黑龙江省伊春市宜春姜璜中学高三数学理下学期期末试卷含解析

黑龙江省伊春市宜春姜璜中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a1，a2，a3，…，a8为各项都大于零的数列，则“a1+a8＜a4+a5”是“a1，a2，a3，…，a8不是等比数列”的(

) A．充分且必要条件 B．充分但非必要条件 C．必要但非充分条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B考点：等差关系的确定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先假设八个整数成等比数列且q≠1，利用等比数列的通项公式表示出（a1+a8）﹣（a4+a5），分别对q＞1和q＜1分类讨论，可推断出a1+a8＞a4+a5一定成立，反之若a1+a8＜a4+a5，则a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，推断出条件的充分性；若a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，a1+a8＜a4+a5，不一定成立，综合答案可得．解答： 解：若八个正数，成等比数列公比q＞0，（a1+a8）﹣（a4+a5）=a1=a1当0＜q＜1，时（q3﹣1）＜0，（q4﹣1）＜0∴a1＞0当q＞1，时（q3﹣1）＞0，（q4﹣1）＞0∴a1＞0所以a1+a8＞a4+a5，故若a1+a8＜a4+a5，则a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，若a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，a1+a8＜a4+a5，不一定成立，故“a1+a8＜a4+a5”是“a1，a2，a3，…，a8不是等比数列”的充分非必要条件．故选B点评：本题主要考查了等比关系的确定以及充分条件，必要条件充分必要条件的判定．考查了学生分析问题和基本的推理能力．2.已知数列为等比数列，且，设等差数列的前n项和为，若，则=(

)A．36

B．32

C．24

D．22参考答案：A略3.在空间中，若、表示不同的平面，、、表示不同直线，则以下命题中正确的有（

）①若∥，∥，∥，则∥②若⊥，⊥，⊥，则⊥③若⊥，⊥，∥，则∥④若∥，，，则∥A.①④

B.

②③

C.

②④

D.②③④参考答案：B4.2010年，我国南方省市遭遇旱涝灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图，在区域内植树，第一棵树在点，第二棵树在点，第三棵树在点，第四棵树在点，接着按图中箭头方向，每隔一个单位种一颗树，那么，第2014棵树所在的点的坐标是（

）A.(9,44)

B.(10,44)

C.(10.43)

D.(11,43)参考答案：B5.设是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图像，则＋＝（

）A、3

B、2

C、1

D、0

参考答案：C6.若是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有和的值是（

）A、2010

B、2011

C、2012

D、2013

参考答案：C略7.函数y＝(x＜0)的值域是()A．(－1,0)

B．－3,0)C．－3,1

D．(－∞，0)参考答案：By＝，∵x＜0，∴－x＞0且y＜0，∴x＋＝－(－x＋)≤－2，∴y＝≥－3，当且仅当x＝－1时等号成立．

8.若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，a=f（log23），b=f（log45），c=f（2），则a，b，c满足（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a参考答案：B【考点】3F：函数单调性的性质；4M：对数值大小的比较．【分析】由偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，可得f（x）在{0，+∞）上单调递增，比较三个自变量的大小，可得答案．【解答】解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，∴f（x）在{0，+∞）上单调递增，∵2＞log23=log49＞log45，2＞2，∴f（log45）＜f（log23）＜f（2），∴b＜a＜c，故选：B．9.已知函数，则不等式的解集为（

）A．(－∞,2] B． C． D．(－∞,0]∪[1,2]参考答案：D当时，，即为，解得；当时，，即为，解得，综上可得，原不等式的解集为，故选D．10.（多选题）下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递增的是（

）A. B.C. D.参考答案：BC【分析】易知A,B,C,D四个选项中的函数的定义域均为,先利用与的关系判断奇偶性,再判断单调性,即可得到结果.【详解】由题,易知A,B,C,D四个选项中的函数的定义域均为,对于选项A,,则为奇函数,故A不符合题意；对于选项B,,即为偶函数,当时,设,则,由对勾函数性质可得,当时是增函数,又单调递增,所以在上单调递增,故B符合题意；对于选项C,,即为偶函数,由二次函数性质可知对称轴为,则在上单调递增,故C符合题意；对于选项D,由余弦函数的性质可知是偶函数,但在不恒增,故D不符合题意；故选:BC【点睛】本题考查由解析式判断函数的奇偶性和单调性,熟练掌握各函数的基本性质是解题关键.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知随机变量的分布列如右表，则

；

.12

参考答案：，12.20世纪30年代，里克特（C．F．Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪测量地震能量的等级，地震能量越大，地震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．假设在一次地震中，一个距离震中100km的测震仪记录的最大振幅是20，此时标准地震的振幅为0．001，则此次地震的震级为

(精确到0．1，已知）．参考答案：4.313.下展展示了一个由区间到实数集R的映射过程：区间中的实数m对应数轴上的点m，如图①；将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为，如图③.图③中直线AM与轴交于点，则的象就是n，记作.下列说法中正确命题的序号是__________.（填出所有正确命题的序号）①； ②是奇函数；

③在定义域上单调递增；④的图象关于点的对称.参考答案：略14.将函数的图像向左平移个单位，所得的图像对应的函数为偶函数，则的最小值为

.参考答案：15.已知点F为椭圆的左焦点，直线与C相交于M，N两点（其中M在第一象限），若，，则C的离心率的最大值是____．参考答案：【分析】设右焦点为,连接,由椭圆对称性得四边形为矩形，结合椭圆定义及勾股定理得a,c不等式求解即可【详解】设右焦点为,连接,由椭圆对称性知四边形为平行四边形，又=2c=，故为矩形，=，，即,∴又,故0<e≤故答案为【点睛】本题考查椭圆的几何性质，椭圆定义的应用，转化化归思想，利用定义转化为矩形是关键，是中档题16.

不等式>，对一切实数都成立，则实数的取值范围为_______

__．参考答案：17.给出定义:若，（其中m.为整数），则m叫做离实效x最近的整数。记作，即，，在此基础上给出下列关于函数的四个命题:①的定义域是R，值域是②点是的图象的对称中心，其中③函数的周期为1④函数在上是增函数上述命题中真命题的序号是A.①②

B.②③

C.①③

D.②④参考答案：C三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题共13分）现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打且只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如图表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能．（1）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；（2）设随机变量X表示第三场比赛开始时需要等待的时间，求X的数学期望；（3）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．参考答案：19.(本小题满分14分)已知函数=，其中a>0.（Ⅰ）若a=1，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在区间上，恒成立，求a的取值范围。参考答案：（Ⅰ）y=6x-9.（Ⅱ）0<a<5.（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=,f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（Ⅱ）解：f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.以下分两种情况讨论：ks5u（1）若，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：X0f’(x)+0-f(x)极大值当等价于ks5u解不等式组得-5<a<5.因此.（2）若a>2，则.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：X0f’(x)+0-0+f(x)极大值极小值当时，f（x）>0等价于即解不等式组得或.因此2<a<5.综合（1）和（2），可知a的取值范围为0<a<5.20.（14分）（2015?济宁一模）已知函数f（x）=ex﹣ax﹣a（其中a∈R，e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（I）当a=e时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当0≤a≤1时，求证f（x）≥0；（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有（1+）（1+）…（1+）＜e．参考答案：【考点】：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求出函数的导数，得出单调区间，从而求出极值；（Ⅱ）只要求出函数的最小值，证明函数的最小值大于等于0即可；（Ⅲ）由函数的最小值，构造不等式，令x=，得出关于正整数n的不等式，运用累加法即可证明．解：（Ⅰ）当a=e时，f（x）=ex﹣ex﹣e，f′（x）=ex﹣e，当x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0；所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以函数f（x）在x=1处取得极小值f（1）=﹣e，函数f（x）无极大值；（Ⅱ）由f（x）=ex﹣ax﹣a，f′（x）=ex﹣a①当a=0时，f（x）=ex≥0恒成立，满足条件，②当0＜a≤1时，由f′（x）=0，得x=lna，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，∴函数f（x）在x=lna处取得极小值即为最小值，f（x）min=f（lna）=elna﹣alna﹣a=﹣alna∵0＜a≤1，∴lna≤0，∴﹣alna≥0，∴f（x）min≥0，∴综上得，当0≤a≤1时，f（x）≥0；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=1时，f（x）≥0恒成立，所以f（x）=ex﹣x﹣1≥0恒成立，即ex≥x+1，∴ln（x+1）≤x，令x=（n∈N+），得，∴≤==1﹣，∴（1+）（1+）…（1+）＜e．【点评】：本题考查了函数的单调性，极值，恒成立问题，以及不等式的证明，运用了等价转化，分类讨论和化归思想．属于导数中的综合题，较难．21.已知椭圆的一个焦点为，其左顶点在圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为（点与点不重合），且直线与轴的交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）∵椭圆的左顶点在圆上，∴又∵椭圆的一个焦点为，∴∴∴椭圆的方程为

………………４分（Ⅱ）设，则直线与椭圆方程联立化简并整理得，

∴，

………………５分由题设知∴直线的方程为令得

∴点

………………７分………………９分（当且仅当即时等号成立）∴的面积存在最大值，最大值为1.

………………12分22.已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？（Ⅲ）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围．参考答案：解：（Ι）由知：当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；当时，函数的单调减区间是，单调增区间是；当时，函数是常数函数，无单调区间。

（Ⅱ）由,∴，.

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故，∴,∵函数在区间上总存