湖南省岳阳市宜登文法学校高三数学理联考试卷含解析

湖南省岳阳市宜登文法学校高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.计算得

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：D2.若函数，记，

，则

A．

B．

C．

D．

参考答案：B3.如图，已知线段，当点A在以原点O为圆心的单位圆上运动时，点B在x轴上滑动，设，记为点B的横坐标关于θ的函数，则在[0，]上的图像大致是（

）

参考答案：B4.下列函数为偶函数的是A．B．C．D．参考答案：D是奇函数，，则，，故函数是奇函数，是非奇非偶函数，，是偶函数，故答案为D.

5.某程序框图如图所示，现输入四个函数(1)f(x)＝x2，(2)f(x)＝，(3)f(x)＝lnx＋2x－6，(4)f(x)＝sinx，则输出函数是

A．(1)

B．(2)

C．(3)

D．(4)参考答案：D由题意知此程序框图输出的函数应是存在零点的奇函数，因而应选(4).6.函数在区间［0，］上的零点个数为（

）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：B略7.已知，则(

)A．

B．

C.

D．参考答案：A8.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则当n＞1时，Sn=（）A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n﹣1 D．（﹣1）参考答案：A【考点】数列递推式．【专题】转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵Sn=2an+1，a1=1，∴a1=2a2，解得a2=．当n≥2时，Sn﹣1=2an，∴an=2an+1﹣2an，化为=．∴数列{an}从第二项起为等比数列，公比为．∴Sn=2an+1=2××=．故选：A．【点评】本题考查了递推关系与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位cm2)A.28+

B.30+

C.28+

D.28+参考答案：A如图故

选A10.《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题本质的式子是(

)A． B．C． D．参考答案：D试题分析：据已知可得每次截取的长度构造一个以为首项，以为公比的等比数列，

.故反映这个命题本质的式子是.故选D考点：数列递推式二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合，，若，则实数的取值范围是

.参考答案：试题分析：由,又因为,则由数轴得,即.12.复数z=i（1﹣i）的虚部为．参考答案：1【分析】由复数代数形式的乘法运算化简复数z得答案．【解答】解：∵z=i（1﹣i）=i﹣i2=1+i，∴复数z=i（1﹣i）的虚部为：1．故答案为：1．13.已知函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]（a＞0）上的最大值是3，最小值是2，则实数a的取值范围是．参考答案：1≤a≤2【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】先求出函数f（x）的最小，正好为了说明[0，a]包含对称轴，当x=0时y=3，根据对称性可知当x=2时y=3，结合二次函数的图象可求出a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x+3是开口向上的抛物线，对称轴x=1当x=1时函数取得最小值f（1）=1﹣2+3=2∵y=x2﹣2x+3在[0，a]上最小值为2∴a≥1当x=0时y=3函数y=x2﹣2x+3在（1，+∞）上是增函数，当x=2时y=4﹣4+3=3，当x＞2时y＞3∵函数y=x2﹣2x+3在[0，a]上最大值为3∴a≤2综上所述1≤a≤2．故答案为：1≤a≤2【点评】二次函数是最常见的函数模型之一，也是最熟悉的函数模型，解决此类问题要充分利用二次函数的性质和图象．14.已知k∈N*，若曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，则k=．参考答案：1【考点】曲线与方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】曲线x2+y2=k2与曲线xy=k联立，可得x4﹣k2x2+k2=0，利用△=0，求出k，结合k∈N*，若曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，即可求出k．【解答】解：曲线x2+y2=k2与曲线xy=k联立，可得x4﹣k2x2+k2=0∴△=k4﹣4k2=0，∴k=2，∵k∈N*，若曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，∴k=1．故答案为：1．【点评】本题考查曲线与方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．15.已知，且是第三象限的角，则的值为

．参考答案：由题意得，根据三角函数的平方关系，所以，故答案为：

16.如图，矩形OABC中，AB=1，OA=2，以B为圆心、BA为半径在矩形内部作弧，点P是弧上一动点，，垂足为M，，垂足为N，则四边形OMPN的周长的最小值为

．参考答案：17.如图是甲、乙两名篮球运动员2013年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和为

.参考答案：54略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，矩形ABCD所在平面与直角梯形CDEF所在平面互相垂直，其中∠EDC=∠DEF=，EF=ED=CD=1，AD=．（1）若M为AE的中点，求证：EC∥平面BDM；（2）求平面ADE与平面ACF所成锐二面角的大小．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】整体思想；定义法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）若M为AE的中点，根据线面平行的判定定理即可证明EC∥平面BDM；（2）根据二面角的定义作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求平面ADE与平面ACF所成锐二面角的大小．【解答】（1）证明连接：设AC交BD于P，连接PM．三角形ACE中，M为AE中点，P为AC中点，∴CE∥PM．∵PM?平面BDM中，CM?平面BDM中，∴CE∥平面BDM．（2）延长CF和DE交于G，连接AG．作三角形AG边上的高DN，连接CN．∵CD⊥AD，CD⊥DG，∴CD⊥平面ADG，∵AG?平面ADG，故CD⊥AG．∵DN⊥AG，∴AG⊥平面CDN．则CN⊥AG．则∠CND是二面角的平面角，∵EF=ED=CD=1，AD=．∴DG=2，AG=．∵sin∠DGN=，∴DN=．则tan∠CND==，故∠CND=60°．即平面ADE与平面ACF所成锐二面角的大小60°．【点评】本题主要考查空间线面平行的判断以及二面角的求解，根据相应的定理以及二面角平面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．本题也可以建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解．19.坐标系与参数方程极坐标系中，已知圆心C，半径r=1．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若直线与圆交于A，B两点，求弦AB的长．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）由圆心C，可得圆心，即，半径r=1，即可得到圆的标准方程．（2）把直线代入圆的方程化为：．可得根与系数的关系．利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：（1）由圆心C，可得圆心，即，半径r=1，∴圆的方程为．即．（2）直线与x轴相交于点P（﹣1，0）．把此方程代入圆的方程化为：．∴，．∴|AB|=|t1﹣t2|===．∴．【点评】本题考查了把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程、利用参数方程解决弦长问题，属于中档题．20.（本小题满分12分）已知函数，其中为常数，且.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调递减区间；（2）若函数在区间上的最小值为，求的值.参考答案：()

…2分

（1）因为曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，，所以，即解得

……4分

当时，，。令，解得所以函数的递减区间为：………………6分 (2)当时，在（1，3）上恒成立，这时在[1，3]上为增函数

令，得（舍去）

………7分

当时，由得， 对于有在上为减函数，

对于有在上为增函数，，令，得

……………9分当时，在（1，3）上恒成立，这时在上为减函数，∴.令得（舍去）综上，

……12分21.（本小题满分12分）

如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，

（1）求证：平面

（2）若，求点到平面参考答案：【知识点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算.G5G11

【答案解析】（1）见解析；（2）解析：（1）在底面为平行四边形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中D1D⊥底面ABCD，DD1⊥A1D1AD=1，CD=2，∠DCB=60°利用余弦定理得：BD=△BDC为直角三角形BD⊥BCAD⊥BD∴A1D1⊥B1D1所以A1D1⊥平面BDD1B1

A1D1平面A1BCD1所以：平面A1BCD1⊥平面BDD1B1（2）连由（1）知平面平面平面平面由已知，【思路点拨】（1）首先利用勾股定理和余弦定理求出相关的线线垂直，进一步利用线面的垂直的判定和性质转换为面面垂直的判定，从而证明结论．（2）利用（1）的结论，进一步利用等面积法求的结果．18、(本小题满分12分) 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生。（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行次后，