2023学年九年级数学上册从重点到压轴（人教版） 根的判别式和根与系数的关系（重点题专项讲练）（解析版）

专题21.2根的判别式和根与系数的关系【典例1】设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个实数根x1，x2．（1）若x12+x22＝2，求m的值；（2）令T=mx11−【思路点拨】首先根据方程有两个实数根及m是不小于﹣1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x12+x22为（x1+x2）2﹣2x1x2，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值；（2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围．【解题过程】解：∵关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个实数根，∴Δ＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）≥0，解得m≤1，∵m是不小于﹣1的实数，∴﹣1≤m≤1，∵方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣2（m﹣2）＝4﹣2m，x1•x2＝m2﹣3m+3．（1）∵x12+x22＝2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝2，∴4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）＝2，整理得m2﹣5m+4＝0，解得m1＝1，m2＝4（舍去），∴m的值为1；（2）T==m=m[(=m(4−2m−2=−2m(m−1＝2﹣2m．∵当m＝0时，方程为x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或x＝3．此时T没有意义．当m≠0时，﹣1≤m≤1，所以0≤2﹣2m≤4．即0≤T≤4且T≠2．1．（2021秋•南海区期末）已知5+12是一元二次方程x2﹣x+A．5−12 B．3−52 C．【思路点拨】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，把已知解代入求出另一根即可．【解题过程】解：∵5+12是一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根，另一根设为∴a+5解得：a＝1−5+12，即故选：C．2．（2021秋•莲池区期末）关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【思路点拨】分别讨论m＝0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1＝0根的情况，进而填空．【解题过程】解：当m＝0时，x＝﹣1，方程只有一个解，①正确；当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1＝0是一元二次方程，Δ＝1﹣4m（1﹣m）＝1﹣4m+4m2＝（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；把mx2+x﹣m+1＝0分解为（x+1）（mx﹣m+1）＝0，当x＝﹣1时，m﹣1﹣m+1＝0，即x＝﹣1是方程mx2+x﹣m+1＝0的根，③正确；故选：C．3．（2020•江汉区校级自主招生）对于方程x2﹣2|x|+2＝m，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．2【思路点拨】先把已知方程转化为关于|x|的一元二次方程的一般形式，再根据方程有三个实数根判断出方程根的情况，进而可得出结论．【解题过程】解：原方程可化为x2﹣2|x|+2﹣m＝0，解得|x|＝1±m−1，∵1−m−1∴方程必有一个根等于0，∵1+m−1∴1−m−1解得m＝2．故选：D．4．（2021秋•鄞州区校级期末）已知实数α，β满足2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，且αβ≠1，且1βA．254 B．−254 C．−【思路点拨】由2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，即2（1β）2+5×1β−2＝0，且αβ≠1，可得α、1β是方程2x2+5x﹣2＝0的两实根，由根与系数关系得α+1β=−52，α•【解题过程】解：∵实数α，β满足2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，且αβ≠1，∴2（1β）2+5×∴α、1β是方程2x2+5x∴α+1β=−∴1=−52×=−52（α+1=−52×=25故选：A．5．（2020•江岸区校级自主招生）设三个方程x2+4mx+4m2+2m+3＝0，x2+（2m+1）x+m2＝0，（m﹣1）x2+2mx+m﹣1＝0中，至少有一个方程有实数根，则m的取值范围是（）A．−32＜m＜−14 B．mC．m≤−32或m≥−14 【思路点拨】首先根据根的判别式求出三个方程没有一个方程有实数根的m的取值范围，然后即可求出题目要求的取值范围．【解题过程】解：设关于x的三个方程都没有实根．对于方程x2+4mx+4m2+2m+3＝0，则有△1＜0，即△1＝16m2﹣4（4m2+2m+3）＜0，解得m＞−3对于方程x2+（2m+1）x+m2＝0，则有△2＜0，即△2＝（2m+1）2﹣4m2＝4m+1＜0，解得m＜−1对于方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣1＝0，当m＝1时，方程变为2x＝0，方程有解，所以m≠1，则有△3＜0，即△3＝4m2﹣4（m﹣1）2＝8m+4＜0，解得m＜1综上所述：当−32＜m＜−14所以若关于x的三个方程x2+4mx+4m2+2m+3＝0，x2+（2m+1）x+m2＝0，（m﹣1）x2+2mx+m﹣1＝0中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是m≤−32或m故选：C．6．（2021秋•永春县期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）：①若方程的两个根为﹣3和1，则2b+3c＝0；②若a+2c＝0，则方程必有两个不相等的实数根；③无论b＝2a+c或b＝a+2c，方程都有两个不相等的实数根；④若x＝2m方程的一个根，则式子b2+2abm﹣ac＝（2am+b）2一定成立．以上说法正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】①由韦达定理求出b＝a，c＝﹣3a，再对所求式子进行判断即可；②利用判别式对方程的根情况进行判断即可；③根据所给式子，利用判别式分别对方程的根的情况进行判断即可；④将所求式子作差，判断差的符号即可．【解题过程】解：①∵方程两根为﹣3和1，∴﹣2+1=−ba，（﹣3）×1∴b＝a，c＝﹣3a，∴2b+3c＝2a﹣9a＝﹣7a≠0，故①不正确；②∵a+2c＝0，∴c=−12∵方程ax2+bx+c＝0，∴Δ＝b2﹣4ac＝b2+2a2＞0，故方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根，故②正确；③∵b＝2a+c或b＝a+2c，当b＝2a+c时，Δ＝b2﹣4ac＝（2a+c）2﹣4ac＝4a2+c2＞0，故方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根，当b＝a+2c时，Δ＝b2﹣4ac＝（a+2c）2﹣4ac＝a2+4c2＞0，故方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根，故③正确；④∵x＝2m方程的一个根，∴4am2+2bm+c＝0，∵（2am+b）2﹣（b2+2abm﹣ac）＝a（4am2+2bm+c）＝0，∴b2+2abm﹣ac＝（2am+b）2，故④正确；故选：C．7．（2021秋•郾城区期末）已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2kx+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）写出满足条件的k的最小整数值，并求此时方程的根．【思路点拨】（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围；（2）依照题意，找出k值，进而可得出原方程，解之即可得出结论．【解题过程】解：（1）∵关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2kx+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴k+1≠0△=(−2k解得：k＞﹣2且k≠﹣1，∴实数k的取值范围为k＞﹣2且k≠﹣1．（2）∵k＞﹣2且k≠﹣1，∴满足条件的k的最小整数值为0，此时原方程为x2﹣2＝0，解得：x1=2，x2=−8．（2021秋•盱眙县期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【思路点拨】（1）计算其判别式，得出判别式不为负数即可；（2）当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个根为4，代入可求得k的值，则可求得方程的另一根，可求得周长；当边长为4的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得k的值，再解方程即可．【解题过程】（1）证明：∵Δ＝（k+2）2﹣8k＝k2+4k+4﹣8k＝（k﹣2）2≥0，∴无论k取何值，方程总有实数根；（2）解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4，∴16﹣4（k+2）+2k＝0，解得k＝4，∴方程为x2﹣6x+8＝0，解得x＝4或x＝2，∴m、n的值分别为2、4，∴△ABC的周长为10；当边长为4的边为底时，则m＝n，即方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即（k﹣2）2＝0，解得k＝2，∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得m＝n＝2，此时2+2＝4，不符合三角形的三边关系，舍去；综上可知△ABC的周长为10．9．（2020•涪城区校级自主招生）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为不大于1的整数，且方程的根为整数，求满足条件的m的值及对应的方程的根．【思路点拨】（1）根据根的判别式得出b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，求出不等式的解集即可；（2）取m＝﹣1或1，代入方程，再求出方程的解即可．【解题过程】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＝4m+5＞0，解得：m＞−5即m的取值范围是m＞−5（2）由（1）知：当m＞−5∵m为不大于1的整数，∴m＝0，﹣1，1，又m＝0时，方程x2+x﹣1＝0的根不是整数，当m＝﹣1时，则方程为x2﹣x＝0，解得：x1＝1，x2＝0，即当m＝﹣1时，方程的解是x1＝1，x2＝0．当m＝1时，则方程为x2+3x＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝0，即当m＝1时，方程的解是x1＝﹣3，x2＝0．10．（2021秋•鼓楼区期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，证明：x1+x2=−ba，x1•x2【思路点拨】利用求根公式表示出方程的两个根，进而求出两根之和与两根之积，即可即可得证．【解题过程】证明：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，∴当b2﹣4ac≥0时，x1=−b+b2−4ac2a则x1+x2=−b+x1•x2=−b+b211．（2021秋•绵阳期末）已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）＝p2．（1）求证：无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个实数根是﹣p+1，求p的值及方程的另一个实数根．【思路点拨】（1）先计算根的判别式的值，再利用非负数的性质证明Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）设方程的另一个根为t，则利用根与系数的关系得﹣p+1+t＝5，（﹣p+1）t＝6﹣p2，则t＝4+p，消去t得到（﹣p+1）（4+p）＝6﹣p2，然后解关于p的方程，再计算t的值．【解题过程】（1）证明：原方程化为x2﹣5x+6﹣p2＝0，∵Δ＝（﹣5）2﹣4（6﹣p2）＝1+4p2，而4p2≥0，∴Δ＞0，∴无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得﹣p+1+t＝5，（﹣p+1）t＝6﹣p2，∴t＝4+p，∴（﹣p+1）（4+p）＝6﹣p2，整理得p=−2∴t=10即p的值为−23，方程的另一个实数根为12．（2021•江汉区校级自主招生）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有实数根．（ⅰ）求实数k的取值范围；（ⅱ）当k＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1﹣1）（x22+4x2+3）的值．【思路点拨】（i）根据根的判别式进行求解；（ii）由方程的根为x1，x2，得到x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，据此对原式进行化简，最后根据根与系数的关系进行求解．【解题过程】解：（i）∵方程有实数根，∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣3）≥0，解得：k≤13（ii）当k＝2时，方程化为x2+3x+1＝0，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，∵x1，x2是方程的解，∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，∴x12+3x1＝﹣1，x22+3x2＝﹣1，∴原式＝（﹣1﹣x1﹣1）（﹣1+x2+3）＝﹣（x1+2）（x2+2）＝﹣[x1x2+2（x1+x2）+4]＝﹣（1﹣6+4）＝1．13．（2021秋•九江期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．（1）请说明该方程实数根的个数情况；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且（x1+1）•（x2+1）＝8，求m的值．【思路点拨】（1）根据根的判别式先求出Δ的值，再即可得到结论；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝2m﹣2，x1•x2＝m2﹣2m，代入计算即可求出答案．【解题过程】解：（1）由题意可知：Δ＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x1+x2＝2m﹣2，x1x2＝m2﹣2m，（x1+1）•（x2+1）＝8，∴（x1+1）•（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）＝8，∴2m﹣2+m2﹣2m＝8，∴m2＝10，∴m=10或m=−故m的值为−10或1014．（2021秋•曲靖期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝10，求k的值．【思路点拨】（1）利用根的判别式的意义得到（﹣4）2﹣4（k﹣1）≥0，然后解不等式即可；（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1•x2＝k﹣1，再利用x12+x22＝10得到42﹣2（k﹣1）＝10，接着解关于k的方程，然后利用k的范围确定满足条件的k的值．【解题过程】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）≥0，解得k≤5；（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝4，x1•x2＝k﹣1，∵x12+x22＝10，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝42﹣2（k﹣1）＝10，解得k＝4，∵k≤5，∴k＝4．故k的值是4．15．（2021秋•麦积区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足（x1﹣x2）2+m2＝13，求m的值．【思路点拨】（1）利用根的判别式的意义得到Δ＝（2m+1）2﹣4m2≥0，然后解不等式得到m的取值范围；（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2，再利用完全平方公式把（x1﹣x2）2+m2＝13变形为（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝13，所以（2m+1）2﹣4m2+m2＝13，然后解关于m的方程，最后利用m的范围确定m的值．【解题过程】解：（1）由题意得：Δ＝（2m+1）2﹣4m2≥0，解得m≥−1即m的取值范围为m≥−1（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2，∵（x1﹣x2）2+m2＝13，∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝13，∴（2m+1）2﹣4m2+m2＝13，整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝﹣6，m2＝2，∵m≥−1∴m的值为2．16．（2021秋•海淀区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）若△ABC的一边长a＝6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求k的取值范围．【思路点拨】（1）先计算根的判别式，然后利用非负数的性质证明Δ≥0，从而得到结论；（2）先利用求根公式得到b＝2k，c＝k+1，再利用两边之和大于第三边得到2k+k+1＞6，2k＞0，k+1＞0，k+1+6＞2k，然后解不等式组得到k的范围．【解题过程】（1）证明：∵Δ＝（3k+1）2﹣4（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）解：x=3k+1±(k−1)解得x1＝2k，x2＝k+1，即b＝2k，c＝k+1，∴2k+k+1＞6，2k＞0，k+1＞0，k+1+6＞2k，∴53＜即k的取值范围为53＜17．（2021秋•乐平市期中）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣3）x+k＝0．（1）若原方程有实数根，求k的取值范围．（2）设原方程两根为x1，x2，是否存在实数k，使得1x1+1【思路点拨】（1）利用根的判别式的意义得到k﹣1≠0且（2k﹣3）2﹣4k（k﹣1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2k−3k−1，x1x2=kk−1，利用1x1+1x2=k﹣2得到2k−3k−1=（k﹣2）kk−1【解题过程】解：（1）Δ＝b2﹣4ac＝（2k﹣3）2﹣4k（k﹣1）≥0，解得k≤9而k﹣1≠0，∴k的取值范围为k≤98且（2）不存在实数k，使得1x1理由如下：x1+x2=2k−3k−1，x1x2∵1x1∴x1+x2＝（k﹣2）x1x2，2k−3k−1=（k﹣2）整理得k2﹣4k+3＝0，解得k1＝1，k2＝3，∵k≤98且∴不存在这样的实数k，使得1x118．（2021秋•黄石期末）关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1x2﹣1，求k的值．【思路点拨】（1）利用判别式的意义得到Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+2）≥0，然后解不等式得到k的范围；（2）据题根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（2k+1）＜0，x1x2＝k2+2＞0，由此推知x1＜0，x2＜0，结合已知条件得到：﹣（x1+x2）＝x1x2﹣1，代入解方程即可．【解题过程】（1）根据题意得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+2）≥0，解得k≥7（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2k+1）＜0，x1x2＝k2+2＞0，∴x1＜0，x2＜0，∵|x1|+|x2|＝|x1x2|﹣1，∴﹣（x1+x2）＝x1x2﹣1，∴2k+1＝k2+2﹣1，整理得k2﹣2k＝0，解得k1＝0，k2＝2，∵k≥7∴k＝2．19．（2021秋•恩施市期末）关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在实数k，使得|x1|﹣|x2|=3？若存在，试求出k【思路点拨】（1）由方程根的性质，根据根的判别式，可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；（2）利用k可表示出方程的两根，结合k的取值范围可判断出两根的符号，利用根与系数的关系，结合已知条件可得到关于k的方程，则可求得k的值．【解题过程】解：（1）∵原一元二次方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）＞0，得：4k﹣11＞0，∴k＞11（2）由一元二次方程的求根公式得：x1=2k−1+4k−112，x∵k＞11∴2k−1＞0，4k−11∴x1＞0，又∵x1•x2＝k2﹣2k+3＝（k﹣1）2+2＞0，∴x2＞0，当|x1|−|即2k−1+4k−11∴4k﹣11＝3，∴k=7∴存在实数k=72，使得20．（2021秋•石狮市期末）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果x1，x2是方程的两个解，令w＝x1x22+x12x2+k，求w的最大值．【思路点拨】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝3，x1•x2＝k+1，结合w＝x1x22+x12x2+k，由增减性可求w的最大值．【解题过程】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0有实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（k+1）≥0，解得：k≤5∴k的取值范围为k≤5（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0的两个解，∴x1+x2＝3，x1•x2＝k+1．∴w＝x1x22+x12x2+k＝x1x2（x1+x2）+k＝3（k+1）+k＝4k+3，∴k=54时，w的最大值为421．（2021秋•鄞州区校级期末）已知a，b是一元二次方程x2﹣2021x﹣1＝0的两个根，解方程组xa【思路点拨】将方程组中的两个方程相减可得（1a−1b−1）（x﹣y）＝0，再由a+b＝2021，ab＝﹣1，可知1【解题过程】解：∵a，b是一元二次