(交叉分配系数)向量与三角形内心、外心、重心、垂心

向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系（欧拉线的介绍）一、四心的概念介绍、（1（2（3等；（4）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四线与向量的结合1•定理：如图，设OP=xAA+九AB,12PBPA,九=.iA^—2AB-则九+九=1,且九=12（记忆:交叉分配系数）OA2•若^°P上的任意一点'则0M==（Ap应用1：（1）中线：2）应用2.四线上的动点表示:4）高线:中垂线:⑴中线上的动点：MAB+AC）或九（ABAC+)IABIsinBIACIsinCAB（2）高线上的动点:九（l+ACABcosBACcosc)，（3）角平分线上的动点山ABACABAC⑷中垂线上的动点：AP二°B+AC+九(+ABAC2IABIcosBIACIcosC

三、四心与向量的结合1.定理：设O是AABC内任意一点，贝USOA+SOB+SOC=0NBOCAAOCAAOB(记忆：拉力平衡原则)应用：AOA+OB+OC=0(1)o是AABC的重心.oS:S:S==aAOA+OB+OC=02)O为AABC的垂心.oS2)O为AABC的垂心.oSABOC：S：SAAOCAAOB=tanA:tanB:tanC2)O为2)O为AABC的垂心.oOA•OB=OB•OC=OC•OAF■14—FotanAOA+tanBOB+tanCOC=0⑶0为AABC的内心.OSaboc：Saaoc：SAAOB=C=SinA:sinB:sinC、*pfaOA+bOB+cOC=<fl或sinAOA+sinBOB+sinCOC=0oaOA+bOB+cOC=0(4)O为AABC的外心oS:S:S=sinZBOCsinZAOCsinZAOB=sin2A:sin2B:sin2CABOCAAOCAAOB^1osin2AOA+sin2BOB+sin2COC=02.四心的向量表示：1)opo=3(pa1)opo=3(pa+pb+pc)O为AABC的内心.oOA•(AB-AC)=OB•(BC-BA)=OC•(CA-CB)=0ABACBCBACACB(4)0为AABC的外丿o|oA|=OB=|OC|四•典型例题：一、与三角形“四心”相关的向量问题题1：已知o是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足(abAC)OP=OA+九——+I,九W[0,+Q.则P点的轨迹一定通过AABC的(IABIIACI丿A.外心»B-._心C.重心D.垂心题2:已知「O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=0A+九(AB+AC),Xe[0,+s).则P点的轨迹一定通过AABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心一M3:已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足ABACOP=OA+X(+),九e[0,+Q,则动点P的轨迹一定通过AABC的IABIsinBIACIsinC

A.重心B.垂心C.外心D.内心题4:已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足ABACOP=OA+九(+),九w[°，+8),则动点P的轨迹一定通过厶IABIcosBIACIcosCABC的L)—・―・A.重心—>B.垂丿—>C.夕卜心D.内心题5:已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=九e[0,+8),则动点OP=九e[0,+8),则动点P的轨迹一定通2IABIcosBIACIcosC过AAB^过AAB^的—>)A.重心C.夕卜心D.内心题6:三个不共线的向量OA,OB,OC满足OA・（竺+-CA）=OB•单+竺）IABIICAIIBAIICBITOC\o"1-5"\h\zBCca>>»=OC•(——+——)=0,则O点是△ABC的(卄IBCIICAI——一一——A.垂心—‘B.重心C.内心D.夕卜心~~题7^知O是△ABC所在平面上的一点，若OA+OB+OC=0,则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心”D.垂心题8:已知O是△ABC所在平面上的一点，若PO二1(PA+PB+PC)(其中P为平面上任意一点)，则O点是△ABC的()一一一一A.外心B.内心C.重心D.垂心题9:已知O是厶ABC所在平面上的一点，若OA•OB=OB•OC=OC•OA，则O点是AABC的()A.夕卜心B.内心C.重心—‘—.垂心—,—,—.题10:已知O为△ABC所在平面内一点，满足IOAI2+1BCI2=IOBI2+1CAI2=IOCI2+1AB|2，则0点是△ABC的()A.垂心B.重心C.内心D.外心题11:已知p是△ABC所在平面上的一点，若(OA+OB)•AB=(OB+OC)•BC=(OC+OA)•CA=0,则O点是△ABC的()A.夕卜心B.内心C.重心——>D^垂心^——>—>—>题12:_已知O是△ABC所在平面上的一点，若aOA+bOB+cOC=0,贝1」O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心—,D.垂心—,aPA+bPB+cPC题13:已知O是△ABC所在平面上的一点，若PO=(其中P是a+b+c△ABC所在平面内任意一点)，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心―'D.垂心题14：△ABC的夕接圆的圆心为O,两边上的高的交点为H,OH=m(OA+OB+OC)，则实数m=.

二、与三角形形状相关的向量问题题15:已知非零向量ABAB与AC满足(IABIAC+1ACI)■BC=0且ABAC1IABI■IACI-2'则MBC为)一A.三边均不相等的三角形B.直角三角形一C.等腰非等边三角形D.等边三角形题16：已知OABC所在平面内一点，满足10B-OC|=|0B+0C-20A1,则△ABC一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形一一一一C.等腰三角形D.等边三角形题17:已知△ABC，若对任意t&R,IBA-tBC1>IAC1，则^ABC()A.必为锐角三角形B.必为钝角三角形C.必为直角三角形D.答案不确定一题18:已知a,b,c分别为△ABC中ZA,ZB,ZC的对边，GABC的重心，且a-GA+b-GB+c-GC=0,贝y^ABC为()A.等腰直角三角形B.直角三角形C-等腰三角形D.等边三角形三、与三角形面积相关的向量问题题19:已知点O是厶ABC内一点，0A+20B+30C=0,贝I」：(1)△AOB与△AOC的面积之比为⑵AABC与△AOC的面积之比为一一一_：⑶AABC与四边形ABOC的面积之比为四、向量的基本关系(共线)题20:如图，已知点G是△ABC的重心，若PQ过AABC的重心，记CA=a,CB=b,