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/y2

1.已知椭圆C：7+会=1的右焦点为F,下顶点为81，上顶点为82,离心

1T-♦

率为1FB2=-2.

（I）求椭［MIC的标准方程：

（H）设椭圆C的右顶点为4椭圆C上有一点尸（不与/重合），直线尸F与直线x=2

相交于点"，若MM=百，求点P的横坐标.

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2.已知函数/(X)g(x)=lnx.

(1)若曲线y=/(x)在x=l处的切线方程为》=去+6,且存在实数，使得y=Z(x+。

+b与曲线y=g(x)相切，求，的值.

(2)设函数＜p(x)=af(x+1)-g(x+1)+g(a)-1.

(i)若＜p(x)＞0恒成立，求。的取值范围；

(ii)若函数(p(x)仅有两个不同的零点，求〃的取值范围.

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3.已知函数/(%)=----lnx(m,ne/?).

(I)若函数/(x)在(1,/(I))处的切线与直线x-y=0平行，求实数，的值;

(II)若〃=1时，函数/(X)恰有两个零点XI，X2(0<Xl<X2)»证明：X|+X2>2.

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4.己知函数/(x)=ar+/nr+l.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)对任意的x>0,不等式/(x)恒成立，求实数。的取值范围.

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5.在平面直角坐标系中，A.8分别为椭圆万+y2=i的上、下顶点，若动直线/过

点P(0,b)且与椭圆r相交于C、。两个不同点(直线/与y轴不重合，旦C、

。两点在y轴右侧，C在。的上方)，直线与8C相交于点。

(1)设「的两焦点为为、尸2，求/尸“伤的值；

(2)若6=3,且PD=*PC,求点0的横坐标：

(3)是否存在这样的点尸，使得点。的纵坐标恒为彳若存在，求出点P的坐标，若不

存在，请说明理由.

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6.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为（0,1）,离心率e=等，过椭圆的右焦点尸的

直线/与坐标轴不垂直，且交椭圆于48两点

（I）求椭圆的标准方程；

（II）当直线/的斜率为g时，求弦长的值.

（HI）设M（〃i,0）是线段OF（O为坐标原点）上一个动点，且（总+麻）1n，求

m的取值范围.

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7.已知项数为〃？(wGN*,m^2)的数列｛。〃｝满足如下条件：(T)an6N*(//=1,2,…,m)；

@a\<az<-*<ani.若数列｛b〃｝满足色=(%+叱:二即2)'"wN",其中〃=1,2,…，

〃?，则称｛6｝为｛〃｝的“心灵契合数列”.

(1)数列1,5,9,11,15是否存在“心灵契合数列”，若存在，写出其“心灵契合数

列”；若不存在，请说明理由；

(2)若｛仇｝为｛板｝的“心灵契合数列”，判断数列｛加｝的单调性，并予以证明：

(3)已知数列｛〃〃｝存在“心灵契合数列”仍〃｝,且m=l,一=1025,求〃z的最大值.

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8.设数列4ai,。2,…，的各项均为正整数，且aiWa2<…Wo”.若对任意在{3,

4,n},存在正整数i,J使得以=处+卬，则称数列4具有性质「

（I）判断数列小：1,2,4,7与数列出：1，2,3,6是否具有性质7；（只需写出结

论）

（II）若数列/具有性质7,且“1=1,02=2,“”=200,求"的最小值：

（III）若集合S={1,2,3.…，2019,2020}=SiUS2US3US4US5US6,且SCy=0

（任意i,代{1,2,--61,My）.求证：存在S,使得从S中可以选取若干元素（可

重复选取）组成一个具有性质7■的数列.

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9.已知函数/(x)=彳若，g(x)=2lnx+2a(aGR).

(1)求/(x)的单调区间：

(2)证明：存在“6(0.1),使得方程/(x)=g(x)在(1,+8)上有唯一解.

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10.已知函数/(x)=x2-2bx-Inx.

(I)讨论/(x)的单调性：

(II)设若/(x)在xo处有极值，求证：/(.ro)<|(1+/«2).

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11.在平面直角坐标系X。中，动直线48交抛物线r：f=4x于48两点.

（1）若NAOB=9Q°,证明直线48过定点，并求出该定点；

（2）点M为48的中点，过点M作与y轴垂直的直线交抛物线I'：f=4x于C点；点

N为ZC的中点，过点N作与y轴垂直的直线交抛物线「：”=4x于•点P.设△/8C的

面积Si，△4PC的面积为S2.

（/）若4B过定点（2,1）,求使S取最小值时，直线的方程；

（/7）求名的值.

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XV2

12.已知椭圆C：/+6=1（a>h>0）的长轴长是焦距的2倍，且过点（一1,1）.

（1）求椭圆C的方程：

（2）设，（x,y）为椭圆C上的动点，尸为椭圆。的右焦点，力、8分别为椭圆C的左、

—»

右顶点，点尸'满足PP'=（4-x,0）.

—>

IPP1

①证明：-为定值;

\PF\

②设。是直线l：x=4上的动点，直线5。分别另交椭圆C于〃、N两点，求L+lg

的最小值.

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13.正整数数列｛“〃｝的前”项和为S”前〃项积刀“时6N*(i=l,2,…〃)，则称数

列为“Z数列”.

(I)判断下列数列是否是Z数列，并说明理由；

①2,2,4,8；②8,24,40.56.

(II)若数列｛a”｝是Z数列,且42=2.求S3和73：

(III)是否存在等差数列是Z数列？请阐述理由.

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14.函数/（x）满足：对任意a,pGR,都有/（邓）=a/（p）+旷（a）,且/（2）=2,数

列｛期｝满足a〃=/（2"）（底N+）.

（1）证明数列｛骂｝为等差数列，并求数列｛斯｝的通项公式：

（2）记数列步,,｝前〃项和为S”，且治=吗土口，问是否存在正整数〃?，使得（加+1）（Sm

-4）+19尿V0成立，若存在，求〃?的最小值；若不存在，请说明理由.

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15.已知函数/(x)=1-x+alnx.

（I）求/（x）在（1,/（1））处的切线方程（用含a的式子表示）

（II）讨论/（x）的单调性;

（III）若/（X）存在两个极值点X”X2,证明："Xi""*)2.

X\-X2

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16.已知函数/(x)=lnx-ax(aGR)的最大值为-1.

(I)求函数/(x)的解析式：

(II)若方程/(X)=2-X-/有两个实根X|,X2，且X1<X2,求证：Xl+X2>l.

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/y2

17.已知椭圆£靛+台=l（a>b>0）的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆E

的长轴为直径的圆与直线x+y-2=0相切.

（I）求椭圆£的标准方程；

（n）4,B,C为椭圆£上不同的三点，O为坐标原点，若后+n+儿=阳试问：

△48C的面积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由.

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%。V。v2

18.已知椭圆C：三+互=1（0＞力＞0）的离心率为三~,长轴长为4&.

（I）求椭圆。的标准方程；

（II）设点P是椭圆。上的任意一点，若点P到点（2,0）的距离与点〃到定直线x=/

（/＞0）的距离之比为定值入，求入与I的值；

（III）若直线/：y=kx^-m（k#0）与椭圆。交于不同的两点M,N,且线段MN的垂直

平分线过定点（1,0）,求实数Z的取值范围.

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19.设S”为首项不为零等差数列｛斯｝的前〃项和，已知a期5=3°9,55=20.

（1）求数列｛a/的通项公式：

（2）设G为数列｛——｝的前〃项和，求®的最大值.

aMan+lQ/i+i

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20.设数列I。”｝,已知ai=4,b\—6»a”+i=bn+\=(/iGN*)>

(1)求数列｛6”的通项公式；

(2)设S,为数列｛儿｝的前〃项和，对任意”€N*,若。・(S,,-4〃)€[1,3]恒成立，求实

数p的取值范围.

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21.已知函数/(x)=2ln(jr+1)+sinx+l.

(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程;

(2)证明：xNl+/〃x；

(3)证明：f(x)W(x+1)2«s叫

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22.已知函数/(x)=+ax(a€R),g{x)=ex+|x2-x.

(1)当a=-4时，求函数/(x)的极值：

(2)定义：对于函数/(x),若存在xo,使/(xo)=xo成立，则称xo为函数的不动点,

如果函数尸(x)=/(x)-g(x)存在不动点，求实数a的取值范围.

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22

23.已知椭圆葭+金=1"＞方＞0）的右焦点到右准线的距离为1,过椭圆的右焦点且垂

直于长轴的直线被椭圆截得线段长为鱼.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若O为坐标原点，直线/与椭圆交于P,0两点，且直线/与/+/=争相切，

证明：OPJ_OQ.

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xyo

24.已知椭圆C：+^-=1(a>Z>>0)的左、右焦点分别为尸I，尸2,M(l,*)为椭圆上

一点，且|而i|+|.21=4.

(1)求椭圆。的方程：

(2)过点例作互相垂直的两条直线分别交椭圆C于另一点4B,求证：直线过定

点，并求出定点的坐标.

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25.｛〃“｝是等比数列，公比大于0,其前〃项和为S〃。怎N"）,｛加｝是等差数列.已知。1=1,

。3=。2+2,Ct4=b3+b5,。5=力4+2〃6・

（I）求｛斯｝和｛&｝的通项公式;

（II）设cn=（斯+1）.；%+[+1），数列｛5｝的前"项和为Tn，求Tn的值.

皿设“篇工》

“其中依N*,求di（neN*）.

2ki

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26.已知函数/(x)的定义域为。，若存在实常数人及“(aWO),对任意xCO,当x+a6Z)

且x-ae。时，+f(x-a)="(x)成立，则称函数/(x)具有性质〃(人,

a),集合M=｛(入，a)｝叫做函数/(x)的M性质集.

(1)判断函数/(x)=»是否具有性质M(人，a),并说明理由：

(2)若函数g(x)=sin2x+sinx具有性质M(入，a),求g(x)的"性质集：

(3)已知函数y=/z(x)不存在零点，且当X6R时具有性质M(t+"1)(其中，＞0,f

W1),若〃〃=/?(〃)(〃WN*),求证：数列｛斯｝为等比数列的充要条件是&=t或限=士

的t

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27.已知函数/(x)=〃/+(：0工1-3的图象在点(0,f(0))处的切线与直线x+y=0垂直.

(1)判断/(x)的零点的个数，并说明理由；

(2)证明：f(x)对xW(0,+8)恒成立.

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28.已知函数/(x)=(x-a-1)+ax(x>0).

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)当aW2时，若/(x)无最小值，求实数a的取值范围.

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29.已知椭圆C：葭+3=1（4Q0）的左焦点F（一百，0）,椭圆的两顶点分别为4（-

。，0）,B（a,0）,M为椭圆上除44之外的任意一点，直线的斜率之积为一

（I）求椭圆C的标准方程：

（II）若夕为椭圆C短轴的上顶点，斜率为A的直线/不经过P点且与椭圆C交于区F

两点，设直线尸E,P尸的斜率分别为右，依，且%+依=-1,试问直线/是否过定点，若

是，求出这定点；若不存在，请说明理由.

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30.已知椭圆C；芸+，=l（a>b>0）的离心率为去过焦点且垂直于长轴的弦长为3.

（1）求椭圆C的方程：

（2）过点（1,0）的直线/交确圆C于4,B两点，在x轴上是否存在定点尸，使得日1•而

为定值？若存在，求出点。的坐标和乐•丽的值；若不存在，请说明理由.

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31.已知各项均为正数的数列的前〃项和为S〃，且45〃=碎+2册.

（I）求数列｛斯｝的前〃项和为融；

22

TT4~n+n/—.—.—]—n4-2n

（II）求证：一--+y/^3+…+7V~•

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32.已知等差数列｛以〃｝和等比数列出〃｝的各项均为整数，它们的前〃项和分别为T〃,且

b[=2a\=2f历S3=54,。2+72=11.

(1)求数列｛〃〃｝,—的通项公式;

(2)求+0262+4363+,,,:

(3)是否存在正整数，"，使得孚萼1恰好是数列｛斯｝或｛加｝中的项？若存在，求出所

Sm+Tm

有满足条件的小的值；若不存在，说明理由.

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33.已知函数/(x)=/〃x-x+a有两个不同零点xi,X2(xi<X2).

(1)求a的取值范围；

11

(2)证明：当OVjqW.时，X\2X2<4,

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34.已知函数/(x)=lnx+ax+1.

(I)若函数/(x)有两个零点，求。的取值范围;

(Il)/(x)〈xe，恒成立，求a的取值范围.

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35.已知椭IM1E；^+^=l（a>h>0）,它的上，下顶点分别为4B,左，右焦点分别为

Fi，Fi，若四边形4尸|8/2为正方形，且面积为2.

（I）求椭圆£的标准方程：

<II）设存在斜率不为零且平行的两条直线/”h，它们与椭圆E分别交于点C,D,M,

M且四边形CDWN是菱形，求出该菱形周长的最大值.

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X。V。V2/Z1

36.已知椭圆C：/+金=1的离心率为万，且经过点（华，1）.

（I）求椭圆C的标准方程；

（II）若直线/与椭圆C交于M、N两点，8为椭圆C的上顶点，那么椭圆。的右焦点

尸是否可以成为△8MN的垂心？若可以，求出直线/的方程：若不可以，请说明理由.（注:

垂心是三角形三条高线的交点）

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37.已知入是非零实数，数列｛a,,｝的前八项和为满足S,=l+M"+i,且°2=-2.

（1）求两、43,并判断42,。3能否依次成等差数列，并说明理由；

（2）写出数列｛.｝的通项公式，并求出数列｛.｝是等比数列时人的值；

（3）是否存在入，使得对于任意的，怎N*,都有为WM（用为常数）恒成立？若存在，则

求入的取值范围，并对每个人的值写出相应的M的最小值A/S）:若不存在，请说明理由.

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38.某种汽车购买时费用为16.9万元，每年应交付保险费、汽油费共0.9万元，汽车的维修

保养费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，笫三年0.6万元，……依等差数列逐年递

增.

（1）求该车使用了3年的总费用（包括购车费用）为多少万元？

（2）设该车使用〃年的总费用（包括购车费用）为/（〃），试写出/（〃）的表达式：

（3）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）.

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39.若方程/（x）=工有实数根xo,则称刈为函数/（大）的•个不动点.已知函数/（x）=

e'配斗（a+1）x-alnx（e为自然对数的底数）aGR.

（1）当时/（x）是否存在不动点？并证明你的结论；

（2）若4=-°,求证/,（X）有唯一不动点.

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40.已知函数/(x)=x2ev.

(I)求/(x)的单调区间；

(II)过点P(1,0)存在几条直线与曲线y=/(x)相切，并说明理由;

(111)若/(x)(x-1)对任意x€R恒成立，求实数左的取值范围.

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//y2

41.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Ci：—+Y1-],C2：—+—=1.设直线/与椭

圆Ci切于点M,交椭圆C2于点4,B,设直线/1平行于/,且与椭圆C2切于点N.

(1)求证：宜线MN恒过原点O；

(2)若点M为线段ON上一点，求四边形O4N8的面积.

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42.已知△48C的三边长8。、AC.16成等差数列，且B、。的坐标分别为力（-3,0）、

C（3,0）.

（1）求顶点8的轨迹E的方程；

（2）求曲线E的内接矩形的面积的最大值.

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43.已知首项相等的两个数列｛册｝,｛儿｝(41H0,nWN・)满足a〃bn+l-aebn+2b〃+lbn=0.

(1)求证：数列｛察｝是等差数列；

Dn

(II)若瓦,=2"T,求｛。”｝的前〃项和5„：

(III)在(U)的条件下，数列｛&｝是否存在不同三项构成等比数列？如果存在，请你

求出所有符合题意的项：若不存在，请说明理由.

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44.已知等比数列｛〃“｝前〃项和为S"，"=ai=2,数列»”｝的各项为正，且满足

S3+3a3

b^]2-b・=a\2=a2b\.

nan

（1）求数列｛斯｝和｛加｝的通项公式：

1116—V31

（2）若C仔病仿+诟而前）'求证：F-4CI+C2+C3+……+CnV于

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45.一知函数f(x)=+g(x)-ax,QEZ,其中e是自然对数的底数.

(1)求函数/(x)在x=l处的切线方程；

(2)当x>0时，/(x)>g(x)恒成立，求Q的最大值.

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46.已知函数f(x)=a/"x(。/0)与、=加2的图象在它们的交点尸C,八处具有相同

的切线.

(I)求/(x)的解析式；

(2)若函数g(x)=(x-1)2+mf(x)有两个极值点xi,X2)且xi〈x2，求"”的取

值范围.

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X?v231

47.如图，已知椭圆C：/+6=l(a>b>0)过点(I,-),离心率为万，A,8分别是椭

圆C的左，右顶点，过右焦点尸旦斜率为A(k>0)的直线/与椭圆相交于M，N两点.

(/)求椭圆C的标准方程；

(2)记△/尸M,△8FN的面积分别为S”Si，若察=:，求A的值：

5

(3)记直线4M、8N的斜率分别为内，依，求售的值.

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48.已知椭圆C：=1（。＞人＞0）经过点（-1,坐），且短轴长为2.

（I）求椭圆。的标准方程；

（II）若直线/与椭圆。交于P,0两点，且求AOP。面积的取值范围.

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