高一平面向量教案

高一平面向量教案平面向量一、向量相关概念：1.向量的定义：向量是既有大小又有方向的量，与数量有所不同。向量通常用带箭头的有向线段表示，但不能简单地认为向量就是有向线段，因为向量可以平移。例如，已知A（1,2），B（4,2），将向量AB按照向量a＝（－1,3）平移后得到的向量是（3,0）。2.零向量：长度为0的向量称为零向量，记作0，其方向可以是任意的。3.单位向量：长度为1的向量称为单位向量。与AB共线的单位向量是±AB/|AB|。4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量称为相等向量，具有传递性。5.平行向量（也称共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b称为平行向量，记作a∥b，规定零向量与任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行和两条直线平行是不同的概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量不具有传递性（因为存在AC共线的情况）；④三点A、B、C共线的充要条件为AB、AC共线。6.相反向量：长度相等且方向相反的向量称为相反向量。a的相反向量是－a。以下是正确的命题：（1）若a=b，则a=b。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB=DC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则AB=DC。（5）若a=b,b=c，则a=c。（6）若a//b,b//c，则a//c。答案为（4）和（5）。二、向量的表示方法：1.几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后。2.符号表示法：用小写英文字母表示，如a、b、c等。3.坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a=x*i+y*j=(x,y)，称(x,y)为向量a的坐标，a=(x,y)表示向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与终点的坐标相同。三、平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1*e1+λ2*e2。例如：（1）若a=(1,1)，b=(1,-1)，c=(-1,2)，则c=a-b。向量的加减法、数量积、向量积等。2．向量的加减法：（1）向量加法：设向量a，b，它们的起点都在同一点P上，以它们的终点为对角线作△OAB，以O为起点作向量c，即c＝a＋b，那么向量c的终点就是△OAB的第三个顶点B。（2）向量减法：设向量a，b，它们的起点都在同一点P上，以b的终点为对角线作△OAB，以O为起点作向量c，即c＝a－b，那么向量c的终点就是△OAB的第三个顶点B。3．向量的数量积：（1）数量积的定义：设向量a，b，它们的夹角为，则称|a||b|cos为向量a，b的数量积，记作a•b，即a•b＝|a||b|cos。（2）数量积的性质：①交换律：a•b＝b•a；②分配律：(a)•b＝(a•b)，a•(b)＝(a•b)；③结合律：a•(b＋c)＝a•b＋a•c；④对于任意向量a，a•a|a|2，且a•a≥，当且仅当a＝时，a•a＝；⑤当且仅当a，b共线且同向时，a•b＝|a||b|，当且仅当a，b共线且反向时，a•b＝－|a||b|；⑥当且仅当a，b垂直时，a•b＝。4．向量积：（1）向量积的定义：设向量a，b，它们的夹角为，则称向量|a||b|sin的方向垂直于向量a，b所在的平面，其大小等于以|a|，|b|，所构成的平行四边形的面积，记作a×b，即a×b＝|a||b|sin。（2）向量积的性质：①交换律：a×b＝－b×a；②分配律：a×(b＋c)＝a×b＋a×c，(a)×b＝(a×b)，a×(b)＝(a×b)；③结合律：a×(b×c)＝(a•c)b－(a•b)c；④对于任意向量a，b，有a×b＝0的充分必要条件是a，b共线或其中至少有一个为0向量；⑤当a，b不共线时，向量a，b，a×b构成右手系，即以a，b为邻边，右手握住a，弯曲的四指指向b，此时大拇指的方向就是a×b的方向。七．空间向量的坐标表示：1．空间直角坐标系：设O为空间直角坐标系的原点，x轴、y轴、z轴两两垂直，且满足右手定则，即当右手的四指从x轴转向y轴时，大拇指所指方向为z轴正方向，则称该坐标系为空间直角坐标系。2．空间向量的坐标表示：设向量a的起点为原点O，终点为点P(x,y,z)，则向量a的坐标表示为a＝(x,y,z)，称为向量a的坐标三元组。3．空间向量的加减法：设向量a＝(x1,y1,z1)，b＝(x2,y2,z2)，则a＋b＝(x1＋x2,y1＋y2,z1＋z2)，a－b＝(x1－x2,y1－y2,z1－z2)。4．空间向量的数量积：设向量a＝(x1,y1,z1)，b＝(x2,y2,z2)，则a•b＝x1x2＋y1y2＋z1z2。5．空间向量的向量积：设向量a＝(x1,y1,z1)，b＝(x2,y2,z2)，则a×b＝(y1z2－z1y2，z1x2－x1z2，x1y2－y1x2)。6．空间向量的混合积：设向量a＝(x1,y1,z1)，b＝(x2,y2,z2)，c＝(x3,y3,z3)，则(a×b)•c＝x1y2z3＋y1z2x3＋z1x2y3－x1z2y3－y1x2z3－z1y2x3。向量加法可以用“平行四边形法则”来进行，但要注意该法则只适用于不共线的向量。除此之外，还可以利用“三角形法则”来进行向量加法运算：设向量AB为a，向量BC为b，则向量AC即为向量a与向量b的和，即a+b=AB+BC=AC。向量减法可以利用“三角形法则”来进行：设向量AB为a，向量AC为b，则向量a-b=AB-AC=CB，其中减向量的终点指向被减向量的终点。需要注意的是，减向量与被减向量的起点相同。对于以下问题：1.化简：AB+BC+CD=___；(答：AD)；(AB-CD)-(AC-BD)=____；(答：CB)；AB-AD-DC=____；(答：BC)2.若正方形ABCD的边长为1，AB为向量a，BC为向量b，AC为向量c，则|a+b+c|=____。(答：2√2)在坐标系中进行向量运算时，设向量a的坐标为(x1,y1)，向量b的坐标为(x2,y2)，则向量a+b的坐标为(x1+x2,y1+y2)，向量a-b的坐标为(x1-x2,y1-y2)。对于以下问题：1.已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若AP=AB+λAC(λ∈R)，则当λ=____时，点P在第一、三象限的角平分线上。(答：1/3)2.若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则向量AB的坐标为(x2-x1,y2-y1)。设A(2,3)，B(-1,5)，且AC=AB，AD=3AB，则C、D的坐标分别为(1,7)和(-7,9)。平面向量a和b的数量积为a•b=x1x2+y1y2。对于以下问题：已知向量a=(sinx,cosx)，b=(sinx,sinx)，c=(-1,2)。1.若x=π/3，求向量a和c的夹角。(答：150)2.若x∈[−2π/3,π/3)，函数f(x)=λa•b的最大值为k，求λ的值。(答：-2或-1)向量的模为|a|=√(x^2+y^2)，向量a的单位向量为a/|a|。对于以下问题：已知向量a和b均为单位向量，它们的夹角为60度，那么|a+3b|=____。(答：√13)两点A(x1,y1)和B(x2,y2)之间的距离为|AB|=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。注：文章中的符号“”应为“=”。十．线段的定比分点1.定比分点的概念：在线段$P_1P_2$上，如果存在一个实数$\lambda$，使得$\vec{PP_2}=\lambda\vec{P_1P_2}$，那么点$P$就是线段$P_1P_2$的以定比$\lambda$分的定比分点。2.$\lambda$的符号与分点$P$的位置之间的关系：当$P$点在线段$P_1P_2$上时，$\lambda>0$；当$P$点在线段$P_1P_2$的延长线上时，$\lambda<-1$；当$P$点在线段$P_2P_1$的延长线上时，$-1<\lambda<0$。若点$P$分线段$P_1P_2$所成的比为$\dfrac{m}{n}$，则点$P$分线段$P_2P_1$所成的比为$\dfrac{n}{m}$。3.线段的定比分点公式：设$P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$，$P(x,y)$分线段$P_1P_2$所成的比为$\lambda$，则$$\begin{cases}x=x_1+\lambda(x_2-x_1)\\y=y_1+\lambda(y_2-y_1)\end{cases}$$特别地，当$\lambda=1$时，就得到线段$P_1P_2$的中点公式$$\begin{cases}x=\dfrac{x_1+x_2}{2}\\y=\dfrac{y_1+y_2}{2}\end{cases}$$在使用定比分点的坐标公式时，应明确$(x,y)$，$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比$\lambda$。例如：（1）若$M(-3,-2)$，$N(6,-1)$，且$MP=-\dfrac{3}{7}M