月日等比数列概念及性质课件

2.4.1等比数列概念及通项公式第二课时2.4.1等比数列概念及通项公式第二课时1.定义2.公比(差)3.等比(差)中项4.通项公式5.性质(若m+n=p+q)q不可以是0,d可以是0等比中项等差中项等差数列等比数列1.定义2.公比(差)3.等比(差)4.通项公式5.性质q不月日等比数列概念及性质课件若等比数列{an}的首项为a1

，公比q，且且m,n,s,t均为正整数。若m+n=s+t,则aman=asat性质3：若等比数列{an}的首项为a1，公比q，且若m+n=s+t证明要积极思考哦若m+n=s+t,则aman=asat若等比数列{an}的首项为a1

，公比q，且且m,n,s,t均为正整数。证明要积极思考哦若m+n=s+t,则aman=asat若等定义法，只要看定义法，只要看月日等比数列概念及性质课件思考：你能得到更一般的结论吗？性质4：在等比数列中，序号成等差数列的项依原序构成的新数列是等比数列。思考：你能得到更一般的结论吗？性质4：在等比数列中，序号成等1.判断⑴b2=aca、b、c成等比数列；（）在等比数列{an}中，⑵a8a10=a18；（）⑶a2+a98=a3+a97；（）⑷a8+a10=a18；（）⑸a2a98=a3a97；（）⑹a2a98=；（）2.若a、b、c成等比数列，则函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数是

.3.在等比数列{an}中，a9a10a11a12=64，则a8a13=

.4.已知x，2x+2，3x+3是一个等比数列的前三项，求x.课堂练习√√××××0或1-41.判断课堂练习√√××××0或1-4

结论：如果是项数相同的等比数列，那么也是等比数列．

证明：设数列的公比为p，的公比为q，那么数列的第n项与第n+1项分别为与，即与．因为它是一个与n无关的常数，所以是一个以pq为公比的等比数列．

特别地，如果是等比数列，c是不等于０的常数，那么数列也是等比数列．结论：如果是项数相同的等比数列，那么也是等比练习：已知{an}为等比数列，(1)a5=2,a9=8,求a7=

___

(2)a5=2,a10=10,则a15=_____(3)a1=1/8,q=2,a4与a8的等比中项_____(4)a6=3,则a3a4a5a6a7a8a9=____(5)a4a15=-2,则a3a6a12a17=_____(6)a9a10a11a12=64,则a8a13=____练习：已知{an}为等比数列，补充练习（1）一个等比数列的第9项是，公比是，求它的第1项；（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项。补充练习（1）一个等比数列的第9项是，公比是练习．已知等比数列，a3=20

a6

=160,求q,an

变1：已知等比数列，a3=20

a5

=80,求q,a4变2：已知等比数列，a3=20

a７

=320,求q,a5练习．已知等比数列，a3=20变1：已知等比数小结1、理解与掌握等比数列的定义及递推公式：；2、要会推导等比数列的通项公式：，并掌握其基本应用；

3、等比中项：G2=ab递推法,叠乘法4.性质:

若m+n=p+q小结1、理解与掌握等比数列的定义及递推公式：作业本上：课本P53页A组1（2,3,4），2，8课余作业：优化方案2.4.1作业本上：等比数列的性质：①an=amqn-m②若m+n=p+q,则aman=apaq

等比数列的性质：等差数列等比数列性质1性质2性质3an=am+(n-m)d若n+m=p+q则am+an=ap+aq若n+m=s+t则an·am=as·at,项数成等差，数列成等差

项数成等差数列成等比对比记忆等差数列等比数列性质1性质2性质3an=am+(n-m)d若数列等差数列等比数列定义式公差（比）定义变形

通项公式

一般形式

an+1-an=dd叫公差q叫公比

an+1=an+d

an+1=anq

an=a1+(n-1)d

an=a1qn-1

an=am+(n-m)d

an=amqn-m比较：数列等差数列等比数列定义式公差（比）定义变形

通项公式

一等差数列等比数列定义

通项公式中项公式主要性质SnSn=？an－an-1=d(d为常数，n≥2)(q为常数n≥2)an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)dan=a1·qn-1(q≠0)an=am·qn-mA=G=若m+n=p+q,则am+an=ap+aq若m+n=p+q,则aman=apaq知识回顾等差数列等比数列定义通项公式中项公式主要性质SnS2.3.2等比数列的前n项和（1）2.3.2等比数列的前n项和（1）印度国王要奖赏国际象棋的发明者西萨，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放1颗麦粒，在第2个格子里放2颗麦粒，在第3个格子里放4颗麦粒，在第4个格子里放8颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里麦粒数的2倍，直到第64个子，请给我足够的粮食来实现上述要求。”你认为国王有能力满足发明者的上述要求吗？因为棋盘共有64格,所以各格中的麦子数组成了一个64项的等比数列:问题情境印度国王要奖赏国际象棋的发明者西萨，问他有什么要求，发明者说……①

把上式左右两边同乘以2得：……②由②-①得：错位相减说明：超过了1.84,假定千粒麦子的质量为40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨。全球年小麦产量达6亿吨

我国2010小麦产量达1.15亿吨

，粮食总产量5.5亿吨问题情境……①把上式左右两边同乘以2得：……②由②-①得：错位由此对于一般的等比数列，其前项和，如何化简？当时，等比数列的前项和等于多少？

①②①－②得

错位相减法由此对于一般的等比数列，其前项和，如何化简？当当时，此等比数列为常数列：，，，，….此时等比数列的前项和公式：（共n个）

等比数列求和公式当时，此等比数列为常数列：，，，，….此时等判断正误：

求和公式的运用判断正误：求和公式的运用说明：２.１.例1

求和公式的运用说明：２.１.例1求和公式的运用例1

例2

求和公式的运用例1例2求和公式的运用

求和公式的运用求和公式的运用1.根据下列各题中的条件,求出相应等比数列的前n项和

2.等比数列{an}中,a1=3,an=96,sn=189,求n的值3.“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”1.根据下列各题中的条件,求出相应2.等比数列{an}中,a3：远望巍巍塔七层，分析：这首古诗前三句给大家展现了一幅美丽的夜景，最后一句把它变成了一个数学问题？你能用今天的知识求出这首古诗的答案吗？

红光点点倍加增，其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？这首古诗的答案是什么？？解：设尖头有灯a1盏，则由题意得：S7=解得

a1

=3，故尖头有灯3盏

数学建模：已知等比数列,n=7,公比q=2,S7=381,3：远望巍巍塔七层，分析：这首古诗前三句给大家展现了一幅

本节课主要学习了等比数列的前n项和公式及其简单应用.1、知识小结

由特殊到一般、错位相减法、分类讨论思想、方程思想等2、思想方法小结课堂小结本节课主要学习了等比数列的前n项和公式1、知（2）、练习3：已知等差数列（1）、求的通项公式；（2）、令，求数列的前n项和（2）、练习3：已知等差数列再见！再见！变式练习：例1变式练习：例11.定义2.公比(差)3.等比(差)中项4.通项公式5.性质(若m+n=p+q)q不可以是0,d可以是0等比中项等差中项等差数列(AP)等比数列(GP)1.定义2.公比(差)3.等比(差)4.通项公式5.性质q不（一）知识回顾：

2.通项公式：

3.等比数列的主要性质：

②在等比数列{}中，若则()

①成等比数列

(G,a,b≠0)1.等比数列的定义：

（常数）

（）知识回顾（一）知识回顾：2.通项公式：3.等比数列的主要性质：作业作业9．课后作业，分层练习出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，为学有余力的学生提供思考的空间．必做：P192练习3：1，2，3，5·选作：设计意图：（2）“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这个问题的答案是多少？9．课后作业，分层练习①②①②巩固练习：（1）已知a1=-4,q=2,求S10

;（2）已知a1=1，ak=243,q=3,求Sk

.巩固练习：练习1：求相应的等比数列的前n项和练习1：求相应的等比数列的前n项和练习2、等比数列{an}中，a1=3,an=96,sn=189,求n的值解：由得：q=2所以：注：在a1,q,n,an,sn中，知三求二练习2、等比数列{an}中，a1=3,an=96,解：由得：2.在等比数列数列中2.在等比数列数列中（四）基础演练，提高认识

牛刀小试：

（四）基础演练，提高认识牛刀小试：印度还有一古老传说：在世界中心贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓梵塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。

印度还有一古老传说：在世界中心贝拿勒斯(在印不管这个传说是否可信，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序，一共需要移动多少次，那么，不难发现，不管把哪一片移到另一根针上，移动的次数都要比移动上面一片增加一倍。这样，移动第1片只需1次，第2片则需2次，第3片需4次，第64片需2的63次方次。全部次数为：18446744073709551615次这和“麦粒问题”的计算结果是完全相同的!假如每秒钟移动一次，共需要多长时间呢?一年大约有31556926秒，计算表明，移完这些金片需要5800多亿年!

不管这个传说是否可信，如果考虑一下把64片课堂小结由Sn.an,q,a1,n知三而可求二.了解等比数列的推导过程(错位相减)并能应用.课堂小结由Sn.an,q,a1,n知三而月日等比数列概念及性质课件等比数列的求和公式1121312111--++++=nnnqaqaqaqaqaaSK错位相减已知：等比数列{}，公比为，

，如何用

来表示

当时当时等比数列的求和公式1121312111--++++=nnnq（六）循序渐进、延伸拓展该题有助于培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想．训练学生注意考察q是否为1的情况，突破易错点。（六）循序渐进、延伸拓展该题有助于培养学生对含有参数的问题进设计意图：含参问题分类讨论逐层深化发展思维突破难点提高素养设计意图：含参问题分类讨论设计意图：含参问题分类讨论逐层深化发展思维突破难点提高素养设计意图：含参问题分类讨论（七）归纳总结、内化知识

等比数列前n项和求和公式。推导数列求和公式的错位相减法、提取q法、和比定理法。对含字母的等比数列要注意考察q是否为1。（七）归纳总结、内化知识等比数列前n项和求和公式。作业布置：必做：P50练习A1、2选做：必做题，有助学生课后巩固提高，选作题是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间．作业布置：必做：P50练习A1、2必做题，有助学生课后传说

古印度国王锡拉要奖励国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在第一个格子里放上1粒麦子在第二个格子里放上2粒麦子，在第三个格子里放上4粒麦子，在第四个格子里放上8粒麦子，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。请给我足够的粮食来实现上述要求”。国王觉得太容易了，就同意了他的要求.因为棋盘共有64格,所以各格中的麦子数组成了一个64项的等比数列我国2002粮食产量达4.56亿吨

传说古印度国王锡拉要奖励国际象棋的发明者，传说在古代印度，国王要奖赏国际象棋的发明者,发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。请给我足够的粮食来实现上述要求”。国王觉得并不难，就欣然同意了他的要求。你认为国王有能力满足发明者的要求吗？棋盘与麦粒传说在古代印度，国王要奖赏国际象棋的发明者,分析：由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是于是发明者要求的麦粒总数就是说明：超过了1.84,假定千粒麦子的质量为10g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨。所以国王是不可能同意发明者的要求。全球年小麦产量达6亿吨

分析：由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求。那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？第第第第第

一二三四……64

格格格格格

=18446744073709551615(粒)人们估计，全世界两千年也难以生产这么多麦子!假定千粒麦子的质量为10g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨。当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn

两式相减有(1–q)Sn=a1–a1qn

….Sn=……….Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a

S64=1+2+22+23+···+263

①2S64=2+22+23+···+263+264②错位相减法反思：纵观全过程，①式两边为什么要乘以2？两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，得到．S64=1+2+22+23+···+2633．类比联想，解决问题问题：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的成功和愉快．设计意图：3．类比联想，解决问题问题：由刚才的例子可知：实际上就是一个以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的求和问题，即：

……

①

把上式左右两边同乘以2

得：……②16+由②-①得：由刚才的例子可知：实际上就是一个以1为首项，2为公比的等比数提取公比法提取公比法用和比定理推导因为所以和比定理法等比数列前n项和为公比为q用和比定理推导因为所以和比定理法等比数列前n项和为等比数列的求和公式一般地，设有等比数列：1121312111--++++=nnnqaqaqaqaqaaSK错位相减等比数列的求和公式一般地，设有等比数列：1121312111等比数列的前n项和等比数列的前n项和目的要求1.掌握等比数列的前n项和公式,2.掌握前n项和公式的推导方法.3.对前n项和公式能进行简单应用.目的要求1.掌握等比数列的前n项和公式,重点难点重点

:等比数列前n项和公式的推导与应用.难点

:前n项和公式的推导思路的寻找.重点难点重点:等比数列前n项和公式的推复习1.等比数列的定义这些你都记得吗?复习1.等比数列的定义这些你都记得吗?等比数列前n项和公式的推导(一)用等比定理推导当q=1时Sn=na1因为所以或等比数列前n项和公式的推导(一)用等比定理推导当q=(二)从基本问题出发公式Sn=a1+a2+a3+…….+an-1+an

=a1+a1q+a1q2+…..+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+….+a1qn-3+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn–an)(二)从基本问题出发

(三)从(二)继续发散开有Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-2+a1qn-1(*)

qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn

(**

)两式相减有

(1–q)Sn=a1–a1qn

….Sn

=……….(三)从(二)继续发散开有Sn=a1+a1q小结

上述几种求和的推导方式中第一种依赖的是定义特征及等比性质进行推导,第二种则是借助的和式的代数特征进行恒等变形而得,而第三种方法我们称之为错位相减法.

由Sn.an,q,a1,n

知三而可求二

.小结上述几种求和的推导方式中例题选讲:例1.求等比数列1/2,1/4,1/8,…的前n项和

分析:拆项后构成两个等比数列的和的问题,这样问题就变得容易解决了.例2.求和例题选讲:例1.求等比数列1/2,1/4,1/8课堂作业Goodbay…P133-习题3.51.2.3.4.5.6.P141-复习参考题

14.P142-7.课堂作业Goodbay…P133-习题3.5(一)用等比定理推导当q=1时Sn=na1因为所以(一)用等比定理推导当q=1时Sn=na1由此得由此得由此得由此得月日等比数列概念及性质课件例2.某商场第一年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年增加10%,那么从第一年起,约几年内可使总销售量达到30000台(保留到各位)?答:约5年内可以使总销售量达到30000台.例2.某商场第一年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量小结(q=1).(q≠1).1.已知则(q=1).(q≠1).已知则2.对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q≠1两种情况。小结(q=1).(q≠1).1.已知则(q=1)郊尾中学——许建仙等比数列的前n项和郊尾中学——许建仙等比数列的前n项和（一）知识回顾：

2.通项公式：

3.等比数列的主要性质：

②在等比数列{}中，若则()

①成等比数列

(G,a,b≠0)1.等比数列的定义：

（常数）

（）（一）知识回顾：2.通项公式：3.等比数列的主要性质：传说古代印度有一个国王喜爱象棋，中国智者云游到此，国王得知智者棋艺高超，于是派人请来智者与其对弈，并傲慢地说：“如果你赢了，我将答应你的任何要求。”智者心想：我应该治一治国王的傲慢，当国王输棋后，智者说：“陛下只须派人用麦粒填满棋盘上的所有空格，第1格1粒，第2格2粒，第3格4粒……，以后每格是前一格粒数的2倍。”国王说：“这太简单了。”吩咐手下马上去办。过了好多天，手下惊慌地报告国王：“不好了……”。你猜怎么啦？原来经计算，印度近几十年生产的所有麦子加起来还不够。传说古代印度有一个国王喜爱象棋，中国智者云游到此，国王得知智由刚才的例子可知：实际上就是一个以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的求和问题，即：

……

①

把上式左右两边同乘以2

得：……②16+由②-①得：由刚才的例子可知：实际上就是一个以