第三章函数概念与性质3 2基本课时3奇偶性

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函数的基本性质课时3 函数的奇偶性学习目标了解函数奇偶性的定义.（数学抽象）掌握函数奇偶性的判断和证明方法.（逻辑推理）会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.（直观想象）自主预习·悟新知合作探究·提素养随堂检测·精评价观察下列两个函数的图象，据此回答下列问题：1.根据图象写出这两个函数的最值．[答案]

最小值都为0，都无最大值．这两个函数的图象有何共同特征？[答案]

都关于<>m𝑦/<>m

轴对称.对于上述两个函数，<>m𝑓

1

/<>m

与<>m𝑓−1

/<>m

，<>m𝑓

2

/<>m

与<>m𝑓−2

/<>m

，<>m𝑓

𝑎

/<>m

与<>m𝑓−𝑎

/<>m

有什么关系？由此可得到什么一般性的结论？[答案]

<>m𝑓

1 =

𝑓

−1

/<>m

，

<>m𝑓

2 =

𝑓

−2

/<>m

，

<>m𝑓

𝑎 =

𝑓

−𝑎

/<>m

.一般地，若函数<>m𝑦

=

𝑓

𝑥

/<>m

的图象关于𝑦m>< m></

轴对称，当自变量𝑥m>< m></

任取定义域中的一对相反数时，对应的函数值相等.即𝑓m><

−𝑥

=𝑓

𝑥

m></

，满足这种性质的函数叫作偶函数.4.怎样定义偶函数？=𝑓

𝑥

/<>m

，那么函数<>m𝑓

𝑥

/<>m

就[答案]

如果对于函数<>m𝑓

𝑥

/<>m

的定义域内任意一个<>m𝑥/<>m

，都有<>m𝑓

−𝑥叫作偶函数.><m

m<>/

m><௫/<>m5.类比偶函数，考查函数𝑓

𝑥 =

𝑥

和𝑓

𝑥 =

ଵ

的类似性质，你能给出奇函数的定义吗？[答案]

一般地，如果对于函数<>m𝑓

𝑥

/<>m

的定义域内任意一个<>m𝑥/<>m

，都有<>m𝑓

−𝑥 =−𝑓

𝑥

m></

，那么函数<>m𝑓

𝑥

/<>m

就叫作奇函数.1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）

𝑓

𝑥

是定义在𝐑

上的函数，若𝑓

−1 =

𝑓

1

，则𝑓

𝑥

一定是偶函数.(

×

)（2）

对于函数𝑦

=

𝑓

𝑥

，若存在𝑥

，使𝑓

−𝑥 =

−𝑓

𝑥

，则函数𝑦

=

𝑓

𝑥

一定是奇函数.(

×

)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(

×

)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数.(

×

)A.

𝑦

=

𝑥

B.

𝑦

=

3𝑥ଶ௫C.

𝑦

=

ଵ

D.

𝑦

=

𝑥𝑥

∈

[0,1]2.下列函数是偶函数的是(

10@@

B

).[解析]

选项A,

C

中的函数是奇函数，选项B中的函数是偶函数，选项D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数．3.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(

12@@

B

).A.

B.

C.

D.[解析]选项A中的图象关于原点、𝑦

轴均不对称，故排除；选项C,D

中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于𝑦

轴对称，其表示的函数是偶函数.故选B.4.若𝑓

𝑥

是定义在𝐑

上的奇函数，

𝑓

3 =

2

，则𝑓

−3 =

−m<>

2m<>/

，

𝑓

0=

0

．[解析]

因为𝑓

𝑥

是定义在𝐑

上的奇函数，所以𝑓

−3 =

−𝑓

3 =

−2

，

𝑓

0 =

0

．探究1

奇、偶函数寿字纹是古代中国传统纹饰之一，是文字纹的一种，多施用于瓷器与布帛之上，以允装饰．问题1：.该寿字纹图有何特点？[答案]

既轴对称又中心对称．问题2：.若该特点运用到函数中，函数的图象关于<>m𝑦/<>m

轴对称，则该函数是什么函数？[答案]

偶函数．问题3：.若该特点运用到函数中，函数的图象关于原点中心对称，则该函数是什么函数？[答案]

奇函数．新知生成，那><m∀𝑥∈𝐼/<>m

，都有><m−𝑥∈𝐼/><m

,且<>m𝑓

−𝑥=

𝑓

𝑥

/<>m偶函数的定义一般地，设函数𝑓

𝑥

的定义域为𝐼

，如果么函数𝑓

𝑥

就叫作偶函数．偶函数的图象特征如果一个函数是偶函数，那么这个函数的图象是以

<>m𝑦/<>m

轴

为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于

<>m𝑦/<>m

轴

对称，那么这个函数是

偶函数

．3.奇函数的定义一般地，设函数𝑓

𝑥

的定义域为𝐼

，如果

，那么函数𝑓

𝑥

就叫作奇函数．<>m∀𝑥

∈

𝐼/<>m

，都有<>m−𝑥

∈

𝐼/><m

,且><m𝑓

−𝑥 =

−𝑓

𝑥

m<>/4.奇函数的图象特征如果一个函数是奇函数，那么这个函数的图象是以

原点

为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，那么这个函数是奇函数．特别提醒:（1）定义域不关于原点对称的函数，既不是奇函数也不是偶函数．（2）对于奇函数𝑓m><

𝑥

m></

，若𝑓m><

0

m></

有意义，则𝑓m><

0 =

0/<>m

；对于偶函数<>m𝑓

𝑥

/<>m

，必有<>m𝑓

𝑥

=𝑓

−𝑥 =

𝑓

𝑥

/<>m

．（3）有的函数既不是奇函数，也不是偶函数，如𝑦m><

=

2𝑥

+

1m></

；有的函数是奇函数，但不是偶函数，如<>m𝑦

=

𝑥/<>m

；有的函数是偶函数，但不是奇函数，如<>m𝑦

= 𝑥

m></

；有的函数既是奇函数，又是偶函数，如<>m𝑦

=

0

𝑥

∈

[−1,1]

/<>m

．新知运用一、函数奇偶性的判断例1

判断下列函数的奇偶性．௫/><m<>m

m<>/（1）

𝑓

𝑥 =

ଵ

；（2）

𝑓

𝑥 =

𝑥ଶ

𝑥ଶ

+

2

；m><（3）

m><𝑓

𝑥௫=

௫ିଵ/<>m

；（4）

m><𝑓

/<>m= 𝑥ଶ

−

1

+ 1

−

𝑥ଶ

．௫[解析]

（1）

𝑓

𝑥 =

ଵ

的定义域为

−∞,0

∪ 0,

+∞

.∵

𝑓

−𝑥

=ଵ

=

−

ଵ

=

−𝑓

𝑥

，ି௫

௫௫∴𝑓

𝑥

=ଵ

是奇函数．（2）

𝑓

𝑥 =

𝑥ଶ

𝑥ଶ

+

2

的定义域为𝐑

.

∵

𝑓

−𝑥 =

𝑓

𝑥

，

∴

𝑓

𝑥 =

𝑥ଶ

𝑥ଶ

+

2

是偶函数．（3）

𝑓

𝑥

=௫௫ିଵ的定义域为

−∞,1

∪ 1,

+∞

．∵定义域不关于原点对称，

∴

𝑓

𝑥

=௫௫ିଵ既不是奇函数，也不是偶函数．（4）

𝑓

𝑥

= 𝑥ଶ

−1+ 1−𝑥ଶ

的定义域为{−1,1}.∵

𝑓

−𝑥 =

𝑓

𝑥 =

−𝑓

𝑥

，∴𝑓

𝑥

= 𝑥ଶ

−1+ 1−𝑥ଶ

既是奇函数，又是偶函数．方法总结 判断函数奇偶性的方法定义法：①定义域关于原点对称；②确定𝑓m><

−𝑥

m></

与𝑓m><

𝑥

m></

的关系．图象法．二、奇、偶函数图象的应用例2

定义在𝐑m></m><

上的奇函数𝑓m><

𝑥

/<>m

在<>m[0,

+∞ሻ/<>m

上的图象如图所示．（1）画出<>m𝑓

𝑥

/<>m

的图象；（2）解不等式𝑥𝑓m><

𝑥 ൐

0/<>m

．[解析]

（1）先描出

1,1

，

2,0

关于原点的对称点

−1,

−1

，

−2,0

，连线可得𝑓

𝑥的图象如图．（2）

𝑥𝑓

𝑥 ൐

0

即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知，

𝑥𝑓

𝑥 ൐

0

的解集是−2,0

∪

0,2

．【变式探究】

把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．[解析]

（1）

𝑓

𝑥

的图象如图所示，（2）

𝑥𝑓

𝑥方法总结>

0

的解集是

−∞,

−2

∪

0,2

．可以利用奇（偶）函数的图象关于原点（

<>m

𝑦

/<>m

轴）对称这一特性去画图、求值、解不等式等．1.判断下列函数的奇偶性．（1）

𝑓m><

𝑥

=

𝑥/<>m

；（2）

m><𝑓

𝑥

=௫/><mଵି௫మ

；（3）

m><𝑓

𝑥=

ቊ𝑥ଶ

+

𝑥,

𝑥

>

0，𝑥ଶ

−

𝑥，𝑥

<

0.

/><m[解析]

（1）函数𝑓

𝑥

的定义域为[0,

+∞)

，不关于原点对称，所以𝑓

𝑥= 𝑥

是非奇非偶函数．（2）

𝑓

𝑥

的定义域为[−1,0

，关于原点对称．ି௫𝑓

−𝑥 = ଵି௫మ

=

−𝑓𝑥 ，所以𝑓

𝑥 为奇函数．（3）

𝑓

𝑥

的定义域为

−∞,0

∪ 0,

+∞

，关于原点对称，= −𝑥

ଶ

−

−𝑥 =

𝑥ଶ

+

𝑥

=

𝑓

𝑥

；= −𝑥

ଶ

+

−𝑥 =

𝑥ଶ

−

𝑥

=

𝑓

𝑥

，当𝑥>0

时，−𝑥<0

，则𝑓

−𝑥当𝑥<0

时，−𝑥>0

，则𝑓

−𝑥所以𝑓

𝑥

是偶函数．2.已知奇函数<>m𝑓

𝑥

/<>m

的定义域为<>m[−5,5]/<>m

，且在区间<>m[0,5]/<>m

上的图象如图所示．（1）画出函数<>m𝑓

𝑥

/<>m

在区间<>m[−5,0]/<>m

上的图象；（2）写出使𝑓m><

𝑥 <

0/<>m

的<>m𝑥/<>m

的取值集合．[解析]

（1）如图，在[0,5]

上的图象上选取5个关键点𝑂

，

𝐴

，

𝐵

，

𝐶

，

𝐷

．分别描出它们关于原点的对称点𝑂′，𝐴′

，𝐵′

，𝐶′，𝐷′

，再用光滑曲线连接即得．（2）由（1）图可知，当且仅当𝑥

∈

−2,0

∪

2,5

时，

𝑓

𝑥 <

0

．∴使𝑓

𝑥 <

0

的𝑥

的取值集合为{𝑥|

−

2

<

𝑥

<

0或2

<

𝑥

<

5}

.探究2

利用函数的奇偶性求值或参数问题1：.若函数<>m𝑦

=

𝑓

𝑥

/<>m

是奇函数，且点<>m

𝑎,

𝑓

𝑎

m></

是𝑦m><

=

𝑓

𝑥

/<>m

图象上一点，则点<>m

−𝑎,

−𝑓

𝑎

/<>m

是否在函数图象上？−𝑎,−𝑓

𝑎

/<>m

在函数<>m𝑦=[答案]

在．因为<>m𝑓

𝑥

/<>m

为奇函数，所以<>m−𝑓

𝑎 =

𝑓

−𝑎

m></

，故点m><𝑓

𝑥

/<>m

的图象上．问题2：.对于定义域内的任意<>m𝑥/<>m

，若<>m𝑓

−𝑥 +

𝑓

𝑥 =

0m></

，则函数𝑓m><

𝑥

m></

是否具有奇偶性？若<>m𝑓

−𝑥 −𝑓

𝑥 =

0m></

呢？[答案]

由𝑓m><

−𝑥 +

𝑓

𝑥 =

0/<>m

，得<>m𝑓

−𝑥由𝑓m><

−𝑥 −𝑓

𝑥 =

0/<>m

，得<>m𝑓

−𝑥 =

𝑓

𝑥=−𝑓

𝑥

/<>m

，所以<>m𝑓

𝑥

/<>m

为奇函数．/<>m

，所以<>m𝑓

𝑥

/<>m

为偶函数．新知生成关于𝑦

轴的对称点><m

−𝑥,

𝑓

𝑥/<>m关于原点的对称点奇（偶）函数的定义域关于

原点

对称．函数奇偶性的概念偶函数的实质是函数𝑓

𝑥

图象上任一点

𝑥,

𝑓

𝑥也在𝑓

𝑥

图象上．奇函数的实质是函数𝑓

𝑥

图象上任一点

𝑥,

𝑓

𝑥也在𝑓

𝑥

的图象上．<>m

−𝑥,

−𝑓

𝑥/><m3.若函数<>m𝑓

𝑥

/<>m

是奇函数,且在<>m𝑥=0/<>m

处有定义，则必有<>m𝑓

0=0/<>m

，即函数图象必过原点.新知运用=𝑎𝑥ଶ

+𝑏𝑥+3𝑎+𝑏

是偶函数，定义域为[𝑎−1,2𝑎]，则𝑎=，（2）已知函数𝑓

𝑥ଵ><mଷ/><m例3

（1）若函数

𝑓

𝑥𝑏

=

0

．

><m0/<>m

．=𝑎𝑥ଶ

+2𝑥

是奇函数，则实数𝑎=ଷ[解析]

（1）因为偶函数的定义域关于原点对称，所以𝑎

−1

=

−2𝑎

，解得𝑎

=

ଵ

．又函数𝑓

𝑥

=ଵ

𝑥ଶ

+𝑏𝑥+𝑏+1

为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得𝑏=0

．=

0

，得𝑎

−𝑥

ଶ

+

2

−𝑥 +

𝑎𝑥ଶ

+

2𝑥

=

2𝑎𝑥ଶ

=

0

，ଷ（2）由奇函数定义有𝑓

−𝑥 +

𝑓

𝑥故𝑎=0

．方法总结 利用奇偶性求参数的常见类型定义域含参数：奇偶函数𝑓m><

𝑥

m></

的定义域为[m><

𝑎,

𝑏]m></

，根据定义域关于原点对称，利用𝑎m><

+

𝑏

=

0m></

求参数．式含参数：根据𝑓m><

−𝑥 =

−𝑓

𝑥

/<>m

或<>m𝑓

−𝑥 =

𝑓

𝑥

/<>m

列式，利用待定系数法求解．1.若函数𝑓

𝑥 =

𝑥ଶ

− 𝑥

+𝑎

为偶函数，则实数𝑎

=

0

．[解析]

（法一）显然𝑥

∈

𝐑

，由已知得𝑓

−𝑥

= −𝑥

ଶ

− −𝑥

+𝑎 =

𝑥ଶ

− 𝑥

−

𝑎

．=

𝑓

−𝑥

，即𝑥ଶ

− 𝑥

+𝑎 =

𝑥ଶ

− 𝑥

−𝑎

，即

𝑥

+𝑎

=又𝑓

𝑥

为偶函数，所以𝑓

𝑥𝑥

−𝑎

.又𝑥∈𝐑

，所以𝑎=0

．（法二）由题意知𝑓

−1 =

𝑓

1

，则

𝑎

−1

= 𝑎

+1

，解得𝑎

=

0

．2.已知函数𝑓

𝑥

是奇函数，当𝑥

∈−∞,0

时，𝑓

𝑥=𝑥ଶ

+𝑚𝑥

.若𝑓

2=−3

，则𝑚

的值为

．ଵ<>mଶ/<>m[解析]

∵

𝑓

−2 =

−𝑓

2 =

3

，

∴

𝑓

−2

= −2

ଶ

−

2𝑚

=

3

，

∴

𝑚

=

ଵ

．ଶ函数𝑓

𝑥是奇函数C.既是奇函数又是偶函数=

𝑥 +1

(

47@@

B

).B.是偶函数D.是非奇非偶函数[解析]

∵

𝑓

−