广东省重点名校2023年数学高二第二学期期末检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是实数，函数，若，则函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．2．已知平面向量，则（）A． B．3 C． D．53．已知不等式x-b≥alnx(a≠0)对任意x∈(0,+∞)恒成立，则A．1-ln2 B．1-ln34．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（）A．平面内的三条直线a,b,c，若a⊥c,b⊥c，则a//b.类比推出：空间中的三条直线a,b,c，若a⊥c,b⊥c，则a//bB．平面内的三条直线a,b,c，若a//c,b//c，则a//b.类比推出：空间中的三条向量a,b,cC．在平面内，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1D．若a,b,c,d∈R，则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d.类比推理：“若a,b,c,d∈Q，则a+b25．在极坐标系中，曲线，曲线，若曲线与交于两点，则线段的长度为（）A．2 B． C． D．16．已知函数在区间上为单调函数，且，则函数的解析式为（）A． B．C． D．7．已知是函数的一个零点，若，则（）A．, B．,C．, D．,8．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的（）A．-4 B．-7 C．-22 D．-329．已知随机变量服从正态分布,且,则()A． B． C． D．10．设集合,，则（）A． B． C． D．11．已知点，则它的极坐标是（）A． B．C． D．12．已知函数的导函数为，若，则函数的图像可能是()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设向量a,b,c满足,,,若,则的值是________14．设函数，则满足的的取值范是____________．15．把一个大金属球表面涂漆，共需公斤油漆，若把这个大金属球融化成个大小都相同的小金属球，不计损耗，把这些小金属球表面都涂漆，需要这种油漆_______公斤.16．关于的不等式恒成立，则的取值范围为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加.下表是某购物网站2017年1-8月促销费用（万元）和产品销量（万件）的具体数据.（1）根据数据可知与具有线性相关关系，请建立关于的回归方程（系数精确到）；（2）已知6月份该购物网站为庆祝成立1周年，特制定奖励制度：以（单位：件）表示日销量，，则每位员工每日奖励100元；，则每位员工每日奖励150元；，则每位员工每日奖励200元.现已知该网站6月份日销量服从正态分布，请你计算某位员工当月奖励金额总数大约多少元.（当月奖励金额总数精确到百分位）参考数据：，，其中，分别为第个月的促销费用和产品销量，.参考公式：（1）对于一组数据，，，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.（2）若随机变量服从正态分布，则，.18．（12分）在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆的极坐标方程；（Ⅱ）设点为圆上一点，且点的极坐标为，射线绕点逆时针旋转后得射线，其中也在圆上，求的最大值．19．（12分）已知函数．（Ⅰ）若函数f（x）的最小值为8，求实数a的值；（Ⅱ）若函数g（x）＝|f（x）|+f（x）﹣16有4个零点，求实数a的取值范围．20．（12分）如图，在正四棱锥中，为底面的中心，已知，点为棱上一点，以为基底，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；（2）设二面角的平面角为，且，试判断点的位置．21．（12分）某届奥运会上，中国队以26金18银26铜的成绩称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查结果只有“满意”和“不满意”两种，从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：

班号

一班

二班三班

四班

五班

六班

频数

5

9

11

9

7

9

满意人数

4

7

8

5

6

6（1）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（2）若从一班至二班的调查对象中随机选取4人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．22．（10分）3名男生、2名女生站成一排照相：（1）两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？（2）两名女生要相邻，有多少种不同的站法？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】分析：根据函数f（x）=x2（x﹣m），求导，把f′（﹣1）=﹣1代入导数f′（x）求得m的值，再令f′（x）>0，解不等式即得函数f（x）的单调增区间．详解：f′（x）=2x（x﹣m）+x2∵f′（﹣1）=﹣1∴﹣2（﹣1﹣m）+1=﹣1解得m=﹣2，∴令2x（x+2）+x2>0，解得,或x>0，∴函数f（x）的单调减区间是．故选：A．点睛：求函数的单调区间的方法(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．2、A【解析】

先由的坐标，得到的坐标，进而可得向量的模.【详解】因为，所以，因此.故选A【点睛】本题主要考查向量的模，熟记向量的坐标表示即可，属于常考题型.3、C【解析】

构造函数gx=x-alnx-b，利用导数求出函数y=gx的最小值，由gxmin≥0得出【详解】构造函数gx=x-alnx-b，由题意知①当a<0时，∀x>0，g'x>0，此时，函数y=g当x→0时，gx→-∞，此时，②当a>0时，令g'x=当0<x<a时，g'x<0；当x>a所以，函数y=gx在x=a处取得极小值，亦即最小值，即g∴b≤a-alna，构造函数ha=1-lna-2令h'a=0，得a=2。当0<a<2时，h'a此时，函数y=ha在a=2处取得极大值，亦即最大值，即h因此，b-2a的最大值为-ln2【点睛】本题考查函数恒成立问题，考查了函数的单调性，训练了导数在求最值中的应用，渗透了分类讨论的思想，构造函数利用导数研究函数的最值是解决函数不等式恒成立的常用方法，考查分析问题的能力，属于难题。4、D【解析】

对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案【详解】对于A，空间中，三条直线a，b，c，若a⊥c，对于B，若b=0，则若a//b对于C，在平面上，正三角形的面积比是边长比的平方，类比推出在空间中，正四面体的体积是棱长比的立方，棱长比为12，则它们的体积比为1对于D，在有理数Q中，由a+b2=c+d2可得，b=d，故正确综上所述，故选D【点睛】本题考查的知识点是类比推理，解题的关键是逐一判断命题的真假，属于基础题．5、B【解析】

分别将曲线，的极坐标方程化为普通方程，根据直线与圆相交，利用点到直线的距离公式结合垂径定理，可得结果【详解】根据题意，曲线曲线，则直线与圆相交，圆的半径为，圆心到直线的距离为设长为，则有，即解得（舍负）故线段的长度为故选【点睛】本题主要考查的是极坐标与直角坐标方程的互化，圆的方程以及直线与圆的位置关系，是一道基础题6、C【解析】

由函数在区间上为单调函数，得周期，，得出图像关于对称，可求出，，得出函数的对称轴，结合对称中心和周期的范围，求出周期，即可求解.【详解】设的最小正周期为，在区间上具有单调性，则，即，由知，有对称中心，所以.由，且，所以有对称轴.故.解得，于是，解得，所以.故选：C【点睛】本题考查正弦函数图象的对称性、单调性和周期性及其求法，属于中档题.7、B【解析】

转化是函数的一个零点为是函数与的交点的横坐标,画出函数图像,利用图像判断即可【详解】因为是函数的一个零点,则是函数与的交点的横坐标,画出函数图像,如图所示,则当时,在下方,即；当时,在上方,即,故选：B【点睛】本题考查函数的零点问题,考查数形结合思想与转化思想8、A【解析】

模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i＝6时不满足条件i＜6，退出循环，输出S的值为S+1﹣9+16﹣25＝﹣18，从而解得S的值．【详解】解：由题意，模拟执行程序，可得i＝2，满足条件i＜6，满足条件i是偶数，S＝S+1，i＝3满足条件i＜6，不满足条件i是偶数，S＝S+1﹣9，i＝1满足条件i＜6，满足条件i是偶数，S＝S+1﹣9+16，i＝5满足条件i＜6，不满足条件i是偶数，S＝S+1﹣9+16﹣25，i＝6不满足条件i＜6，退出循环，输出S的值为S+1﹣9+16﹣25＝﹣18，故解得：S＝﹣1．故选A．点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序，正确得到循环结束时S的表达式是解题的关键，属于基础题．9、B【解析】

先计算出，由正态密度曲线的对称性得出，于是得出可得出答案．【详解】由题可知，，由于，所以，，因此，，故选B.【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率，考查正态密度曲线的对称性，解题时要注意正态密度曲线的对称轴，利用对称性来计算，考查运算求解能力，属于基础题．10、C【解析】

先求出集合、，再利用交集的运算律可得出集合.【详解】，，因此，，故选C.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生对于集合运算律的理解应用，对于无限集之间的运算，还可以结合数轴来理解，考查计算能力，属于基础题．11、C【解析】

由计算即可。【详解】在相应的极坐标系下，由于点位于第四象限，且极角满足，所以.故选C.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。12、D【解析】

根据导数的几何意义和，确定函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，即可得出结论．【详解】函数的导函数为，，∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故选：D．【点睛】本题考查函数的图象与其导函数的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)．∵(a－b)⊥c，∴(a－b)·[－(a＋b)]＝0.即|a|2－|b|2＝0，∴|a|＝|b|＝1，∵a⊥b，∴a·b＝0，∴|c|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋b2＝1＋0＋1＝2.∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.14、.【解析】分析：画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可.详解：函数的图象如图：满足，可得或，解得.故答案为：.点睛：本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考查计算能力.15、【解析】

根据大金属球和64个小金属球体积相同，求半径的比值，再求大金属球和64个小金属球的表面积比值，最后求油漆数量.【详解】，，，.故答案为：【点睛】本题考查球的体积和表面积的实际应用问题，重点考查表面积和体积公式，关键是利用前后体积相等求半径的比值，属于基础题型.16、【解析】

由题意得，由绝对值三角不等式求出函数的最小值，从而可求出实数的取值范围.【详解】由题意得，由绝对值三角不等式得，，因此，实数的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，同时也考查了利用绝对值三角不等式求最值，解题时要结合题中条件转化为函数的最值来求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】试题分析：（1）先求均值，再代入公式求以及，即得回归方程，（2）先根据正态分布计算各区间概率，再根据概率乘以总数得频数，最后将频数与对应奖励相乘求和得结果.试题解析：（1）由题可知，，将数据代入得所以关于的回归方程（2）由题6月份日销量服从正态分布，则日销量在的概率为，日销量在的概率为，日销量的概率为，所以每位员工当月的奖励金额总数为元.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）先求出圆的普通方程，再，由求得极坐标方程。（Ⅱ）设，则由都在圆上知且，借助两角和的余弦公式与辅助角公式化简可得，再结合角的取值范围得到答案。【详解】（Ⅰ）由题意知圆的普通方程为，由得，，即圆的极坐标方程为；（Ⅱ）设，则由都在圆上知且，于是，又，所以，所以当，即时，．【点睛】本题考查参数方程与极坐标方程的转化，以及通过三角函数求最值问题，属于一般题。19、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】

（Ⅰ）利用换元法，结合二次函数进行分类讨论求解；（Ⅱ）先求的零点，结合二次方程根的分布情况可得实数a的取值范围．【详解】（Ⅰ）函数，令，易知t∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），则h（t）＝t2﹣2at+2a2﹣2在（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）上的最小值为8，函数h（t）的对称轴为t＝a，①当a≥2时，，此时；②当a≤﹣2时，，此时；③当﹣2＜a＜0时，，此时无解；④当0≤a＜2时，＝h（2）＝2a2﹣4a+2＝8，此时无解；故实数a的值为.（Ⅱ）令g（x）＝0，则f（x）＝8，则由题意，方程t2﹣2at+2a2﹣2＝8，即t2﹣2at+2a2﹣10＝0必有两根，且一根小于﹣2，另一根大于2，则，解得﹣1＜a＜1．故实数a的取值范围为．【点睛】本题主要考查分类讨论求解最值问题和根的分布，二次函数一般是从对称轴与区间的位置关系进行讨论，侧重考查分类讨论的数学思想.20、（1）；（2）点位于棱的三等分点处.【解析】

先由题意，得到，，，的坐标，以及向量，的坐标；（1）根据题中条件，得到，求出平面的一个法向量，根据，结合题中条件，即可求出结果；（2）先由题意，得到存在实数，使得，进而得到，分别求出平面和平面的一个法向量，根据向量夹角公式，结合题中条件，列出等式，求出，即可得出结果.