第11讲概率统计模型数据拟合方法分解课件

概率模型概率模型1概率模型（一）报童的诀窍（二）航空公司的超额订票问题概率模型（一）报童的诀窍2确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑概率模型统计回归模型马氏链模型随机模型确定性模型随机性模型确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略随机因素影响可以简单地3数学期望离散型随机变量X的概率分布为则随机变量X的数学期望值为连续型随机变量X的概率密度函数为则随机变量X的数学期望值为期望值反映了随机变量取值的“平均”意义！数学期望离散型随机变量X的概率分布为则随机变量X的数4报童的诀窍问题：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，假设a>b>c。即报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。报童的诀窍问题：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖51.确定设计变量和目标变量2.确定目标函数的表达式每天的总收入为目标变量每天购进报纸的份数为设计变量3.寻找约束条件寻找设计变量与目标变量之间的关系设计变量所受的限制问题分析1.确定设计变量和目标变量2.确定目标函数的表达式每天的总收6若每天购进0份，则收入为0。若每天购进1份，售出，则收入为a-b。退回，则收入为–(b-c)。若每天购进2份，售出1份，则收入为a-b–(b-c)

。退回，则收入为–2(b-c)。售出2份，则收入为2(a-b)

。收入还与每天的需求量有关，而需求量是随机变量则收入也是随机变量，通常用均值，即期望表示。若每天购进0份，则收入为0。若每天购进1份，售出，71设每天购进n份，日平均收入为G(n)3每天需求量为r的概率f(r),r=0,1,2…2售出一份赚a-b；退回一份赔b-c模型假设与符号说明1设每天购进n份，日平均收入为G(n)3每天需8求n使G(n)最大每天的收入函数记为U(n)，则收入函数的期望值为建模求n使G(n)最大每天的收入函数记为U(n)，则收入9将r视为连续变量模型求解将r视为连续变量模型求解10使报童日平均收入达到最大的购进量应满足上式。因为使报童日平均收入达到最大的购进量应满足上式。因为11售完的概率因为当购进份报纸时，是需求量不超过的概率是需求量超过的概率售不完的概率上式意义为：购进的份数之比，恰好等于卖出一份赚的钱与退回一份赔的钱之比。应该使卖不完与卖完的概率售完的概率因为当购进份报纸时，是需求量不超过的概率是需求量12根据需求量的概率密度的图形可以确定购进量在图中用分别表示曲线下的两块面积，则Onr当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。结论求解的几何意义根据需求量的概率密度的图形可以确定购进量在图中用分别表示曲线13注意求解技巧：连续化建模方法：从特殊到到一般归纳抽象1998年B题灾情巡视路线单旅行商到多旅行商1999年B题钻井布局网格的平行移动到旋转运动2000年B题钢管的订购与运输线形到树形2000年C题飞越北极球形到椭球形人口模型，战争模型随机变量的目标函数：期望值航空公司的超额订票模型注意求解技巧：连续化建模方法：从特殊到到一般归纳抽象199814利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是多少？举例利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售15查概率积分表得查概率积分表得16航空公司的西北大学数学系航空公司的西北大学数学系171问题的提出航空公司为了提高经济效益开展了一项预订票业务。随之带来一系列的问题：若预订票的数量恰等于飞机的容量，则由于总会有部分已订票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员而利润降低，或亏本；若不限制订票的数量，那些本已订好了某家航空公司的某趟航班的乘客，却被意外地告知此趟航班已满，公司不管以什么方式补救总会引起乘客的抱怨，导致荣誉受损。西北大学数学系试建立航空公司订票决策的数学模型，解决以上的问题。1问题的提出航空公司为了提高经济效益开展了一项预订票业务182问题分析公司的经济利益公司的社会声誉利润=收入-成本-赔偿金已订票但被挤掉的乘客的数量怎样确定预订票数量限额，使得利润最大，同时被挤掉的乘客的数量尽可能小。问题转化为以预订票数量为决策变量的双目标随机规划问题。西北大学数学系订票策略：为了航空公司的经济利益与社会声誉，确定预订票的最佳数量。2问题分析公司的经济利益公司的社会声誉利润=收入-成193模型假设飞机容量为常数n，机票价格为常数g，飞行费用为常数r。机票价格按照来制订，其中是利润调节因子，如表示飞机60%满员就不亏本。预订票数量的限额为常数m(>n)，每位乘客不按时前来登机的概率为p，各位乘客是否按时登机是相互独立的。每位被挤掉的乘客获得的赔偿金为常数b。西北大学数学系3模型假设飞机容量为常数n，机票价格为常数g，飞行204模型建立先不考虑社会声誉的影响。公司的经济利益用平均利润（数学期望）S来衡量订票的总人数是，有可能超出航空公司可能从航班中得到的利润为当有个人误机时，西北大学数学系4模型建立先不考虑社会声誉的影响。订票的总人数是，有可21个人误机的概率是，由假设2平均利润即(数学期望值)，设有由得当给定后，可以求m使最大。西北大学数学系个人误机的概率是，由假设2平均利润即22西北大学数学系西北大学数学系23考虑到社会声誉，应该要求被挤掉的乘客不能太多。而由于被挤掉者的数量是随机的。用被挤掉的乘客数超过若干人的概率作为衡量标准。设被挤掉的乘客数超过人的概率为，则被挤掉的乘客数超过j人等价于m位预订票的乘客中不按时前来登机的不超过m-n-j人。从社会声誉和经济利益两方面考虑nm-njm-n-j西北大学数学系考虑到社会声誉，应该要求被挤掉的乘客不能太多。被挤掉的乘客数24所建模型为双目标的优化模型模型变形航空公司综合考虑大量的因素，得出的临界人数大约是航班载客量的60%，即西北大学数学系所建模型为双目标的优化模型模型变形航空公司综合考虑大量的因素25西北大学数学系西北大学数学系26计算一架载客量为300的飞机所能得到的预期利润，假设5模型求解m300302304306308310312314316P5000000.00050.00440.02320.0791J10.58330.59390.60440.61500.62540.63550.64450.65190.6568m318320322324326328330332334P50.19310.36270.55580.72950.85650.93350.9730J10.65940.66000.65920.65770.65580.65370.6517西北大学数学系计算一架载客量为300的飞机所能得到的预期利润，假设5模27结果表明：当超额订票的乘客数分别为20和39时，可以达到最大的预期利润。有超过5名乘客发生座位冲撞的概率分别为36%和54%。当超额订票的乘客数分别为18和36时，可以达到较大的预期利润。有超过5名乘客发生座位冲撞的概率却分别为20%和30%。m300302304306308310312314316P5000000000J20.50000.51000.52000.53000.54000.55000.56000.57000.580031832032232432632833033233433600.00020.00080.00300.00930.02430.05470.10740.18690.29220.59000.59990.60970.61930.62830.63650.64360.64920.65330.6559西北大学数学系结果表明：当超额订票的乘客数分别为20和39时，可以达到m3286模型推广1）酒店酒店接受房间预订主要是建立在诚信之上，因此通常不会再接受有过失信记录的顾客的预订。一些酒店在接受预订时会要求顾客交纳押金，以此来确保顾客住房的概率（施行这种方案的一般是低价酒店，因为它们的周转资金往往不多），而另一些酒店则可能会给长期订房或是预付房费的顾客打折。这种多价格系统的经营方式是可以考虑的。西北大学数学系6模型推广1）酒店西北大学数学系293）图书馆图书馆都有可能购买一些畅销书籍的多种版本。特别是在学院或大学图书馆里，时常购买一系列课本。某些版本极有可能仅限在图书馆内，以方便学生们的使用。可以尝试建立书籍使用的模型。2）汽车出租公司汽车出租公司一般会保留固定数量的汽车（至少在短期内）以出租给顾客。出租公司可能会为频繁租借汽车的顾客打折，以此来确保公司能有最低量的收入。而一些长期出租品（一次出租一周或一个月）也会标上优惠的价格，因为这给出了一个至少确定了未来的一段日子会有收入的策略。在预测一些车辆的预订可能会被取消的情况下，一间公司有可能充分地留出比它们计划中要多的汽车。西北大学数学系3）图书馆2）汽车出租公司西北大学数学系30求解双（多）目标的优化模型根据对多目标的偏好程度，通过加权组合形式，化为单目标规划问题。把一个目标作为约束条件，解另一个目标的规划问题。7注意西北大学数学系求解双（多）目标的优化模型7注意西北大学数学系31

假设在某一高校里只有两类餐厅，一类是学校公办餐厅，另一类是私人的承包餐厅，通过调查发现，在公办餐厅就餐的学生有60%会回到这类餐厅，而在承包餐厅就餐的学生有50%的回头率，试建立数学模型求解学生在每类餐厅长期就餐的百分比。课堂练习学生就餐问题假设在某一高校里只有两类餐厅，一类是学校32数据拟合方法最小二乘法数据拟合方法最小二乘法33数据拟合建模给定一组有序的数据点，这些点可以是从实验中测量得到的，也可以是设计员给出的。构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。构造插值曲线所采用的数学方法称为曲线插值法。希望数据拟合建模给定一组有序的数据点，这些点可以34测量所得或设计员给出的数据点本身就很粗糙，要求构造一条曲线严格通过给定的一组数据点就没有什么意义。注意到构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点将更为合理，称之为对这些点进行曲线逼近。构造逼近曲线所采用的数学方法称为曲线逼近法。相应的有曲面插值（逼近）问题。测量所得或设计员给出的数据点本身就很粗糙，要35

常用的拟合方法有：

1、一般插值法2、样条插值法3、最小二乘法

36最小二乘法的基本原理在实验中收集到一组数据可以由这组数据分析出一个经验公式：其中为一组待定参数，使得取到最小值，从而确定出参数的值。这样就得到由这组数据确定的拟合函数。最小二乘法的基本原理在实验中收集到一组数据可以由这组数据分析37假设我们预想到一个确定形式的模型，并且已经收集了数据并进行分析。在这里用最小二乘准则来估计各种类型曲线的参数。拟合直线用记作的最小二乘估计。这时运用最小二乘准则，则要求极小化假设我们预想到一个确定形式的模型，并且已经收38最优的必要条件是改写为将和的值全部代入，方程组就变为二元一次代数方程组最优的必要条件是改写为将和的值39斜率截距斜率截距40例1在钢线碳含量对电阻的效应研究中，得到以下数据：

碳含量

x0.10.30.40.550.70.80.95电阻效应y1518192122.623.826试求其线性拟合曲线，并估计在碳含量的这一改变过程中对电阻的总效应。对给定的数据点集用最小二乘准则拟合直线设A与B最小二乘估计为a，b计算得例1在钢线碳含量对电阻的效应研究中，得到以下数据：碳41最小二乘近似模型为利用Mathematics软件，可得最小二乘近似模型为利用Mathematics软件，可得42第11讲概率统计模型数据拟合方法分解ppt课件43拟合幂曲线对给定的数据点集用最小二乘准则拟合形式的曲线，为确定的数，现在来估计的值即研究模型的最小二乘估计。运用最小二乘准则要求极小化最优的必要条件是拟合幂曲线对给定的数据点集用最小二乘准则拟44为确定的数注意

类似的，可以将最小二乘准则用于其它模型。应用该方法的限制在于计算最优化过程中要求的各种导数，令这些导数为零，解这些方程组，求出模型类型中的参数。为确定的数注意类似的，可以将最小二乘准则用于45例2用下表给出的数据拟合二次曲线，并预测x=2.25时y的值。x0.51.01.52.02.5

y0.73.47.212.420.1最小二乘估计a，由确定。计算得例2用下表给出的数据拟合二次曲线46最小二乘近似模型为由此模型可计算当x=2.25时，预测y的值为16.1337最小二乘近似模型为由此模型可计算当x=2.25时，预测47第11讲概率统计模型数据拟合方法分解ppt课件48经变换的最小二乘拟合例如，用最小二乘准则拟合模型最优化的必要条件是在理论上最小二乘准则很易应用，但在实践上可能是有困难的。研究模型的最小二乘估计经变换的最小二乘拟合例如，用最小二乘准则拟合模型最优化的必49许多简单的模型会产生很复杂的求解过程，或者很难解的方程组。基于这一原因，我们要使用变换，得出近似的最小二乘模型。解这个非线性方程组是不容易的。许多简单的模型会产生很复杂的求解过程，或者很难解的方程组50通过对数据分析研究，发现先变换数据再对变换后的数据拟合直线很方便。例如，图形拟合，可以作变换而对于和x的图却是直线。对变换后的数据拟合直线，可用于最小二乘准则，简化拟合过程的计算。特别地，如果找到一个方便的变换，问题变成在变换后的变量X和Y间采用的形式。通过对数据分析研究，发现先变换数据再对变换后的数据拟合直51方程两边取对数得假设我们想对这数据点集拟合幂曲线用记Ａ的估计，

记Ｎ的估计。在变量对的图中，上方程构成一条直线。是此直线的截距，

是此直线的斜率。用变换后变量和个数据点，有x0.51.01.52.02.5

y0.73.47.212.420.1对于数据方程两边取对数得假设我们想对这数据点集拟合幂曲线52从所给的数据得到从所给的数据得到53所以方程的最小二乘最佳拟合为产生由此模型可计算当x=2.25时，预测y的值为16.4348所以方程的最小二乘最佳拟合为产生由此模型可计算当x=254假设仍想对这数据点集拟合二次曲线仍用记Ａ的估计，对方程两边取对数得x0.51.01.52.0