描述的微观粒子运动的波函数课件

第3章量子力学基础第3章量子力学基础1一.德布罗意波§3-1微观粒子的波粒二象性实物粒子与光一样也具有波粒二象性----德布罗意公式或一.德布罗意波§3-1微观粒子的波粒二象性实物粒子与光一样21927年美国的戴维孙和革末在实验中二.微观粒子波动性实验观察到在晶体表面电子的衍射现象与x射线的衍射现象相类似电子枪探测器镍单晶加速电极----电子具有波动性与实物粒子相联系的波----德布罗意波(物质波)1929年获诺贝尔物理学奖1927年美国的戴维孙和革末在实验中二.微观粒子波动性实验3同年，小汤姆逊用电子束穿过多晶薄膜后的衍射实验，得到了与x射线实验极其相似的衍射图样戴维孙、小汤姆逊同获1937年诺贝尔物理学奖x-射线电子同年，小汤姆逊用电子束穿过多晶薄膜后的衍射实验，得到了与x4大量实验证实：除电子外，中子、质子以及原子、分子等都具有波动性，且符合德布罗意公式----一切微观粒子都具有波动性单缝双缝三缝四缝1961年约恩逊的电子衍射实验大量实验证实：除电子外，中子、质子以及原子、分子等都具有波5[例]静止电子经电势差为U的电场加速，具有速度v，设v<<c。求德布罗意波长解：说明：v较大时，需考虑相对论效应[例]静止电子经电势差为U的电场加速，具有速度v，设v<<6经典力学：运动物体有确定的位置、动量、能量、角动量等§3-2不确定关系微观粒子：由于波动性，粒子以一定的概率在空间出现----任一时刻不具有确定的位置动量、能量和角动量等也不确定经典力学：运动物体有确定的位置、动量、能量、角动量等§3-27电子单缝衍射：设一束电子垂直入射到单缝上只考虑中央明区第一级暗纹满足：电子单缝衍射：设一束电子垂直入射到单缝上只考虑中央明区第一级8考虑其它高次衍射条纹有----位置、动量不确定关系能量与时间之间：1932年海森伯获诺贝尔物理学奖----能级宽度和能级寿命之间的不确定关系考虑其它高次衍射条纹有----位置、动量不确定关系能量与时间9说明：不确定性关系是波粒二象性及统计关系的必然结果，而不是测量仪器对粒子的干扰，也不是仪器的误差所致说明：10[例]设电子在原子中运动速度为106m/s，原子的线度10-10m，求此电子速度的不确定量解：电子位置的不确定量v、v在数量级上相当，讨论原子中电子的速度没有实际意义[例]设电子在原子中运动速度为106m/s，原子的线度111描述的微观粒子运动的波函数课件12

描述德布罗意波的波函数无直接的物理意义1926年德国物理学家玻恩首先指出：

德布罗意波是概率波在某一时刻，空间某点附近粒子出现的概率与该时、该处物质波的强度成正比。

它描述粒子在某处出现的概率由此定量描述微观粒子的状态§3-3波函数薛定谔方程

一.波函数----描述波动规律的数学表达式描述德布罗意波的波函数无直接的物理意义在某一时刻，13----粒子的概率密度t时刻、在(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的概率----粒子的概率幅归一化函数性质：复数函数----对粒子出现的空间积分----粒子的概率密度t时刻、在(x,y,z)附近单位体积内14单开缝1----单开缝2----概率幅叠加：概率分布：----出现了干涉、----归一化系数为单值、连续、有限函数----波函数的标准条件满足叠加原理单开缝1----单开缝2----概率幅叠加：概率分布：---15二.有关量子力学哲学基础的争论由波函数描述的微观粒子的运动，即使给定初始条件、边界条件，也不可能精确地预制结果，而只能预言可能结果的概率----与经典物理严格的因果律矛盾1.哥本哈根学派：描述的微观粒子运动的波函数，表明了自然界的最终本质2.爱因斯坦学派：之所以对描述的微观粒子运动不能精确描述，是因为还有未找到的隐变量上帝不是在跟宇宙玩掷骰子的游戏二.有关量子力学哲学基础的争论由波函数描述的微16三.薛定谔方程----描述微观粒子运动的动力学方程----势场中一维运动粒子的定态S.Eq.在势场U(x)中，粒子的总能量：或与时间无关—定态三.薛定谔方程----描述微观粒子运动的动力学方程----势17----三维定态S.Eq.引入能量算符----哈密顿算符则有推广到三维空间--拉普拉斯算符----三维定态S.Eq.引入能量算符----哈密顿算符则有18如果势函数与时间有关:由S.Eq.求得空间波函数后,再由即可求得总波函数只能由直接求S.Eq.方程的一般形式如果势函数与时间有关:由S.Eq.求得空间波函数后,再由即19说明：S.Eq.是量子力学的基本方程，其正确性由方程的解与实验结果相符得到证实1933年薛定谔获得诺贝尔物理学奖只要找到体系的经典能量表达式，则可由S.Eq.求出波函数说明：1933年薛定谔获得诺贝尔物理学奖只要找到体系的经典能20讨论：定态时，概率密度不随t变定态时，解得的E为一些确定值----本征值，相应的波函数----本征函数讨论：定态时，概率密度不随t变定态时，解得的E为一些确定21四.求解的方法及的用途1.求的步骤：2.的用途求概率密度函数

求概率密度的极（大或小）值点：令，解出x=xm由体系的势函数写出S.Eq.解方程得一般解根据标准条件、归一化条件确定有关常数四.求解的方法及的用途1.求的步骤：2.的用途求22进一步求粒子在某区域内出现的概率求粒子某一力学量的平均值进一步求粒子在某区域内出现的概率求粒子某一力学量的平均值23§3-4一维无限深势阱阱外:阱内:设粒子作一维运动，势函数§3-4一维无限深势阱阱外:阱内:设粒子作一维运动，势24由波函数的连续条件：令其通解为C、---待定常数由波函数的连续条件：令其通解为C、---待定常数25由归一化条件得----能量量子化n：粒子能量量子数由归一化条件得----能量量子化n：粒子能量量子数26讨论：n0：因n=0

则n0，无意义

n=1：----基态能

，能量间隙不均匀，随n的增大而增大讨论：n=1：----基态能，能量间隙不27除端点(x=0,x=a)外，阱内n=0处为节点。基态无节点，第一激发态有一个节点，，第n

激发态有n个节点除端点(x=0,x=a)外，阱内n=0处为节点。基态无节点28[例]质量为m的微观粒子处在宽度为a的一维无限深势阱中，试求：粒子在0xa/4区间中出现的概率，并对n=1和n=的情况算出概率值。在哪些量子态上，a/4处的概率密度最大？解：已知粒子出现在0xa/4中的概率：[例]质量为m的微观粒子处在宽度为a的一维无限深势阱中，试求29时时时时30处最大时有处最大时有31设粒子在x方向运动，势能分布：经典观点：时：粒子可越过势垒到达3区时：粒子被势垒反弹回去§3-5一维势垒谐振子一.一维势垒设粒子在x方向运动，势能分布：经典观点：时：粒子可越过势垒到32量子力学：解S.Eq.可得：当E<U0时,仍有粒子穿过2区进入3区:1区：入射波+反射波2区：透射波+反射波3区：透射波量子力学：解S.Eq.可得：当E<U0时,仍有粒子33在粒子总能量低于势垒壁高时，粒子有一定概率穿过势垒讨论：----隧道效应贯穿势垒的概率(贯穿系数)为:即：T与势垒宽度a、高度U0有关应用:ScanningTunnelMicroscope(STM)

在粒子总能量低于势垒壁高时，粒子有一定概率穿过势垒讨论：-34癌细胞表面图像硅表面图像扫描隧道显微镜(STM)癌细胞表面图像硅表面图像扫描隧道显微镜(STM)35描述的微观粒子运动的波函数课件36描述的微观粒子运动的波函数课件37一氧化碳“分子人”“原子和分子的观察与操纵”--白春礼“扫描隧道绘画”一氧化碳“分子人”“扫描隧道绘画”38

二.谐振子一维谐振子的势能为其中薛定谔方程为二.谐振子其中薛定谔方程为39

可解得(3)最小能量为(1/2)h讨论：(1)线性谐振子的能量是量子化的(2)能级均匀分布，能隙为h或可解得(3)最小能量为(1/2)h讨论：(1)线性谐振子40氢原子H

中，可认为N不动，e在N周围运动S.eq.：系统的势函数：§3-6氢原子的量子力学处理方法转换到球坐标系中求解得：氢原子S.eq.：系统的势函数：§3-6氢原子的量子力学处411.能量量子化和主量子数----能量量子化----主量子数由(3)可得H能量：基态激发态E>0，表HH+1.能量量子化和主量子数----能量量子化----主量子数由42其中----玻耳半径En可改写为能级跃迁：----形成谱线其中----玻耳半径En可改写为能级跃迁：----形成谱线432.角动量量子化和角量子数对一定的n值,

l

有n个可能取值由(2)可得e绕N运动的角动量----角量子数----量子化2.角动量量子化和角量子数对一定的n值,l有n个可能取443.角动量空间量子化和磁量子数对一定的l

值，ml

有(2

l+1)个可能取值解(1)可得----磁量子数ml决定电子绕核运动角动量在空间的取向Lz，zyxml满足：3.角动量空间量子化和磁量子数对一定的l值，45结论：H原子中电子的状态由３个量子数决定(3)磁量子数ml（ml=0,1,2,,l）决定电子轨道角动量在外磁场中的取向。(1)主量子数n（n=1,2,）决定电子的能量(2)角量子数l（l=0,1,2,,n-1）决定电子的轨道角动量的大小结论：(3)磁量子数ml（ml=0,1,2,,l）46氢原子的电子云图氢原子的电子云图47

施特恩-格拉赫实验：1921年，为验证电子角动量空间量子化，设计了如图实验：无磁场有磁场原子源§3-7电子的自旋施特恩-格拉赫实验：1921年，为验证电子角动量空间量子化48实验结果：不加磁场：底板上呈现一条正对狭缝的原子沉积加磁场：底板上呈现上下两条原子沉积矛盾：角量子数为

l

时，角动量在空间的取向有(2l+1)种可能无磁场有磁场奇数实验结果：矛盾：角量子数为l时，角动量在空间的取向有(249为解释此结果，1925年，乌伦贝克和古兹密特提出电子自旋假说:

电子除轨道运动外，还存在自旋运动。电子自旋角动量S在空间任一方向上的投影Sz只能取两个值----自旋磁量子数即为解释此结果，1925年，乌伦贝克和古兹密特提出电子自旋假50由量子力学，得自旋角动量：----自旋量子数s只能取：由量子力学，得自旋角动量：----自旋量子数s只能取：51结论:多电子原子中每个电子的状态由4个量子数决定:(1)主量子数n（n=1,2,）大体决定电子的能量(2)角量子数l（l=0,1,2,,n-1）决定电子轨道角动量的大小(3)磁量子数ml（ml=0,1,2,,l）决定电子轨道角动量在外磁场中的取向。(4)自旋磁量子数ms（ms=1/2）决定电子自旋角动量在外磁场中的取向结论:(3)磁量子数ml（ml=0,1,2,,l