6-2牛莱公式及简单定积分计算

第2节牛莱公式与简单定 积分计算一、问题的提出二、积分上限函数及其导数三、牛顿—莱布尼茨公式四、凑微法简单积分计算五、小结6-2牛莱公式及简单定积分计算变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为

设某物体作直线运动,已知速度)(tvv=是时间间隔上

t

的一个连续函数,且0)(³tv,求物体在这段时间内所经过的路程.

一、问题的提出6-2牛莱公式及简单定积分计算定理6.2.1

二、积分上限函数及其导数

称为积分上限函数.性质：证明

如果)(xf在],[ba上可积，则积分上限的函数在],[ba上连续.因为)(xf在],[ba上可积，则在有界.)(xf6-2牛莱公式及简单定积分计算由积分中值定理得由极限性质知,由连续函数定义知,],[ba上连续.函数在定理6.2.2(连续函数的原函数存在定理）

如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数在],[ba可导，且它的导数为定理的重要意义：(1)肯定了连续函数的原函数是存在的.(2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.6-2牛莱公式及简单定积分计算证明证毕.由函数的连续性和积分中值定理得由定理6.2.1的证明知,对区间端点的情况用单侧导数说明即可.6-2牛莱公式及简单定积分计算求上限函数的导数应注意:“”中的表达式是一样的.例1

求根据上限函数求导数公式得解6-2牛莱公式及简单定积分计算定理证明6-2牛莱公式及简单定积分计算例2

已知解由上限函数的求导公式的例3

设,求解

6-2牛莱公式及简单定积分计算三、牛顿—莱布尼茨公式

定理6.2.3（微积分基本公式）证明

令6-2牛莱公式及简单定积分计算微积分基本公式表明：注意求定积分问题转化为求原函数的问题.例4

求解

6-2牛莱公式及简单定积分计算例5

计算解

例6

下列计算是否正确?解不正确.因为上不可积.被积函数在积分区间上为正,但积分值是负的,与积分性质矛盾.使用牛莱公式时,一定要注意被积函数在积分区间上的可积性.6-2牛莱公式及简单定积分计算例7

计算解

注意:恒等变形时,一定要使被积函数有意义.例8

计算解原式注意:计算定积分开根号时,一定要带绝对值.6-2牛莱公式及简单定积分计算练习：注意:当被积函数带有绝对值时,先去绝对值.例11

求

解四、简单定积分的计算----凑微法6-2牛莱公式及简单定积分计算例12

计算解解例13

计算6-2牛莱公式及简单定积分计算解例14

计算原式例15

设函数为连续的奇函数,且已知求积分的值.解6-2牛莱公式及简单定积分计算例16(030204)

设,则()解因为当时,故这便排除了选项(C)和(D).又令则即在单调增加,6-2牛莱公式及简单定积分计算有故即选项(B)正确.6-2牛莱公式及简单定积分计算五、综合题(1)求导数例１已知函数由方程确定。求解方程两边关于求导数得解得6-2牛莱公式及简单定积分计算解

例２已知由参数方程求确定，6-2牛莱公式及简单定积分计算例３求解分析：这是型不定式，应用洛必达法则.(2)求不定式的极限6-2牛莱公式及简单定积分计算(3)利用牛顿莱布尼兹公式及定积分定义求和式极限例6求解原式6-2牛莱公式及简单定积分计算证明(4)证明单调性、方程的根6-2牛莱公式及简单定积分计算6-2牛莱公式及简单定积分计算提示：6-2牛莱公式及简单定积分计算

例９(040403)

设

(A)在点不连续.(B)在内连续,在点不可导

(D)在内可导,但不一定满足(C)在内可导,且满足(5)求函数关系并讨论其连续性则()6-2牛莱公式及简单定积分计算当时,当时,显然当时,解在处连续当时,当时,在处不可导.故B正确6-2牛莱公式及简单定积分计算3.微积分基本公式1.积分上限函数2.积分上限函数的导数牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．五、小结6-2牛莱公式及简单定积分计算思考题思考题解答

6-2牛莱公式及简单定积分计算(980205)确定常数的值,使解因为时且故思考6-2牛莱公式及简单定积分计算若则在内若则在内故(*)均不成立.再用罗必达法则:若则上式为与条件不符,故从而再用罗必达法则得6-2牛莱公式及简单定积分计算练习题

6-2牛莱公式及简单定积分计算6-