关联速度的分解

关联速度的分解在高中运动的合成与分解教学中，学生常常难以理解如何分解速度，特别是合速度和分速度的区别。一个简单的方法是：物体实际运动的方向就是合速度的方向，然后分析合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向。一、绳、杆连接的物体绳、杆等连接的物体在运动过程中，两端物体的速度通常不同，但两端物体的速度是有联系的，称为“关联”速度。关联速度的关系是：物体沿杆（或绳）方向的速度分量大小相等。因此，求解这类问题时，首先要明确绳连物体的速度为合速度，然后将两物体的速度分别分解成沿绳方向和与绳垂直方向的分速度，令两物体沿绳方向的速度相等即可求出。例如，如图1-1所示，在一光滑水平面上放置一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v运动。当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多少？解析：绳子牵引物体的运动中，物体实际上在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v是合速度。将v按如图1-2所示进行分解，其中：v=v物cosθ，使绳子收缩，v⊥=v物sinθ使绳子绕定滑轮上的A点转动，所以v物=v．cosθ。二、杆连接的物体另一个例子是杆连接的物体。例如，如图2-1所示，一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上，物块以速度v向右运动。求当杆与水平方向夹角为θ时，小球A的线速度vA？解析：选取物与棒接触点B为连结点，B点的实际速度（合速度）也就是物块速度v；B点又在棒上，参与沿棒向A点滑动的速度v1和绕O点转动的线速度v2，因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解。由速度矢量分解图得v2=vsinθ，设此时OB长度为a，则a=h/sinθ，令棒绕O点转动角速度为ω，则ω=v2/a=vsin2θ/h，故A的线速度vA=ωL=vLsin2θ/h。三、平面镜反射的光线另一个例子是平面镜反射的光线。如图3-1所示，S为一点光源，M为一平面镜，光屏与平面镜平行放置，SO是垂直照射在M上的光线，已知SO=L，若M以角速度ω绕O点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点S′在屏上移动的瞬时速度v为多少？由于光线在平面镜上的反射是一种合速度，因此，我们可以将SO的方向作为合速度的方向。然后，将合速度分解成沿镜面和垂直镜面的两个分速度。当镜子转过30°时，根据几何关系可以求出反射光线的方向和角度，从而求出S′在屏上移动的瞬时速度v。由几何光学知识可知，当平面镜绕点O逆时针转过30°时，反射光线与入射光线的夹角为60°，此时反射光线的长度为L/cos60°。选取光点S′为连结点，该点实际速度（合速度）就是在光屏上移动速度v，同时也参与绕点O的转动线速度v。因此，可以将这个合速度沿反射光线及垂直于反射光线的两个方向分解，如速度矢量分解图3—2所示，其中v1=vsin60°，v2=vcos60°。由圆周运动知识可得，反射光线绕点O的角速度为2ω，因此有vcos60°=2ωL/cos60°，解得v=8ωL。在解决相互接触物体的速度关联问题时，首先需要明确两接触物体的速度，并分析弹力的方向。然后，将两物体的速度分别沿弹力方向和垂直于弹力方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出相互接触物体的速度关系。例如，考虑一个半径为R的半圆柱沿水平方向向右以速度v匀速运动。在半圆柱上放置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图4所示。当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆的运动速度可以表示为v1=vtanθ，其中v1为竖直方向上的速度