2.4.1抛物线及其标准方程

2.4.1抛物线及其标准方程2.4.1抛物线及其标准方程(2)2.4.1抛物线及其标准方程(2)2.4.1抛物线及其标准方程(2)小结：2.4.1抛物线及其标准方程(2)抛物线的生活实例喷泉灯卫星接收天线2.4.1抛物线及其标准方程(2)2.4.1抛物线及其标准方程(2)2.4.1抛物线及其标准方程(2)抛物线的生活实例抛球运动2.4.1抛物线及其标准方程(2)复习回顾：

我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：

都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.·MFl0＜e

＜1(2)当e＞1时，是双曲线;(1)当0<e<1时,是椭圆;(其中定点不在定直线上)lF·Me＞1那么,当e=1时，它又是什么曲线

？2.4.1抛物线及其标准方程(2)问题探究：当e=1时，即|MF|=|MH|，点M的轨迹是什么？探究？几何画板观察

可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)

我们把这样的一条曲线叫做抛物线.M·Fl·e=12.4.1抛物线及其标准方程(2)M·Fl·e=1

在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点,直线l叫抛物线的准线|MF|=dd为M到l的距离准线焦点d一、抛物线的定义:2.4.1抛物线及其标准方程(2)M·Fl·e=1二、标准方程的推导如何建立坐标系呢？

思考：抛物线是轴对称图形吗？2.4.1抛物线及其标准方程(2)1.建立坐标系2.设动点坐标,相关点的坐标.3.列方程4.化简,整理l

解：以过F且垂直于l的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.两边平方,整理得xKyoM(x,y)F二、标准方程的推导依题意得5.证明（略）这就是所求的轨迹方程.2.4.1抛物线及其标准方程(2)三、标准方程

把方程y2=2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中p为正常数,表示焦点在x轴正半轴上.且p的几何意义是:焦点到准线的距离焦点坐标是准线方程为:想一想:

坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单？﹒yxo方案(1)﹒yxo方案(2)﹒yxo方案(3)﹒yxo方案(4)2.4.1抛物线及其标准方程(2)y2=2px(p>0)想一想?

这种坐标系下的抛物线方程形式怎样?四种标准方程

一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四种形式.2.4.1抛物线及其标准方程(2)﹒yxo﹒yxo﹒yxo﹒yxo(三)抛物线的标准方程图形焦点准线方程标准方程y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)y2=2px(p>0)2.4.1抛物线及其标准方程(2)图形标准方程抛物线的四种标准方程对比2.如何根据抛物线的标准方程来判断抛物线的焦点位置及开口方向？①焦点在一次项字母对应的坐标轴上.

②一次项系数的符号决定了抛物线的开口方向.1.抛物线的四种标准方程形式上有什么共同特点?左边都是平方项，右边都是一次项.2.4.1抛物线及其标准方程(2)

2.已知抛物线的标准方程是y2=-6x

，则它的焦点坐标是,准线方程是.

3.已知抛物线的方程是y=6ax2（a≠0），则它的焦点坐标是,准线方程是.应用：类题一（由方程求有关量）1.已知抛物线的标准方程是y2=6x

，则它的焦点坐标是,准线方程是.感悟：求抛物线的焦点坐标和准线方程要注意两点:1.先化为标准方程2.判断焦点的位置是一次项系数的是一次项系数的相反数即：准确“定型”2.4.1抛物线及其标准方程(2)练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）

方程焦点准线开口方向开口向右开口向左开口向上开口向下2.4.1抛物线及其标准方程(2)

1.

焦点为F（-2，0），则抛物线的标准方程为_______.2.准线方程是y

=

-2，则抛物线的标准方程为_______.3.焦点到准线的距离是4,则抛物线的标准方程为___________________________________.y2=-8xx2=8yy2=±8x、x2=±8y（1）（2）应用：类题二（由有关量求标准方程）感悟：1.“定型”“定量”2.如果焦点位置或者开口方向不定则要注意分类讨论.2.4.1抛物线及其标准方程(2)4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向．1.抛物线的定义:2.抛物线的标准方程有四种不同的形式:每一对焦点和准线对应一种形式.3.p的几何意义是:焦点到准线的距离2.4.1抛物线及其标准方程(2)P66例1（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的方程是y=－6x2，求它的焦点坐标和准线方程；（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程。解：因为ｐ＝３，故焦点坐标为（－,０）准线方程为x=-－.3232

112解:方程可化为:x=-－y,故p=－,焦点坐标为(0,-－),准线方程为y=－.16

124

1242解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准方程为:x=-8y22.4.1抛物线及其标准方程(2)P67练习1：1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程是x=；（3）焦点到准线的距离是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y2.4.1抛物线及其标准方程(2)P67课堂练习2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2=20x(2)x2=y(3)2y2+5x=0(4)x2+8y=0焦点坐标准线方程(1)(2)(3)(4)（5，0）x=-5（0，—）18y=-—188x=—5（-—，0）58（0，-2）y=22.4.1抛物线及其标准方程(2)

思考:M是抛物线y2=2px（p＞0）上一点，若点

M

的横坐标为x0，则点M到焦点的距离是

————————————x0+—2pOyx．FM．这就是抛物线的焦半径公式!2.4.1抛物线及其标准方程(2)3、(1)抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点的距离是a，则点M到准线的距离是__________，点M的横坐标为_______

a

-—2pOyx．FM．P67练习3(1)a2.4.1抛物线及其标准方程(2)3、(2)抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标为_______

Oyx．FM．P67练习3(2)3-32.4.1抛物线及其标准方程(2)2.若抛物线y2=8x上一点M到原点的距离等于点M到准线的距离，则点M的坐标是_________.

2.4.1抛物线及其标准方程(2)变式练习:已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程.解:因为是焦点在x

轴上且过M点的抛物线,所以设标准方程为由抛物线的定义知-(-3)=5即p=4.所以所求抛物线标准方程为y2=-8xy2=-2px(p>0)数形结合,用定义转化条件。2.4.1抛物线及其标准方程(2)

5.求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程.．AOyx感悟：1.待定系数法2.数形结合3.分类讨论应用：类题二（由有关量求标准方程）2.4.1抛物线及其标准方程(2)oxy4.求焦点在直线3x+4y-12=0上的抛物线的标准方程.应用：类题二（由有关量求标准方程）标准方程对应的抛物线焦点在坐标轴上.分析:2.4.1抛物线及其标准方程(2)例2点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程.解：如图,设点M的坐标为(x,y),依题意可知点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离，根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4,0）为焦点的抛物线.∵焦点在x轴的正半轴上，∴点M的轨迹方程为：y2=16xll’MxOyF2.4.1抛物线及其标准方程(2)题型一利用抛物线的定义求方程例1:若动圆M与圆C:(x-2)2+y2=1外切,又与直线x+1=0相切,则动圆圆心的轨迹方程是()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x答案:A2.4.1抛物线及其标准方程(2)解析:如图所示,设动圆圆心为M(x,y),半径为R,由题设可知定圆圆心为C(2,0),半径r=1.∵两圆外切,∴|MC|=R+1.又动圆M与已知直线x+1=0相切,∴圆心M到直线x+1=0的距离d=R,∴|MC|=d+1.即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x+2=0的距离.由抛物线的定义可知点M的轨迹为以C为焦点,x+2=0为准线的抛物线,其方程为y2=8x.故正确答案为A.2.4.1抛物线及其标准方程(2)变式训练1:动点P到点(3,0)的距离比它到直线x=-2的距离大1,则动点P的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线C.双曲线一支 D.抛物线解析:将直线x=-2向左平移一个单位,由已知可得动点P到点(3,0)的距离等于到直线x=-3的距离.答案:D2.4.1抛物线及其标准方程(2)2.抛物线y2=8x的准线方程是()A.x=-2B.x=-4C.y=-2D.y=-4答案:A解析:y2=8x=2·4x,∴p=4,准线方程为2.4.1抛物线及其标准方程(2)答案:B解析:x2=ay的准线方程为,∴a=-8.2.4.1抛物线及其标准方程(2)答案:C2.4.1抛物线及其标准方程(2)答案:B2.4.1抛物线及其标准方程(2)2.4.1抛物线及其标准方程(2)6.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点,且过点P(2,4),则该抛物线的方程为__________.y2=8x

解析:设抛物线方程为y2=ax,又抛物线过点P(2,4),则16=2a,∴a=8,∴y2=8x.2.4.1抛物线及其标准方程(2)7.(2008上海,6)若直线ax-y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点,则实数a=__________.-1解析:由y2=4x得焦点F(1,0),代入直线方程得a+1=0.∴a=-1.2.4.1抛物线及其标准方程(2)11.(2010·福建卷)以抛物线y2=4x的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为()A.x2+y2+2x=0B.x2+y2+x=0C.x2+y2-x=0D.x2+y2-2x=0解析:∵抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),∴圆心坐标为(1,0),半径r=1,∴圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.答案:D2.4.1抛物线及其标准方程(2)题型二求抛物线的标准方程例2:求适合下列条件的抛物线的标准方程.分析:首先需确定使用哪种标准方程形式,若无法确定,则应讨论,然后由条件求p的值.2.4.1抛物线及其标准方程(2)例2:求适合下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点(-3,2);2.4.1抛物线及其标准方程(2)(2)①令x=0,由方程x-2y-4=0得y=-2,∴当抛物线的焦点为F(0,-2)时,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则由=2得p=4,∴所求抛物线方程为x2=-8y.②令y=0,由方程x-2y-4=0得x=4,∴当抛物线的焦点为F(4,0)时,设抛物线方程为y2=2px(p>0),则由

=4得p=8,∴所求抛物线方程为y2=16x.综上,所求抛物线方程为x2=-8y或y2=16x.例2:求适合下列条件的抛物线的标准方程.(2)焦点在直线x-2y-4=0上;2.4.1抛物线及其标准方程(2)(3)∵焦点到准线的距离为∴p=∴所求抛物线方程为:y2=5x或y2=-5x或x2=5y或x2=-5y.规律技巧:(1)抛物线的标准方程有四种形状,主要看其焦点的位置和开口方向.(2)不知道焦点的具体位置时,标准方程有两种一般形式:y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0).例2:求适合下列条件的抛物线的标准方程.(3)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为2.4.1抛物线及其标准方程(2)变式训练2:分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点(3,-4);解:(1)∵点(3,-4)在第四象限,∴设抛物线标准方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p1y(p1>0).把点(3,-4)的坐标分别代入y2=2px和x2=-2p1y,得(-4)2=2p\53,32=-2p1\5(-4),2.4.1抛物线及其标准方程(2)(2)令x=0得y=-5,令y=0得x=-15.∴抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0).故所求的抛物线的标准方程为x2=-20y或y2=-60x.变式训练2:分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(2)焦点在直线x+3y+15=0上.2.4.1抛物线及其标准方程(2)1.到定点(3,5)与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹是()A.圆B.抛物线C.线段D.直线解析:因为定点(3,5)在直线上,所以点的轨迹是直线.答案:D2.4.1抛物线及其标准方程(2)方法：利用平移2.4.1抛物线及其标准方程(2)3.动点P到点A(0,2)的距离比到直线l:y=-4的距离小2，则动点P的轨迹方程为________x2=8y2.4.1抛物线及其标准方程(2) 1.抓住标准方程的特点,注意与焦点位置,开口方向的对应关系;2.抛物线的定义反映了抛物线的本质，灵活应用定义往往可以化繁为简、化难为易，且思路清晰，解法简捷，巧妙解法常常来源于对定义的恰当运用.2.4.1抛物线及其标准方程(2)题型三与抛物线有关的最值问题例3:已知抛物线x2=4y,点P是抛物线上的动点,点A的坐标为(12,6).求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和的最小值.提示：利用准线2.4.1抛物线及其标准方程(2)分析:由定义知,抛物线上的点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离d,求|PA|与点P到x轴的距离之和的最小值,转化成求|PA|+d-的最小值.2.4.1抛物线及其标准方程(2)解:如下图,易判断知点A在抛物线外侧,设P(x,y),则P到x轴的距离即y值,设P到准线y=-1的距离为d,则y=d-1.故|PA|+y=|PA|+d-1,由抛物线定义知|PF|=d.于是|PA|+d-1=|PA|+|PF|-1.由图可知,当A､P､F三点共线时,|PA|+|PF|取最小值为13.故所求距离之和的最小值为|FA|-1=12.2.4.1抛物线及其标准方程(2)规律技巧:定义是解决问题的基础和灵魂,要善于思考定义和应用定义,本题如果设P点坐标为(x,y),利用两点间距离公式求解,无法得到答案.由抛物线定义可知,|PF|等于P点到准线的距离,当P､A､F三点共线时,|PA|+|PF|的距离最小,这体现了数学中的转化思想.2.4.1抛物线及其标准方程(2)变式训练3:(2008·辽宁高考)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()解析:由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.由图可知,P点,(0,2)点和抛物线的焦点(0.5,0)三点共线时距离之和最小.2.4.1抛物线及其标准方程(2)答案:A2.4.1抛物线及其标准方程(2)1.已知定点A(3,2)和抛物线y2=2x,F是抛物线焦点，试在抛物线上求一点P,使PA与PF的距离之和最小，并求出这个最小值.提示：利用点到直线距离定义及二次函数最值提示：利用准线2.4.1抛物线及其标准方程(2)题型四抛物线的应用例4:一辆卡车高3m,宽1.6m,欲通过断面为抛物线形的隧道,如下图所示,已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍,若拱宽为am,求能使卡车通过的a的