三角函数导学案

PAGEPAGE10锐角三角函数1.如图，在中，，，若，求、；若，求、。结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值2.中，，，则∠A对边与斜边的比值是一个定值吗？如果是，是多少？结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值3.探究：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，那么有什么关系．你能解释一下吗？结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比正弦函数概念：在中，，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作，即=．＝达标练习1．在中，，若，，则＝，＝.2.如图，已知点P的坐标是（a，b），则等于（）A．B．C．D.3.已知△ABC中，，，，求，的长.1.如图，在中，，当锐角确定时，由第一课时知的对边与斜边的比都是一个固定值，此时，其他边之间的比是否也随之确定？为什么？2.当锐角的大小确定时，的邻边与斜边的比是，的对边与邻边的比是3.余弦、正切函数概念：在中，，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作，.我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作，.达标测试1.如图，在中，，于点，已知，，那么_______.2.如图，已知是⊙的直径，点、在⊙上，且，．则；．3.在中，∠C＝90°，如果那么的值为（）A．eq\f(3,5)B．eq\f(5,4)C．eq\f(3,4)D．eq\f(4,3)4.如图：是的边上一点，且点的坐标为（3，4），则＝_____________.30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表（请你填出）30°45°60°三、达标测试1.求下列各式的值．（1）cos260°+sin260°．（2）-tan45°．2.求适合下列条件的锐角．(1) (2)(3) (4)1.把各边的长度都扩大3倍得，那么锐角、的余弦值的关系为（）A．cosA=cosA′B．cosA=3cosA′C．3cosA=cosA′D．不能确定2.在中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（）A．B．C．D．3.若|－2sinα|+(tanβ－1)2=0，则锐角α=____________，β=______________.4.计算－2sin60°cos45°+3tan30°sin45°=_______________.5.计算cos60°sin30°－tan60°tan45°+(cos30°)2=________________.6.如图，在△ABC中，∠B=30°，sinC=，AC=10，求AB的长.锐角三角函数相关知识点总结：sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b,cotA=b/a（1）互余角的三角函数值之间的关系：若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA*（2）同角的三角函数值之间的关系：①sin2A+cos2A=1；②tanA=sinA/cosA；③tanA=1/tanB；④a/sinA=b/sinB=c/sinC（3）锐角三角函数随角度的变化规律：锐角∠A的tan值和sin值随着角度的增大而增大，cos值随着角度的增大而减小.（4）三角函数平方表示方式：，一.选择题1．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=eq\f(3,5)，AB=15，则AC的长是（）．A．3B．6C．9D．122．下列各式中不正确的是（）．A．sin260°+cos260°=1B．sin30°+cos30°=1C．sin35°=cos55°D．tan45°>sin45°3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（）．A．2B．C．D．14．已知∠A为锐角，且cosA≤eq\f(1,2)，那么（）A．0°<∠A≤60°B．60°≤∠A<90°C．0°<∠A≤30°D．30°≤∠A<90°5．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=eq\f(1,2)，cosB=eq\f(eq\r(3),2)，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定6．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，设∠BCD=a，则tana的值为（）．A．B．C．D．7．当锐角a>60°时，cosa的值（）．A．小于eq\f(1,2)B．大于eq\f(1,2)C．大于eq\f(eq\r(3),2)D．大于18．在△ABC中，三边之比为a：b：c=1：：2，则sinA+tanA等于（）．9．在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A=300，则sinA+sinB=()

A．1B． C． D．10．若（eq\r(3)tanA-3）2+│2cosB-eq\r(3)│=0，则△ABC（）．A．是直角三角形B．是等边三角形C．是含有60°的任意三角形D．是顶角为钝角的等腰三角形二.填空题．11．若00<α<900，sinα=cos600，则tanα=_________．12．在△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，则∠B的度数是__________．13．若cosA>cos600，则锐角A的取值范围是__________．14．用不等号连结右面的式子：cos400_______cos200，sin370_______sin420．15．若|－2sinα|+(tanβ－1)2=0，则锐角α=____________，β=______________.．16．计算：sin450-cos600=____________．17．计算：sin450-tan600=____________．18．计算：(sin300+tan450)·cos600=______________．19．计算：tan2300+2sin600-tan450·sin900-tan600+cos2300=____________．20．计算：已知：α是锐角，tanα=，则sinα=_____，cosα=_______．三．简答题21．如图，在△CDE中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D的三个三角函数值．22．如图，角的顶点在直角坐标系的原点，一边在x轴上，另一边经过点P（2，2），求角的三个三角函数值．23．在Rt△ABC中，两边的长分别为3和4，求最小角的正弦值．1．在直角三角形中，除直角外共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？知道五个元素中的几个，就可以求其与元素？二、自主探究(1)边角之间关系(2)三边之间关系______________(勾股定理)(3)锐角之间关系______________（直角三角形中的两锐角互余）以上三点正是解直角三角形的依据．三、达标测试1.根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________其它所有元素的过程，即解直角三角形．2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A∠B=，.解这个直角三角形.3.在△ABC中，∠C为直角，AC=6，的平分线AD=4，解此直角三角形。4.Rt△ABC中，若sinA=，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．5.在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．6.在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值是________．边角之间的关系：自主探究1、解题步骤（1）审题，根据题中的术语、名词、题意画出几何图形；（2）将实际问题的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，若无直角三角形可适当添加辅助线；（3）解直角三角形求出相应的量.2、仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．三、达标测试1、为倡导“低碳生活”，人们现在常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图．车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2

（1）求车架档AD的长；

（2）求车座点E到车架档AB的距离．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.7321）2、已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．解直角三角形1、求下列各式的值和的度数．(1)(2)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°(3) (4)2、计算：3、在中，若，则∠C=_______度4、在中，∠C=90°，∠A=30°，，解这个直角三角形。5、在中，∠C=90°，，，求：（1）c的大小；（2）∠A、∠B的大小。6、在中，CD是斜边上的高，若AC=8，cosB=0.6，求的面积。7、如图是小朋友玩的“滚铁环”游戏的示意图，⊙O向前滚动时，铁棒DE保持与OE垂直。⊙O与地面接触点为A，若⊙O的半径为25cm，，(1)求点E离地面AC的距离BE的长；(2)设人站立点C与点A的距离AC=53cm，DC⊥AC，求铁棒DE的长。AAB0ECD8、在中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：（1），；（2），∠A=60°；（3），∠A=45°；（4），。9、在中，∠C=90°，∠A=60°，，解这个直角三角形。关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_________(其中至少_________)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_________或斜边和_________)及已知一边和一个锐角(_________和一个锐角或_________和一个锐角)在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，1、边与角之间的关系：_____________；_____； ______．2、射影定理在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．CD2＝_________；AC2＝_________；BC2＝_________；AC·BC＝_________．3、直角三角形的主要线段(如图所示)．直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________，斜边的中点是_________．若r是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆半径，则r＝_________＝_________．1、坡度与坡角：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用表示，常写成的形式如，把坡面与水平面的夹角叫做坡角．2、方位角与方向角：方位角定义:从标准方向的北端起,顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角．方位角的取值范围为0°～360°．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）××度.1.结合图形思考，坡度与坡角之间具有什么关系？2.东南方向是指南偏东度；西北方向是指；东北方向是指；西南方向是指；一、选择题1.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD=（）A、B、C、D、2.如图1，某飞机于空中A处探测到地平面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α=30°，飞行高度AC=1200米，则飞机到目标B的距离AB为（）A、1200mB、2400mC、400mD、1200m3.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（）ABCDOEαABC（ABCDOEαABC（α第2题图第3题图第8题图4.在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA=（）A、B、C、D、5.在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=，cosB=，则△ABC三个角的大小关系是（）A、∠C＞∠A＞∠BB、∠B＞∠C＞∠AC、∠A＞∠B＞∠CD、∠C＞∠B＞∠A6.若关于x的方程x2-x+cos=0有两个相等的实数根，则锐角α为（）A、30°B、45°C、60°D、0°7.已知∠A为锐角，且cosA≤，则（）A、0°≤A≤60°B、60°≤A＜90°C、0°＜A≤30°D、30°≤A≤90°8.如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，BE=2，DE=8，设∠ACE=α，则tanα的值（）A、B、C、D、2二、填空题9.直线y=kx-4与y轴相交所成的锐角的正切值为，则k的值为10.若某人沿坡度=3：4的斜坡前进10m，则他所在的位置比原来的的位置升高m11.正方形ABCD的边长为1，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线的D′处，那么tan∠BAD′=12.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，已知AB=4，那么AD=．13.如图，一艘轮船向正东方向航行，上午9时测得它在灯塔P的南偏西30°方向，距离灯塔120海里的M处，上午11时到达这座灯塔的正南方向的N处，则这艘轮船在这段时间内航行的平均速度是海里/小时．14.已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，则此菱形的周长为．三、简答题15.在△ABC中，∠C为直角，不查表解下列问题：（1）已知a=5，∠B=600．求b；（2）已知a=5，b=5，求∠A．16.如图，在半径为R的⊙O中，∠AOB＝2a，OC⊥AB于C点．(1)求弦AB的长及弦心距；(2)求⊙O的内接正n边形的边长an及边心距rn．17.同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)18.已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里)1.在高出地平面50米的小山上有一塔AB，在地面D测得塔顶A和塔基B的仰角分别为60°和45°，求塔高．2.在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为30°，求西楼高(精确到0.1米)．3.在溆浦县街道拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点6米远的D处，从C点测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°.问：距离B点16米远的保护物是否在危险区内？4.为缓解“停车难”的问题，县国土局拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE．（精确到0.1m）（下列数据提供参考：20°＝0.3420，20°＝0.9397，20°＝0.3640）5.某校数学兴趣小组要测量太阳城摩天轮的高度．如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为，再往摩天轮的方向前进50m至D处，测得最高点A的仰角为．则该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB约是多少米．（结果精确到1米，参考数据：，）《锐角三角函数》检测题一、选择题。1、Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝4，则AB的长为()A．6 B． C． D．2、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA＝，则tanB=。A、B、C、D、3、铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m，路基高为4m，则路基的下底宽应为()A．15m B．12m C．9m D．7m、4、计算：的值为()A1BCD5、若某人沿倾斜角为的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是()A． B．100sinm C． D．100cosm6、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB＝7，则BC的长为（）。A、7sin35°B、C、7cos35°D、7tan35°7、如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m，那么这棵树高是（）。A、m；B、mC、mD、4m8、已知：如图，AB是⊙O的直径，弦AD、BC相交于P点，那么的值为()A．sin∠APC B．cos∠APC C．tan∠APC D．9、在正方形网格中，的位置如图所示，则tan的值是（）A．1B．2C．D．10、如图,小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为 ()A．9米B．28米C．米D.米二、填空题11、在△ABC中，∠C=90°，若3AC=BC，则∠A的度数是，cosB=。12、已知tan＝，是锐角，则sin＝。13、如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是米。14、如图，C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°方向，则从C岛看A、B两岛