第10章-结构动力学基础1课件

10.1一般概念一、结构的动力荷载及分类动力荷载：是指荷载的大小、方向、位置随时间迅速变化的荷载；它使结构质量产生不容忽视的加速度，使结构发生明显的振动，即在平衡位置附近往返运动。静力荷载：是指荷载的大小、方向、位置不随时间变化的荷载；同时考虑其对结构的影响来看，如果荷载变化极其缓慢，使结构质量产生的加速度可以忽略不计时，仍属于静力荷载动力荷载分类：周期荷载、冲击荷载、突加荷载、随机荷载10.1一般概念一、结构的动力荷载及分类动力荷载：是指荷（1）周期荷载：随时间周期性变化的荷载（简谐荷载和非简谐荷载）P(t)tPt（2）冲击荷载：作用于结构上的荷载值在很短的时间内急剧增大或减小的荷载P(t)ttrPP(t)tPtr动力荷载分类（1）周期荷载：随时间周期性变化的荷载（简谐荷载和非简谐荷载P(t)t（4）随机荷载：不能用确定的函数表示，非确定性的荷载。如地震作用，风荷载P(t)t二、动力计算的内容和研究方法首先要确定动力计算简图，明确动力荷载的性质和规律，然后进行分析。无论是确定结构的动力特性，或是计算动力反应，都是从研究结构质量的运动规律入手，把质点的位移作为基本未知量，建立体系的运动方程，进行分析。（3）突加荷载：在瞬间内将全部重量加于结构或移去的荷载P(t)t（4）随机荷载：不能用确定的函数表示，非确定性的动静法根据达朗贝尔（d’Alembert)原理，设想将惯性力I(t)加于振动体系的质点上，则任一瞬时体系中的实际各力与惯性力处于平衡状态。动力特性：是指结构的固有的振动频率，基本振动形式（主振型）和阻尼特性等。这些是结构自身的固有特性，与外部作用因素无关。动力反应：是指动力荷载作用下，结构产生的内力、位移、速度、加速度等。不仅与荷载的大小、方向、作用位置及其变化规律有关，即是时间的函数；还与结构的动力特性有关。与静力计算的对比：两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程。动静法动力特性：是指结构的固有的振动频率，基本振动形式（主振三、动力计算简图和动力自由度动力计算中要引入惯性力，因此计算简图要考虑质量的分布。一个动力体系运动过程中确定其任一时刻全部质量位置所需的独立几何参数的数目，为该体系的动力自由度。

实际结构的质量都是连续分布的，是无限自由度体系，选取动力计算简图是，常将无限自由度体系化为有限自由度体系。y(x,t)EIL单自由度体系EIL三、动力计算简图和动力自由度动力计算中要引入惯性EIL多自由度体系集中质量法EIL多自由度体系集中质量法EIL几点注意：1）对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于集中质量数，可能比它多，也可能比它少。一个质点两个自由度两个质点一个自由度2）体系的自由度与其超静定次数无关。3）体系的自由度决定了结构动力计算的精度。4）在几何构造分析中所说的自由度是刚体系的运动自由度，动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量的运动自由度。EIL几点注意：一个质点两个自由度两个质点一个自由度2）体系10.2单自由度体系的自由振动体系在没有外部动力荷载作用，而由初始位移（y0）或初始速度（v

0），或两者共同作用下引起的振动，叫做自由振动。一、运动微分方程根据动静法，建立质点的运动方程，可采用两种方式：（一）刚度法：取质点隔离体为研究对象。达朗伯定理：

F+N+I=010.2单自由度体系的自由振动体系在没有外建立运动方程时考虑质点所受的力有：（1）重力W为静力荷载（2）弹性恢复力

与位移成正比，方向与位移指向相反。k为刚度系数，其意义是使质点沿位移方向产生的单位位移时所需的在质点上所加的力（3）阻尼力

与质点的速度成正比，方向与速度相反。c为粘滞阻尼系数。（4）惯性力

其大小为质点质量与质点加速度之积，方向与加速度方向相反。ysty(t)mm可写出平衡方程：建立运动方程时考虑质点所受的力有：（1）重力W为静力荷因，可得出质点振动的运动微分方程：当动力位移由质点的静力平衡位置算起时，可不考虑质点的重力。（二）柔度法：取振动体系为研究对象。y(t)mδ（柔度系数）

按动静法，体系的动力位移可看为是由于惯性力和阻尼力静力作用所引起的可得方程：柔度系数δ和刚度系数k有如下关系：因，可得出质点振动的运动微令则两种方法所得方程可写成统一形式二、无阻尼自由振动它是二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为：常数C1，C2由初始条件确定设t=0m静力平衡位置质点位移方程：（一）运动微分方程令则两种方法所得方程可写成统一形式二、无阻尼自由振动它是二阶

可知，自由振动由两部分组成：一部分是由初始位移y引起，按余弦规律振动；另一部分是初始速度v

引起，按正弦规律振动。令可得：表示合成运动仍为简谐运动，其中A和φ为：振幅初相位y-yTy0tTyt0Tyt0-AA可知，自由振动由两部分组成：一部分是由初始（二）自振周期与频率自振周期1）结构的周期、频率只与结构自身的质量、刚度（柔度）系数有关，与外因无关，是结构自身的固有的特性，称为固有周期、固有频率；2）结构的频率与质量的平方根成反比，与结构刚度系数的平方根成正比；3）结构的固有周期和频率是结构动力性能的重要标志。自振频率（圆频率）（二）自振周期与频率自振周期1）结构的周期、频率只与结构自身例2计算结构的频率和周期mEIEIh11例1计算结构的频率和周期（EI为常数）δmhhP=1例2计算结构的频率和周期mEIEIh11例1计算结构（三）质点的振动规律质点的位移、速度、加速度和惯性力分别为：(1)当体系处在平衡位置时，加速度及惯性力为零，而速度最大达到振幅位置时，速度为零，而位移、加速度及惯性力同时达到最大。（2）位移、加速度和惯性力同步变化，利用这一性质，可在质点振幅位置建立运动方程，所得运动方程是代数方程而不是微分方程。（3）弹性力指向永远与位移方向相反，而惯性力永与位移方向相同。（三）质点的振动规律质点的位移、速度、加速度和惯性力分别为：例：求图示梁频率此梁为一个自由度体系，振动达到幅值时，两质点的振幅为A1A2,惯性力幅值为由平衡方程EI=∞2aaa即例：求图示梁频率此梁为一个自由度体系，振动达二、阻尼对自由振动的影响

振动中的阻尼通常采用粘滞阻尼，即假定阻尼与速度成正比，且方向与质点速度方向相反。有阻尼的自由振动运动微分方程：阻尼比当ξ

≥1时，临界阻尼情况及强阻尼情况，体系不引起振动；当ξ

<1时，称为低阻尼状态，体系呈振动运动。当ξ<1，及初始条件方程可解为：或其中二、阻尼对自由振动的影响振动中的阻尼通常采yt0ykyk+1第k个振幅为经过一周期相邻两振幅比值阻尼比ξ

越大，振幅衰减越快；振幅按等比级数递减可通过试验的方法测算阻尼比由自由振动试验曲线量测出任何相邻的两个振幅，算出对数衰减率R，则可求得阻尼比。可用相隔n

个周期的两个振幅计算R，可提高ξ精确度yt0ykyk+1第k个振幅为经过一周期相邻两振幅比值阻尼比10.3单自由度体系的受迫振动体系在振动过程中有动力荷载P(t)或支座运动等外部干扰作用时，其振动称为受迫（或强迫）振动。由质点的平衡可得：或：单自由度体系强迫振动的振动微分方程若体系的动力荷载不在质点上作用my(t)一、运动微分方程my(t)m10.3单自由度体系的受迫振动体系在振动过f111f

1P1由位移方程可得：即或二、简谐荷载下的无阻尼受迫振动设单自由度体系在质点上作用简谐荷载为：扰力幅值荷载频率不考虑阻尼，振动微分方程：上式中：my(t)f111f1P1由位移方程可得：即或二、简谐荷载下的无阻（一）质点的位移方程齐次解：特解：将特解及其二阶导数代入振动微分方程中可确定：质点位移方程为齐次解和特解之和：设零初始条件，即最后质点的位移方程由上式可以看出，振动是由两部分合成的；式右第一项是按荷载频率θ的振动。第二项是按自振频率ω的振动。后一部分是由荷载作用引起的称为伴生自由振动。实际上由于存在阻尼，伴生自由振动在短时间内即行消失，最后剩下的仅按荷载频率变化的振动，称为纯强迫振动。在振动开始两种振动共存阶段，称作过渡阶段，以后的纯强迫振动称为平稳阶段或稳态强迫震动。（一）质点的位移方程齐次解：特解：将特解及其二阶导数代入振动（二）稳态强迫振动的动力反应质点的位移方程：振动频率和荷载频率相同，二者完全同步振幅动力系数动力系数：最大动位移与最大静位移的比值，是衡量动力反应大小的重要指标。1023123θ/ωβ当θ/ω→0时,β→1，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理当0<θ/ω<1时,β>1，并且随θ/ω

的增大而增大当θ/ω=1时,β=∞。即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为“共振”当θ/ω>1时,β的绝对值随θ/ω

的增大而减小，且为负值，质点的位移和扰力的指向相反。（二）稳态强迫振动的动力反应质点的位移方程：振动频率和荷载频例1：已知m=300kg，EI=90×105N.m2,k=48EI/l3,P=20kN,θ=80s-1；求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。l/2EIl/2m解：1)求ω2)求β3)求ymax，Mmax例1：已知m=300kg，EI=90×105N.m2,k=例2：图示简支梁跨中有一集中质量m，支座A处受动力矩Msinθt作用，求质点的动位移和A的动转角的幅值。解：体系的动力荷载Msinθt不是作用在质点，因而不能直接利用统一的β求动位移，可由建立体系的振动方程来求解。EIl/2l/2mMsinθtBA111M1M21）设惯性力和动力荷载分别为单位力和单位力偶作用在体系上，并作出相应的弯矩图M1M2l/42）质点的动位移是惯性力I(t)

和动力荷载共同作用下产生的，按叠加原理表示为将柔度系数代入上式，并整理得式中：自振频率等效荷载幅值运用图乘法可得：例2：图示简支梁跨中有一集中质量m，支座A处受动力矩Msi由质点位移方程可得，受迫振动的稳态解为：3)支座A处的动转角也是由惯性力I(t)和动力荷载共同作用下产生的，按叠加原理表示为：将y(t)求二阶导数代入上式，可得：将柔度系数和代入可得：质点的动位移幅值为其中为动荷载幅值M所引起的质点静位移yst,β为动力系数。由质点位移方程可得，受迫振动的稳态解为：3)支座A处的动支座处动转角幅值为其中为动荷载幅值M所引起的静转角，为动力系数。上例表明，动荷载不作用在质量上时，质点的位移的动力系数和支座处动转角的动力系数是不同的，即体系不能用统一的动力系数表示支座处动转角幅值为其中为动荷载幅值M所引起的静转角，三、阻尼对受迫振动的影响振动微分方程：齐次解：特解：全解：

与无阻尼的质点位移方程相比，多了相位差φ，质点仍为简谐振动，但与荷载不同步，位移变化之后于荷载变化。上式右第一大项是按自振频率ωr的振动，由于存在阻尼，这部分很快消失。余下的第二大项是按扰力频率θ的纯强迫振动纯强迫振动位移方程：如令频率比：三、阻尼对受迫振动的影响振动微分方程：齐次解：特解：全解：动力系数：1）β曲线随阻尼比增大而趋于平缓，在θ/ω=1附近β值降低比较快。2）当θ/ω=1时，有阻尼情况β

≠∞振幅A可写为：12θ/ω1023βξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=0ξ=1.0阻尼使动力系数减小，动力系数β与频率比及阻尼比有关：此时动力系数为：而最大动力系数不是在θ/ω=1处，而是在θ/ω值略小于1处由得动力系数：1）β曲线随阻尼比增大而趋于平缓，在θ/ω=10.4两个自由度体系的自由振动一、运动微分方程（一）位移方程法（柔度法）m1m2y1(t)y2(t)在自由振动过程中任意时刻t，质量m1、m2的位移y1(t)、y2(t)可看做体系在当时惯性力I1、I2作用下的静力位移。可得两个自由度体系自由振动微分方程：1δ

11δ

22δ

21δ

121I1I210.4两个自由度体系的自由振动一、运动微分方程（一）位移r2r1m1m2y1(t)y2(t)m1m211沿两个自由度方向截取包括相应质量的两个隔离体，各隔离体上作用相应的弹性力和惯性力，建立平衡方程。从而的振动微分方程两个自由度体系自由振动微分方程（二）动力平衡方程法（刚度法）I1I2k11k22k12k21r2r1m1m2y1(t)y2(t)m1m211（一）体系的固有振动体系中各质点按同频率、同相位的简谐振动，称为固有振动，又叫同步振动。其振动频率叫结构的固有频率。

n个自由度体系有n个固有频率。与每个固有频率相应，体系的振动有一定的振动形式，称作结构的固有振型，又叫主振型，或简称振型。对于两个自由度体系的固有振动，微分方程式的解为：将上式代入两个自由度体系的振动微分方程中，可得：二、固有振动及固有频率、主振型的确定结构的固有频率和主振型是结构的重要动力特性，固有振动或自由振动分析的目的就是确定结构的固有频率和主振型。（一）体系的固有振动体系中各质点按同频率、同固有振动基本方程为关于振幅的Y1、Y2齐次方程，振幅不会全为零，则其系数行列式必为零，可得：或（二）体系的固有频率或固有振动基本方程频率方程固有振动基本方程为关于振幅的Y1、Y2齐次可解得两个固有频率ω1和ω2。其中数值较小的为ω1，称为第一频率或基本频率，数值较大的为ω2，称作第二频率。频率方程展开，考虑δ

12=δ

21，令，可得：或上式可求得两个实根，为：或可解得两个固有频率ω1和ω2。其中数值较（三）体系的主振型由固有振动可得体系振动过程中，质点的位移大小虽然不断变化，但两个质量位置的之比始终相等，即振动形式是确定不变的，故可用振幅之比表示体系的主振型。两个自由度体系有两个固有频率，每个固有频率与一个特定的振动形式即主振型相对应。已求出ω1、ω2

后，可利用振动基本方程来求出各振幅比值，从而确定主振型。由由（三）体系的主振型由固有振动可得体系振动过程（四）主振型的正交性柔度系数的副系数δ

12=δ

21及刚度系数的副系数k12=k21是有正负号的，因此，求出的振幅比及相对振幅值也可有正号或负号。关于正负号的规则是，在计算开始时，先规定位移y1(t)及y2(t)的正方向，求柔度系数的单位力及求刚度系数的单位位移均按位移yi(t)的正向施加，则求得的柔度系数δ

ij或刚度系数kij指向与yi(t)正向相同者为正，反之为负。主振动是简谐自由振动，位移和惯性力同时达到幅值。第一主振型可看做相应惯性力幅值ω12m1Y

1(1)和ω12m2Y

2(1)作用所产生的静力位移。第二主振型可看作相应惯性力幅值ω22m1Y

1(2)和ω22m2Y2(2)作用所产生的静力位移。m1m2（四）主振型的正交性柔度系数的副系数δ12整理得：因，则存在：主振型的正交条件m1m2对两个状态应用虚功互等定理，有第一主振型第二主振型m1m2同一多自由度体系，各主振型之间存在正交性，相互不影响整理得：因，则存在：主例1求图示结构自振频率和振型。mml/2l/2l/2EIk=3EI/l3ABED解：体系为静定结构，有两个自由度1）求柔度系数，由图乘法和弹簧内力虚功计算，得l/2