为积分常数。

7.2.2小挠度微分方程的积分与积分常数对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M27

积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：

在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于零：w=0;

连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：w1=w2，θ1＝θ2等等。

在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：w=0，θ＝0。积分常数的确定积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是28

应用举例应用举例29例题

1

求：梁的弯曲挠度与转角方程，以及最大挠度和最大转角。

已知：左端固定、右端自由的悬臂梁承受均布载荷。均布载荷集度为q

，梁的弯曲刚度为EI、长度为l。q、EI、l均已知。例题1求：梁的弯曲挠度与转角方程，以及最30例题

1

解：1．建立Oxw坐标系

建立Oxw坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即无需分段。

2．建立梁的弯矩方程Oxw例题1解：1．建立Oxw坐标系31例题

1解：2．建立梁的弯矩方程xM(x)FQ(x)

从坐标为x的任意截面处截开，因为固定端有两个约束力，考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以考虑右侧部分的平衡，得到弯矩方程：

例题1解：2．建立梁的弯矩方程xM(x)FQ(x)323．

建立微分方程并积分Oxw

解：2．建立梁的弯矩方程将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得

例题

13．

建立微分方程并积分Oxw解：2．建立梁的弯矩方程将上33例题

13．

建立微分方程并积分Oxw积分后，得到

例题13．

建立微分方程并积分Oxw积分后，得到34例题

1解：4．

利用约束条件确定积分常数固定端处的约束条件为：

例题1解：4．

利用约束条件确定积分常数固定端处的约束35例题

1解：5．

确定挠度与转角方程例题1解：5．

确定挠度与转角方程36例题

1解：6．

确定最大挠度与最大转角

从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最大值。

于是，将x=l，分别代入挠度方程与转角方程，得到：

例题1解：6．

确定最大挠度与最大转角从挠度曲37例题

2

求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。

已知：简支梁受力如图所示。FP、EI、l均为已知。例题2求：加力点B的挠度和支承A、C处的38例题

2

解：1．

确定梁约束力

因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段建立弯矩方程。

首先，应用静力学方法求得梁在支承A、C二处的约束力分别如图中所示。

2．

分段建立梁的弯矩方程

在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力3FP/4和荷载FP。例题2解：1．

确定梁约束力39例题

2AB段

解：2．

分段建立梁的弯矩方程BC段

于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为

例题2AB段解：2．

分段建立梁的弯矩方程BC40例题

2解：3．

将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分

例题2解：3．

将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积41解：3．

将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分积分后，得

其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和AB段与BC段梁交界处的连续条件确定。例题

2解：3．

将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分积分后42例题

2解：4．

利用约束条件和连续条件确定积分常数

在支座A、C两处挠度应为零，即x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即

x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2例题2解：4．

利用约束条件和连续条件确定积分常数43例题

2解：4．

利用约束条件和连续条件确定积分常数

x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2D1＝D2=0例题2解：4．

利用约束条件和连续条件确定积分常数x44例题

2解：5．

确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角

将所得的积分常数代入后,得到梁的转角和挠度方程为：

AB段

BC段

据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为

例题2解：5．

确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的45

确定约束力,判断是否需要分段以及分几段

分段建立挠度微分方程

微分方程的积分

利用约束条件和连续条件确定积分常数

确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角积分法小结

分段写出弯矩方程确定约束力,判断是否需要分段以及分几段分段建立挠度微46梁的连续光滑挠曲线(1)判断梁变形后挠曲线的大致形状yx讨论分析方法？梁的连续光滑挠曲线(1)判断梁变形后挠曲线的大致形状yx讨47梁的连续光滑挠曲线(1)梁的连续光滑挠曲线(1)48梁的连续光滑挠曲线(1)判断梁变形后挠曲线的大致形状正确答案：D分析方法？梁的连续光滑挠曲线(1)判断梁变形后挠曲线的大致形状正确答49梁的连续光滑挠曲线(2)判断梁变形后挠曲线的大致形状正确答案：D分析方法？正确答案是哪个？梁的连续光滑挠曲线(2)判断梁变形后挠曲线的大致形状正确答50梁的连续光滑挠曲线(3)判断梁变形后挠曲线的大致形状正确答案：C分析方法？正确答案是哪个？梁的连续光滑挠曲线(3)判断梁变形后挠曲线的大致形状正确答51C为正确答案的根据？结论与讨论cc还有其它方法吗？C为正确答案的根据？结论与讨论cc还有其它方法吗？52长为L重为G的均质梁放置于刚性地面如图所示，当力F=G/3作用于该梁一端，求离地长度a=？例解：根据变形连续条件离地处曲率为零FaL长为L重为G的均质梁放置于刚性地面如图所示，例解：根据变形连537.3叠加法确定梁的挠度与转角7.3叠加法确定梁的挠度与转角54

在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表。

基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用叠加法（superpositionmethod）由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。计算梁位移的叠加法在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的557.3.1

叠加法应用于多个载荷作用的情形7.3.2

叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形7.3.3

叠加法应用于确定斜弯曲时的位移7.3.1叠加法应用于多个载荷作用的情形7.3.2567.3.1

叠加法应用于多个载荷作用的情形7.3.1叠加法应用于多个载荷作用的情形57

当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。

7.3.1

叠加法应用于多个载荷作用的情形

当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分解为各种载荷58已知：简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度wC；B截面的转角B例题

37.3.1

叠加法应用于多个载荷作用的情形

已知：简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠59解：1.将梁上的载荷变为3种简单的情形。例题

37.3.1

叠加法应用于多个载荷作用的情形

解：1.将梁上的载荷变为3种简单的情形。例题37.360例题

3解：2.由挠度表查得3种情形下C截面的挠度；B截面的转角。7.3.1

叠加法应用于多个载荷作用的情形

例题3解：2.由挠度表查得3种情形下C截面的挠度；B截面61例题

3解：3.应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加

将上述结果按代数值相加，分别得到梁C截面的挠度和支座B处的转角:

7.3.1

叠加法应用于多个载荷作用的情形

例题3解：3.应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠627.3.2

叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形7.3.2叠加法应用于间断63叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形

对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可以将间断性分布载荷，变为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加法。

叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形对于间断性分布64已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度和转角wC和C例题

4已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠65例题

4解：1.首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形

为利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。

例题4解：1.首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形66例题

4

分别画出这两种情形下的挠度曲线大致形状。于是，由挠度表中关于承受均布载荷悬臂梁的计算结果，上述两种情形下自由端的挠度和转角分别为

解：2．再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起挠度和转角。

例题4分别画出这两种情形下的挠度曲线大致形状。于67例题

4

两种情形下自由端的挠度和转角分别为

解：2．再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起挠度和转角。

例题4两种情形下自由端的挠度和转角分别为解：268例题

4解：3．将简单载荷作用的结果叠加

例题4解：3．将简单载荷作用的结果叠加69第二类叠加法应用于弹性支承与简单刚架

用叠加法求AB梁上E处的挠度wE注意结构的几何特征、载荷特征和变形特征第二类叠加法应用于弹性支承与简单刚架用叠加法求注意结构70wE2

第二类叠加法应用于弹性支承与简单刚架wE=wE1+wE2

=wE1+wB/2wB=?wE1逐段刚化后进行变形叠加wE2第二类叠加法应用于弹性支承与简单刚架wE=w71

第二类叠加法应用于弹性支承与简单刚架wB=wB1+wB2+wB3第二类叠加法应用于弹性支承与简单刚架wB=wB1+w72§用叠加法求弯曲变形（讨论题）例：长度为L的矩形截面梁如图所示放置，求杆中部挠度0.5LA问题转化为，计算A截面的挠度L根据变形特征进行模型转化法查表法§用叠加法求弯曲变形（讨论题）例：长度为L的矩形截面梁如图73用叠加法求弯曲变形例：自重W，长度为3L的矩形截面杆如图所示放置，求杆中部间隙，AB力学计算模型1.5L0.5L0.5WA问题转化为，计算A截面的挠度力学建模训练用叠加法求弯曲变形例：自重W，长度为3L的矩形截面杆如图所示74

叠加法应用于确定斜弯曲时的位移叠加法应用于确定斜弯曲时的位移75

叠加法应用于确定斜弯曲时的位移

为了确定斜弯曲情形下梁的挠度和转角，根据叠加原理，在小变形和线弹性的条件下，斜弯曲可以分解为两个平面弯曲的叠加，即将作用线与主轴不一致的载荷FP沿两个形心主轴方向（y与z）分解为FPy和FPz，二者分别在y和z方向产生挠度wy和wz。两个方向的挠度wy和wz都是矢量。将二者叠加就是确定其矢量和，即得梁在斜弯曲情形下的总挠度矢量w。

叠加法应用于确定斜弯曲时的位移为了确定斜弯曲情76

叠加法应用于确定斜弯曲时的位移叠加法应用于确定斜弯曲时的位移77

叠加法应用于确定斜弯曲时的位移=?叠加法应用于确定斜弯曲时的位移=?78

叠加法应用于确定斜弯曲时的位移

综合第5章和本章中关于斜弯曲的分析结果，斜弯曲与平面弯曲的主要区别在于：

斜弯曲加载方向与横截面的形心主轴方向不一致。

斜弯曲情形下中性轴虽然通过横截面形心，但与加载方向不垂直。

斜弯曲情形下总挠度的方向与加载方向不一致。

叠加法应用于确定斜弯曲时的位移综合第5章和本章中797.4梁的刚度问题7.4梁的刚度问题807.4.1

刚度计算的工程意义变形后的齿轮轴7.4.1刚度计算的工程意义变形后的齿轮轴81

对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角(或者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，即满足弯曲刚度设计准则：wmax

[w],max

[]w和θ分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。

7.4.2

刚度设计准则对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根82

需要指出的是，刚度设计与强度设计的重要区别是，它不是以应力是否达到屈服应力或强度极限作为设计的依据，而是以限制弹性位移的大小作为设计的依据。以刚度要求作为依据设计出的杆件，其应力在多数情形下都在比例极限以下。

7.4.2

刚度设计准则需要指出的是，刚度设计与强度设计的重要区别是，它不是83

刚度设计示例刚度设计示例84刚度设计的工程意义

对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。

刚度设计的工程意义对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和85例题

7已知：钢制圆轴，左端受力为FP，FP＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承B处的许用转角θ=0.5°。试：根据刚度要求确定该轴的直径d。

解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。

B例题7已知：钢制圆轴，左端受力为FP，FP＝20kN，86例题

7

解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。

1．查表确定B处的转角由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为B例题7解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足87例题

71．查表确定B处的转角由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为B2．根据刚度设计准则确定轴的直径

根据设计要求，

例题71．查表确定B处的转角B2．根据刚度设计准则确定轴88例题

7B2．根据刚度设计准则确定轴的直径

根据设计要求，

其中，的单位为rad（弧度），而θ的单位为（°）（度），考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径

例题7B2．根据刚度设计准则确定轴的直径其中，的单位为897.5简单静不定梁7.5简单静不定梁90

静不定问题的基本概念

求解静不定问题的基本方法

几种简单的静不定问题示例静不定问题的基本概念求解静不定问题的基本方法91

静不定问题的基本概念静不定问题的基本概念92静不定次数——未知力个数与独立平衡方程数之差静定问题与静定结构——未知力（内力或外力）个数等于独立的平衡方程数静不定问题与静不定结构——未知力个数多于独立的平衡方程数多余约束——保持结构静定多余的约束静不定问题的基本概念静不定次数——未知力个数与独立平衡方程数之差静定问题与静定结937.5.2

求解静不定问题的基本方法7.5.2求解静不定问题的基本方法94求解静不定问题的基本方法

静定与静不定的辩证关系

由于多余约束的存在，使问题由静力学可解变为静力学不可解，这只是问题的一个方面。问题的另一方面是，由于多余约束对结构位移或变形有着确定的限制，而位移或变形又是与力相联系的，因而多余约束又为求解静不定问题提供了条件。

求解静不定问题的基本方法静定与静不定的辩证95求解静不定问题的基本方法

根据以上分析，求解静不定问题．除了平衡方程外，还需要根据多余约束对位移或变形的限制，建立各部分位移或变形之间的几何关系，即建立几何方程，称为变形协调方程（compatibilityequation）,并建立力与位移或变形之间的物理关系，即物理方程或称本构方程（constitutiveequations）。将这二者联立才能找到求解静不定问题所需的补充方程。

可见，求解静不定问题，需要综合考察结构的平衡、变形协调与物理等三方面，这就是求解静不定问题的基本方法。这与第8章中分析正应力的方法是相似的。求解静不定问题的基本方法根据以上分析，求解963-3=04-3=1lMAABFAyFAxqlABMAFAyFAxFB简单的静不定梁3-3=04-3=1lMAABFAyFAxqlABMAF97简单的静不定梁5－3＝26－3＝3FBxMBBlAMAFAyFAxFByBlAMAFAyFAxFBxFBy简单的静不定梁5－3＝26－3＝3FBxMBBlAMAF98

应用小变形概念可以推知某些未知量

由于在小变形条件下，梁的轴向位移忽略不计，静定梁自由端B处水平位移u=0。既然u=0，在没有轴向载荷作用的情形下，固定铰支座和固定端处便不会产生水平约束力，即FAx

＝FBx=0。FBxBlAMAFAyFAxFBy应用小变形概念可以推知某些未知量由于在小变形条99

应用小变形概念可以推知某些未知量BlAMAFAyFAxFBy

因此，求解这种静不定问题只需1个补充方程。可以写出变形协调方程为应用小变形概念可以推知某些未知量BlAMAFAyFA100

应用对称性分析可以推知某些未知量FAx=FBx=0,FAy=FBy=ql/2,MA=MB

对于两端固定的梁，同样有FBx=0，但这时的多余约束力除FBy外，又增加了MB。于是需要两个补充方程。但是，利用对称性分析，这种梁不仅结构和约束都对称，而且外加载荷也是对称的，即梁的中间截面为对称面。于是可以确定：MBBlAMAFAyFBy应用对称性分析可以推知某些未知量FAx=FBx=0101

应用对称性分析可以推知某些未知量FAx=FBx=0,FAy=FBy=ql/2,MA=MBMBBlAMAql/2ql/2应用对称性分析可以推知某些未知量FAx=FBx=0102

应用对称性分析可以推知某些未知量MBBlAMAql/2ql/2

与未知力偶MB对应的约束是对截面B转角的限制，故这种情形下的变形协调方程为

应用对称性分析可以推知某些未知量MBBlAMAql/103例题

6求:

梁的约束力已知：A端固定、B端铰支梁的弯曲刚度为EI、长度为lBAl例题6求:梁的约束力已知：A端固定、B端铰支梁的弯曲刚104例题

6解：1、平衡方程:2、变形协调方程：

FAy+FBy-ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0BlAMAFAyFAxFB例题6解：1、平衡方程:2、变形协调方程：FAy+FBy105例题

63、物性关系：2、变形协调方程：

wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl3/3EIwB(q)wB(FBy)BlAMAFAyFAxlBAMAFAyFAxFB例题63、物性关系：2、变形协调方程：wB=wB(q)+106例题

6BlAFB解：4、综合求解FAy+FBy-ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0由平衡方程、变形协调方程、物性关系联立解出:wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl3/3EIFBy=3ql/8,FAx=0,MA=ql2/8FAy=5ql/8,例题6BlAFB解：4、综合求解FAy+FBy-q107§

6-5简单静不定梁（叠加法）结构能否再优化使Mmax减小§6-5简单静不定梁（叠加法）结构能否再优化使Mma108（叠加法）RA变形协调条件RARBAyBMB

Mx弯矩图简单静不定梁（叠加法）RA变形协调条件RARBAyBMBMx弯矩图简单1097.6.4

关于求解静不定问题的讨论7.6.4关于求解静不定问题的讨论110BlA静定系统的选取与变形协调条件的建立解除一端的固定端约束，使结构变成静定的悬臂梁MBFByMAFAyBlAMAFAyMBFByBlA静定系统的选取与变形协调条件的建立解除一端的固定端约111静定系统的选取与变形协调条件的建立解除一端的固定端约束，使结构变成静定的悬臂梁lABMBMAFByFA