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/y2

1.已知椭圆C:7+会=1的右焦点为F,下顶点为81,上顶点为82,离心

1T-♦

率为1FB2=-2.

(I)求椭[MIC的标准方程:

(H)设椭圆C的右顶点为4椭圆C上有一点尸(不与/重合),直线尸F与直线x=2

相交于点",若MM=百,求点P的横坐标.

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2.已知函数/(X)g(x)=lnx.

(1)若曲线y=/(x)在x=l处的切线方程为》=去+6,且存在实数,使得y=Z(x+。

+b与曲线y=g(x)相切,求,的值.

(2)设函数<p(x)=af(x+1)-g(x+1)+g(a)-1.

(i)若<p(x)>0恒成立,求。的取值范围;

(ii)若函数(p(x)仅有两个不同的零点,求〃的取值范围.

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3.已知函数/(%)=----lnx(m,ne/?).

(I)若函数/(x)在(1,/(I))处的切线与直线x-y=0平行,求实数,的值;

(II)若〃=1时,函数/(X)恰有两个零点XI,X2(0<Xl<X2)»证明:X|+X2>2.

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4.己知函数/(x)=ar+/nr+l.

(1)讨论函数/(x)的单调性;

(2)对任意的x>0,不等式/(x)恒成立,求实数。的取值范围.

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5.在平面直角坐标系中,A.8分别为椭圆万+y2=i的上、下顶点,若动直线/过

点P(0,b)且与椭圆r相交于C、。两个不同点(直线/与y轴不重合,旦C、

。两点在y轴右侧,C在。的上方),直线与8C相交于点。

(1)设「的两焦点为为、尸2,求/尸“伤的值;

(2)若6=3,且PD=*PC,求点0的横坐标:

(3)是否存在这样的点尸,使得点。的纵坐标恒为彳若存在,求出点P的坐标,若不

存在,请说明理由.

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6.已知椭圆的焦点在x轴上,一个顶点为(0,1),离心率e=等,过椭圆的右焦点尸的

直线/与坐标轴不垂直,且交椭圆于48两点

(I)求椭圆的标准方程;

(II)当直线/的斜率为g时,求弦长的值.

(HI)设M(〃i,0)是线段OF(O为坐标原点)上一个动点,且(总+麻)1n,求

m的取值范围.

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7.已知项数为〃?(wGN*,m^2)的数列{。〃}满足如下条件:(T)an6N*(//=1,2,…,m);

@a\<az<-*<ani.若数列{b〃}满足色=(%+叱:二即2)'"wN",其中〃=1,2,…,

〃?,则称{6}为{〃}的“心灵契合数列”.

(1)数列1,5,9,11,15是否存在“心灵契合数列”,若存在,写出其“心灵契合数

列”;若不存在,请说明理由;

(2)若{仇}为{板}的“心灵契合数列”,判断数列{加}的单调性,并予以证明:

(3)已知数列{〃〃}存在“心灵契合数列”仍〃},且m=l,一=1025,求〃z的最大值.

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8.设数列4ai,。2,…,的各项均为正整数,且aiWa2<…Wo”.若对任意在{3,

4,n},存在正整数i,J使得以=处+卬,则称数列4具有性质「

(I)判断数列小:1,2,4,7与数列出:1,2,3,6是否具有性质7;(只需写出结

论)

(II)若数列/具有性质7,且“1=1,02=2,“”=200,求"的最小值:

(III)若集合S={1,2,3.…,2019,2020}=SiUS2US3US4US5US6,且SCy=0

(任意i,代{1,2,--61,My).求证:存在S,使得从S中可以选取若干元素(可

重复选取)组成一个具有性质7■的数列.

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9.已知函数/(x)=彳若,g(x)=2lnx+2a(aGR).

(1)求/(x)的单调区间:

(2)证明:存在“6(0.1),使得方程/(x)=g(x)在(1,+8)上有唯一解.

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10.已知函数/(x)=x2-2bx-Inx.

(I)讨论/(x)的单调性:

(II)设若/(x)在xo处有极值,求证:/(.ro)<|(1+/«2).

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11.在平面直角坐标系X。中,动直线48交抛物线r:f=4x于48两点.

(1)若NAOB=9Q°,证明直线48过定点,并求出该定点;

(2)点M为48的中点,过点M作与y轴垂直的直线交抛物线I':f=4x于C点;点

N为ZC的中点,过点N作与y轴垂直的直线交抛物线「:”=4x于•点P.设△/8C的

面积Si,△4PC的面积为S2.

(/)若4B过定点(2,1),求使S取最小值时,直线的方程;

(/7)求名的值.

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XV2

12.已知椭圆C:/+6=1(a>h>0)的长轴长是焦距的2倍,且过点(一1,1).

(1)求椭圆C的方程:

(2)设,(x,y)为椭圆C上的动点,尸为椭圆。的右焦点,力、8分别为椭圆C的左、

—»

右顶点,点尸'满足PP'=(4-x,0).

—>

IPP1

①证明:-为定值;

\PF\

②设。是直线l:x=4上的动点,直线5。分别另交椭圆C于〃、N两点,求L+lg

的最小值.

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13.正整数数列{“〃}的前”项和为S”前〃项积刀“时6N*(i=l,2,…〃),则称数

列为“Z数列”.

(I)判断下列数列是否是Z数列,并说明理由;

①2,2,4,8;②8,24,40.56.

(II)若数列{a”}是Z数列,且42=2.求S3和73:

(III)是否存在等差数列是Z数列?请阐述理由.

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14.函数/(x)满足:对任意a,pGR,都有/(邓)=a/(p)+旷(a),且/(2)=2,数

列{期}满足a〃=/(2")(底N+).

(1)证明数列{骂}为等差数列,并求数列{斯}的通项公式:

(2)记数列步,,}前〃项和为S”,且治=吗土口,问是否存在正整数〃?,使得(加+1)(Sm

-4)+19尿V0成立,若存在,求〃?的最小值;若不存在,请说明理由.

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15.已知函数/(x)=1-x+alnx.

(I)求/(x)在(1,/(1))处的切线方程(用含a的式子表示)

(II)讨论/(x)的单调性;

(III)若/(X)存在两个极值点X”X2,证明:"Xi""*)2.

X\-X2

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16.已知函数/(x)=lnx-ax(aGR)的最大值为-1.

(I)求函数/(x)的解析式:

(II)若方程/(X)=2-X-/有两个实根X|,X2,且X1<X2,求证:Xl+X2>l.

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/y2

17.已知椭圆£靛+台=l(a>b>0)的一个焦点与上下顶点构成直角三角形,以椭圆E

的长轴为直径的圆与直线x+y-2=0相切.

(I)求椭圆£的标准方程;

(n)4,B,C为椭圆£上不同的三点,O为坐标原点,若后+n+儿=阳试问:

△48C的面积是否为定值?若是,请求出定值;若不是,请说明理由.

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%。V。v2

18.已知椭圆C:三+互=1(0>力>0)的离心率为三~,长轴长为4&.

(I)求椭圆。的标准方程;

(II)设点P是椭圆。上的任意一点,若点P到点(2,0)的距离与点〃到定直线x=/

(/>0)的距离之比为定值入,求入与I的值;

(III)若直线/:y=kx^-m(k#0)与椭圆。交于不同的两点M,N,且线段MN的垂直

平分线过定点(1,0),求实数Z的取值范围.

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19.设S”为首项不为零等差数列{斯}的前〃项和,已知a期5=3°9,55=20.

(1)求数列{a/的通项公式:

(2)设G为数列{——}的前〃项和,求®的最大值.

aMan+lQ/i+i

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20.设数列I。”},已知ai=4,b\—6»a”+i=bn+\=(/iGN*)>

(1)求数列{6”的通项公式;

(2)设S,为数列{儿}的前〃项和,对任意”€N*,若。・(S,,-4〃)€[1,3]恒成立,求实

数p的取值范围.

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21.已知函数/(x)=2ln(jr+1)+sinx+l.

(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程;

(2)证明:xNl+/〃x;

(3)证明:f(x)W(x+1)2«s叫

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22.已知函数/(x)=+ax(a€R),g{x)=ex+|x2-x.

(1)当a=-4时,求函数/(x)的极值:

(2)定义:对于函数/(x),若存在xo,使/(xo)=xo成立,则称xo为函数的不动点,

如果函数尸(x)=/(x)-g(x)存在不动点,求实数a的取值范围.

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22

23.已知椭圆葭+金=1">方>0)的右焦点到右准线的距离为1,过椭圆的右焦点且垂

直于长轴的直线被椭圆截得线段长为鱼.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若O为坐标原点,直线/与椭圆交于P,0两点,且直线/与/+/=争相切,

证明:OPJ_OQ.

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xyo

24.已知椭圆C:+^-=1(a>Z>>0)的左、右焦点分别为尸I,尸2,M(l,*)为椭圆上

一点,且|而i|+|.21=4.

(1)求椭圆。的方程:

(2)过点例作互相垂直的两条直线分别交椭圆C于另一点4B,求证:直线过定

点,并求出定点的坐标.

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25.{〃“}是等比数列,公比大于0,其前〃项和为S〃。怎N"),{加}是等差数列.已知。1=1,

。3=。2+2,Ct4=b3+b5,。5=力4+2〃6・

(I)求{斯}和{&}的通项公式;

(II)设cn=(斯+1).;%+[+1),数列{5}的前"项和为Tn,求Tn的值.

皿设“篇工》

“其中依N*,求di(neN*).

2ki

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26.已知函数/(x)的定义域为。,若存在实常数人及“(aWO),对任意xCO,当x+a6Z)

且x-ae。时,+f(x-a)="(x)成立,则称函数/(x)具有性质〃(人,

a),集合M={(入,a)}叫做函数/(x)的M性质集.

(1)判断函数/(x)=»是否具有性质M(人,a),并说明理由:

(2)若函数g(x)=sin2x+sinx具有性质M(入,a),求g(x)的"性质集:

(3)已知函数y=/z(x)不存在零点,且当X6R时具有性质M(t+"1)(其中,>0,f

W1),若〃〃=/?(〃)(〃WN*),求证:数列{斯}为等比数列的充要条件是&=t或限=士

的t

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27.已知函数/(x)=〃/+(:0工1-3的图象在点(0,f(0))处的切线与直线x+y=0垂直.

(1)判断/(x)的零点的个数,并说明理由;

(2)证明:f(x)对xW(0,+8)恒成立.

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28.已知函数/(x)=(x-a-1)+ax(x>0).

(1)讨论/(x)的单调性;

(2)当aW2时,若/(x)无最小值,求实数a的取值范围.

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29.已知椭圆C:葭+3=1(4Q0)的左焦点F(一百,0),椭圆的两顶点分别为4(-

。,0),B(a,0),M为椭圆上除44之外的任意一点,直线的斜率之积为一

(I)求椭圆C的标准方程:

(II)若夕为椭圆C短轴的上顶点,斜率为A的直线/不经过P点且与椭圆C交于区F

两点,设直线尸E,P尸的斜率分别为右,依,且%+依=-1,试问直线/是否过定点,若

是,求出这定点;若不存在,请说明理由.

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30.已知椭圆C;芸+,=l(a>b>0)的离心率为去过焦点且垂直于长轴的弦长为3.

(1)求椭圆C的方程:

(2)过点(1,0)的直线/交确圆C于4,B两点,在x轴上是否存在定点尸,使得日1•而

为定值?若存在,求出点。的坐标和乐•丽的值;若不存在,请说明理由.

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31.已知各项均为正数的数列的前〃项和为S〃,且45〃=碎+2册.

(I)求数列{斯}的前〃项和为融;

22

TT4~n+n/—.—.—]—n4-2n

(II)求证:一--+y/^3+…+7V~•

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32.已知等差数列{以〃}和等比数列出〃}的各项均为整数,它们的前〃项和分别为T〃,且

b[=2a\=2f历S3=54,。2+72=11.

(1)求数列{〃〃},—的通项公式;

(2)求+0262+4363+,,,:

(3)是否存在正整数,",使得孚萼1恰好是数列{斯}或{加}中的项?若存在,求出所

Sm+Tm

有满足条件的小的值;若不存在,说明理由.

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33.已知函数/(x)=/〃x-x+a有两个不同零点xi,X2(xi<X2).

(1)求a的取值范围;

11

(2)证明:当OVjqW.时,X\2X2<4,

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34.已知函数/(x)=lnx+ax+1.

(I)若函数/(x)有两个零点,求。的取值范围;

(Il)/(x)〈xe,恒成立,求a的取值范围.

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35.已知椭IM1E;^+^=l(a>h>0),它的上,下顶点分别为4B,左,右焦点分别为

Fi,Fi,若四边形4尸|8/2为正方形,且面积为2.

(I)求椭圆£的标准方程:

<II)设存在斜率不为零且平行的两条直线/”h,它们与椭圆E分别交于点C,D,M,

M且四边形CDWN是菱形,求出该菱形周长的最大值.

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X。V。V2/Z1

36.已知椭圆C:/+金=1的离心率为万,且经过点(华,1).

(I)求椭圆C的标准方程;

(II)若直线/与椭圆C交于M、N两点,8为椭圆C的上顶点,那么椭圆。的右焦点

尸是否可以成为△8MN的垂心?若可以,求出直线/的方程:若不可以,请说明理由.(注:

垂心是三角形三条高线的交点)

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37.已知入是非零实数,数列{a,,}的前八项和为满足S,=l+M"+i,且°2=-2.

(1)求两、43,并判断42,。3能否依次成等差数列,并说明理由;

(2)写出数列{.}的通项公式,并求出数列{.}是等比数列时人的值;

(3)是否存在入,使得对于任意的,怎N*,都有为WM(用为常数)恒成立?若存在,则

求入的取值范围,并对每个人的值写出相应的M的最小值A/S):若不存在,请说明理由.

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38.某种汽车购买时费用为16.9万元,每年应交付保险费、汽油费共0.9万元,汽车的维修

保养费为:第一年0.2万元,第二年0.4万元,笫三年0.6万元,……依等差数列逐年递

增.

(1)求该车使用了3年的总费用(包括购车费用)为多少万元?

(2)设该车使用〃年的总费用(包括购车费用)为/(〃),试写出/(〃)的表达式:

(3)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少).

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39.若方程/(x)=工有实数根xo,则称刈为函数/(大)的•个不动点.已知函数/(x)=

e'配斗(a+1)x-alnx(e为自然对数的底数)aGR.

(1)当时/(x)是否存在不动点?并证明你的结论;

(2)若4=-°,求证/,(X)有唯一不动点.

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2023年云南省高考理科数学压轴题总复习(含答案)

精研考纲!)1纳核心题海训练归纳总结体验实战梳理复习

40.已知函数/(x)=x2ev.

(I)求/(x)的单调区间;

(II)过点P(1,0)存在几条直线与曲线y=/(x)相切,并说明理由;

(111)若/(x)(x-1)对任意x€R恒成立,求实数左的取值范围.

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//y2

41.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆Ci:—+Y1-],C2:—+—=1.设直线/与椭

圆Ci切于点M,交椭圆C2于点4,B,设直线/1平行于/,且与椭圆C2切于点N.

(1)求证:宜线MN恒过原点O;

(2)若点M为线段ON上一点,求四边形O4N8的面积.

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42.已知△48C的三边长8。、AC.16成等差数列,且B、。的坐标分别为力(-3,0)、

C(3,0).

(1)求顶点8的轨迹E的方程;

(2)求曲线E的内接矩形的面积的最大值.

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43.已知首项相等的两个数列{册},{儿}(41H0,nWN・)满足a〃bn+l-aebn+2b〃+lbn=0.

(1)求证:数列{察}是等差数列;

Dn

(II)若瓦,=2"T,求{。”}的前〃项和5„:

(III)在(U)的条件下,数列{&}是否存在不同三项构成等比数列?如果存在,请你

求出所有符合题意的项:若不存在,请说明理由.

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44.已知等比数列{〃“}前〃项和为S","=ai=2,数列»”}的各项为正,且满足

S3+3a3

b^]2-b・=a\2=a2b\.

nan

(1)求数列{斯}和{加}的通项公式:

1116—V31

(2)若C仔病仿+诟而前)'求证:F-4CI+C2+C3+……+CnV于

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45.一知函数f(x)=+g(x)-ax,QEZ,其中e是自然对数的底数.

(1)求函数/(x)在x=l处的切线方程;

(2)当x>0时,/(x)>g(x)恒成立,求Q的最大值.

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46.已知函数f(x)=a/"x(。/0)与、=加2的图象在它们的交点尸C,八处具有相同

的切线.

(I)求/(x)的解析式;

(2)若函数g(x)=(x-1)2+mf(x)有两个极值点xi,X2)且xi〈x2,求"”的取

值范围.

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X?v231

47.如图,已知椭圆C:/+6=l(a>b>0)过点(I,-),离心率为万,A,8分别是椭

圆C的左,右顶点,过右焦点尸旦斜率为A(k>0)的直线/与椭圆相交于M,N两点.

(/)求椭圆C的标准方程;

(2)记△/尸M,△8FN的面积分别为S”Si,若察=:,求A的值:

5

(3)记直线4M、8N的斜率分别为内,依,求售的值.

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48.已知椭圆C:=1(。>人>0)经过点(-1,坐),且短轴长为2.

(I)求椭圆。的标准方程;

(II)若直线/与椭圆。交于P,0两点,且求AOP。面积的取值范围.

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