经济学专业数学不定积分的换元积分法与分部积分法配套课件

复习引入(Introduction)在上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质”给出了“基本积分公式表”。但是，对于形如这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表我们就无能为力了。为此，……8/5/20231复习引入(Introduction)在上次课中，我们学习了“第三节换元积分法与分部积分法

第四章一、换元积分法二、分部积分法三、小结与思考题8/5/20232第三节换元积分法与分部积分法第四章一、换元积分法二设可导,则有基本思路8/5/20233设可导,则有基本思路8/1/20233一、第一类换元积分法定理1

则有换元公式(也称配元法,凑微分法)8/5/20234一、第一类换元积分法定理1则有换元公式(也称配元法,凑微解

8/5/20235解8/1/20235解

所以2023/8/56解所以2023/8/16解

8/5/20237解8/1/20237例4

求答案：例5

求例6

求答案：例7

求答案:例8

求答案：或8/5/20238例4求答案：例5求例6求答案：例7求答案:例答案：

答案：

答案：

答案：

答案：

自学课本例148/5/20239答案：答案：答案：答案：答案：自学课本例148/1万能凑幂法常用的几种配元形式:8/5/202310万能凑幂法常用的几种配元形式:8/1/2023102023/8/5112023/8/111二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则用第二类换元积分法

.难求，8/5/202312二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求是单调可导函数,且具有原函数,证:令则则有换元公式定理2设8/5/202313是单调可导函数,且具有原函数,证:令则则有换元公式定理解:

令则∴原式例14求8/5/202314解:令则∴原式例14求8/1/202314解:

令则∴原式例15求8/5/202315解:令则∴原式例15求8/1/202315解:令则∴原式例16求8/5/202316解:令则∴原式例16求8/1/202316令于是8/5/202317令于是8/1/202317或从上面三个例子，可以看出如果被积函数含有：可作代换可作代换可作代换8/5/202318或从上面三个例子，可以看出如果被积函数含有：可作代换可作代解

于是8/5/202319解于是8/1/202319

常用基本积分公式的补充

2023/8/520常用基本积分公式的补充2023/8/1208/5/2023218/1/202321新知识引入(Introduction)前面，我们利用复合函数的求到法则得到了“换元积分法”

。但是，对于形如的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算.

注意到，这些积分的被积函数都有共同的特点——都是两种不同类型函数的乘积。这就启发我们把两个这就是另一个基本的积分方法：分部积分法.

函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，8/5/202322新知识引入(Introduction)前面，我们利用复合函数积分得:分部积分公式或1)v容易求得;容易计算.由导数乘法公式：8/5/202323积分得:分部积分公式或1)v容易求得;容易计算.由

第四章（IntegrationbyParts）例18

求解:

令则∴原式另解:令则∴原式三、分部积分法答案2023/8/524第四章（IntegrationbyParts）例1解

原式解

.8/5/202325解原式解.8/1/202325解:

令则原式=例22求8/5/202326解:令则原式=例22求8/1/202326解

8/5/202327解8/1/202327解:

令则∴原式例24求8/5/202328解:令则∴原式例24求8/1/202328解:

令,则∴原式再令,则故原式=说明:

也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.例25

求自学课本例26、288/5/202329解:令,则∴原式再令,则故原式=说解:

令则原式令例26求8/5/202330解:令则原式令例26求8/1/202330把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”

的顺序,前者为后者为例5（补充题）求解:

令,则原式=反:反三角函数对:

对数函数幂:

幂函数指:

指数函数三:

三角函数解题技巧:（自学课本例5～6）8/5/202331把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,解:

令,则原式=例6（补充题）求8/5/202332解:令,则原式=例6（补充题）求8/1/202332本节小结2.分部积分公式(1)使用原则:易求出,易积分(2)使用经验:“反对幂指三”

,前u

后(3)题目类型:分部化简;循环解出;递推公式1.换元积分法8/5/202333本节小结2.分部积分公式(1)使用原则:易求出,易积分(课后练习习题4-32单数;3单数思考与练习1.

下列各题求积方法有何不同?8/5/202334课后练习习题4-32单数;3单数思考与练习1.2.

下列积分应如何换元才使积分简便?令令令8/5/2023352.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令8/1/2023.

求下列积分:8/5/2023363.求下列积分:8/1/2023364.

下述运算错在哪里?应如何改正?得

0=1答:

不定积分是原函数族