2022年广东省广州市第二十一中学高三数学理月考试题含解析

2022年广东省广州市第二十一中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设m、n是两条直线，α、β是两个不同平面，下列命题正确的是（）A．若m⊥α，n?β，m⊥n，则α⊥βB．若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nC．若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥βD．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n参考答案：D考点：命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．.专题：计算题．分析：若m⊥α，n?β，m⊥n，则α与β相交或平行；若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m与n平行、相交或异面；若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n与β相交，或n?β；若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n．解答：解：若m⊥α，n?β，m⊥n，则α与β相交或平行，故A不正确；若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m与n平行、相交或异面，故B不正确；若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n与β相交，或n?β，故C不正确；若α∥β，m⊥α，则m⊥β，再由n∥β，得m⊥n，故D正确．故选D．点评：本题考查命题的真假判断及应用，是基础题．解题时要认真审题，注意平面的基本性质及其推论的应用．2.在平面直角坐标系xOy中，已知A(),B(0,1)，点C在第一象限内，，且|OC|=2，若，则,的值是(A)

，1

(B)

1，

(C)

，1

(D)1，参考答案：A因为，所以。。则。，即。，即，所以，选A.3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C．4+2π D．4+π参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱柱与半圆柱的组合体，根据三视图判断三棱柱的高及底面为等腰直角三角形的相关几何量的数据，判断半圆柱的高及底面半径，把数据代入棱锥与圆柱的体积公式计算可得．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱与半圆柱的组合体，且三棱柱与半圆柱的高都是2，三棱柱的一侧面为圆柱的轴截面，三棱柱的底面为等腰直角三角形，且腰长为2，半圆柱的底面半径为1，∴几何体的体积V=×2×22+×π×12×2=4+π．故选：D．4.已知函数f（x）是定义在实数集R上的偶函数，则下列结论一定成立的是（）A．?x∈R，f（x）＞f（﹣x）B．?x0∈R，f（x0）＞f（﹣x0）C．?x∈R，f（x）f（﹣x）≥0D．?x0∈R，f（x0）f（﹣x0）＜0参考答案：C考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题．分析：由偶函数的性质f（﹣x）=f（x）即可对A，B，C，D四个选项逐一判断，即可得到答案．解答：解：∵函数f（x）是定义在实数集R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），故?x∈R，f（x）＞f（﹣x）错误，即A错误；对于B，若f（x）=0，则不存在x0∈R，f（x0）＞f（﹣x0），故B错误；对于C，?x∈R，f（x）f（﹣x）≥0，正确；对于D，若f（x）=0，则不存在x0∈R，f（x0）f（﹣x0）＜0，故D错误；故选C．点评：本题考查函数奇偶性的判断，着重考查偶函数的概念与性质的应用，考查特称命题与全称命题，属于基础题．5.有两张卡片，一张的正反面分别画着老鼠和小鸡，另一张的正反面分别画着老鹰和蛇，现在有两个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上，不考虑顺序，则向上的图案是老鹰和小鸡的概率是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】求出基本事件的所有可能性，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：将两张卡片排在一起组成两位数，则共有4个，分别为：老鼠老鹰；老鼠蛇；小鸡老鹰；小鸡蛇，所组成的图案是老鹰和小鸡的概率p=，故选：C．6.（5分）（2015秋?太原期末）已知函数f（x）在R上的导函数为f′（x），若f（x）＜f′（x）恒成立，且f（0）=2，则不等式f（x）＞2ex的解集是（）A．（2，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，2）参考答案：B【分析】造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（0）=2，求得g（0）=2，继而求出答案．【解答】解：∵?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，∴f′（x）﹣f（x）＞0，于是有（）′＞0，令g（x）=，则有g（x）在R上单调递增，∵f（0）=2，∴g（0）=2，∵不等式f（x）＞2ex，∴g（x）＞2=g（0），∴x＞0，故选：B．【点评】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．7.已知函数是偶函数，上是单调减函数，则A. B.C. D.参考答案：A略8.设函数f(x)的定义域为D，若满足条件：存在，使f(x)在[a，b]上的值域是，则称f(x)为“倍缩函数”．若函数为“倍缩函数”，则t的范围是

A.

B.(0，1)

C.

D．参考答案：A略9.用数学归纳法证明不等式时的过程中，由到时，不等式的左边。。。。。。。。。。。。。。。（）A．增加了一项

B．增加了两项C．增加了两项，又减少了一项D．增加了一项，又减少了一项参考答案：C10.如图所示为函数的部分图像，其中A,B两点之间的距离为5，那么A. B. C. D.1参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，满足||=1，||=3，|2﹣|=，则与的夹角为

．参考答案：【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】设与的夹角为θ，则由题意可得4﹣4+=10，求得cosθ的值，再结合θ∈[0，π），可得θ的值．【解答】解：设与的夹角为θ，则由题意可得4﹣4+=10，即4﹣4×1×3×cosθ+18=10，求得cosθ=，再结合θ∈[0，π），可得θ=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于基础题．12.（几何证明选讲选做题）如图，过⊙外一点分别作圆的切线和割线交圆于，且，是圆上一点使得，则

．

参考答案：6

：因为(弦切角等于它所夹弧所对圆周角),,所以与相似,所以即,所以.13.已知，若对，，，则实数的取值范围是

．参考答案：14.已知向量=（2，x），=（1，3），与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为

．参考答案：（﹣，6）∪（6，+∞）【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的物理背景与概念．【专题】计算题；转化思想；平面向量及应用．【分析】由题意可得数量积大于0，且x×1﹣2×3≠0，解不等式求得x的取值范围．【解答】解：由题意可得=2+3x＞0，且x×1﹣2×3≠0，∴x＞﹣，且x≠6，故实数x的取值范围为（﹣，6）∪（6，+∞），故答案为：（﹣，6）∪（6，+∞）．【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．15.已知是函数的两个零点，，则的取值范围是.参考答案：【知识点】函数的零点与方程根的关系．B9解析：令f（x）=0，则，作出和在R上的图象，可知恰有两个交点，设零点为x1，x2且，x1＜1，x2＞1，故有＞x2，即x1x2＜1．又f（）＜0，f（1）＞0，∴＜x1＜1，∴x1x2＞．故答案为：（，1）．【思路点拨】作出和在R上的图象，可知恰有两个交点，设零点为x1，x2且，再结合零点存在定理，可得结论．16.（文）定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下面五个关于的命题：①是周期函数；②图像关于对称；③在上是增函数；④在上为减函数；⑤，其中的真命题是

．（写出所有真命题的序号）

参考答案：①②⑤17.设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．参考答案：[﹣1，1]考点： 直线与圆的位置关系．专题： 直线与圆．分析： 根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．解答： 解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．点评： 本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）项目

类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A产品20m10200B产品40818120

其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计．另外，年销售件B产品时需上交万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．（1）写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润与生产相应产品的件数之间的函数关系并指明其定义域；（2）如何投资最合理（可获得最大年利润）？请你做出规划．参考答案：

解：（1）由年销售量为件，按利润的计算公式，有生产A、B两产品的年利润分别为且）

2分

=

4分（2），，，为增函数.

时，生产A产品有最大利润为（万美元）。

6分又时，生产B产品有最大利润为460（万美元）

8分因为

10分

所以，当时，可投资生产A产品200件；

当时，生产A产品与生产B产品均可；

当时，可投资生产B产品100件．

12分19.如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，.已知.（Ⅰ）证明：（Ⅱ）若为的中点，求三菱锥的体积.参考答案：（1）证明：连接交于点

又是菱形

而4分

⊥面----------------------------------5分略20.（本小题满分16分）设t＞0，已知函数f(x)＝x2(x－t)的图象与x轴交于A、B两点．（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）设函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率为k，当x0∈(0，1]时，k≥－恒成立，求t的最大值；（Ⅲ）有一条平行于x轴的直线l恰好与函数y＝f(x)的图象有两个不同的交点C，D，若四边形ABCD为菱形，求t的值．参考答案：解：（Ⅰ）f′(x)＝3x2－2tx＝x(3x－2t)＞0，因为t＞0，所以当x＞或x＜0时，f′(x)＞0，所以(－∞，0)和(，＋∞)为函数f(x)的单调增区间；当0＜x＜时，f′(x)＜0，所以(0，)为函数f(x)的单调减区间．

4分（Ⅱ）因为k＝3x02－2tx0≥－恒成立，所以2t≤3x0＋恒成立，

6分因为x0∈（0，1]，所以3x0＋≥2＝，即3x0＋≥，当且仅当x0＝时取等号．所以2t≤，即t的最大值为．

8分（Ⅲ）由（Ⅰ）可得，函数f(x)在x＝0处取得极大值0，在x＝处取得极小值－．因为平行于x轴的直线l恰好与函数y＝f(x)的图象有两个不同的交点，所以直线l的方程为y＝－．

10分令f(x)＝－，所以x2(x－t)＝－，解得x＝或x＝－．所以C（，－），D（－，－）．

12分因为A（0，0），B（t，0）．易知四边形ABCD